Fria matteboken: matematik 2b/Andragradsfunktioner och -ekvationer

Avsnitt

Annat

Varför andragradsfunktioner?

När man undersöker korrelationer mellan olika typer av data utgår man ofta från att det finns ett linjärt samband – även om man vet att det egentligen inte kan vara linjärt. Det är för att linjära samband är enkla att hantera, och om man begränsar sig till att titta på en små delar av ett samband kan man (nästan) alltid beskriva dem med räta linjer.

Men ibland behövs andra modeller för att beskriva samband. En sådan modell är andragradsfunktioner. Det är funktioner som kan beskrivas med samband där inte bara x ingår, utan det dessutom finns en term som innehåller x². (Det är den termen som gör att funktionerna kallas för just andragradsfunktioner – en funktion som innehåller x³ skulle kallas en tredjegradsfunktion, och så vidare.)

Andragradsfunktioner har ett par viktiga egenskaper:

De har en högsta punkt eller lägsta punkt, där kurvan vänder. Den punkten kallas extrempunkt, och är antingen en maximimpunkt eller minimipunkt. Många verkliga problem går ut på att hitta extrempunkter för samband – där vinsterna är som högst, arbetslösheten som lägst, kostnaderna för administration så låga som möjligt, och så vidare.
De har en symmetrilinje, det vill säga en linje som delar funktionens graf i två spegelbilder.

De här två egenskaperna gör att man gärna vill använda andragradsfunktioner för att beskriva samband som har en högsta/lägsta punkt, speciellt om sambanden verkar vara symmetriska runt en linje. Sådana samband kan se ut så här:

Samband som kan beskrivas bra av en andragradsfunktion med en minimumpunkt.
Samband som kan beskrivas bra av en andragradsfunktion med en maximumpunkt.
Samband som kan beskrivas bra av en andragradsfunktion med en maximumpunkt (även om "vänstra halvan" av sambandet till stor del saknas).

Beskriva andragradsfunktioner matematiskt

Precis som med linjära funktioner finns det en generell formel för att beskriva andragradsfunktioner, och precis som med linjära funktioner finns det flera varianter.

Den vanligaste är f(x) = ax² + bx + c (för något värde på a, b och c). Den kallas ibland för standardformen.
En lite ovanligare, men mer användbar, är formen f(x) = a(x + d)² + e (för något värde på a, d och e). Den kallas ibland kvadratkompletterad form.
En tredje form är f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) (för något värde på x₁ och x₁). Den kallas ibland faktoriserad form, och behändig – men inte alltid möjlig att använda.

I den här boken kommer vi framförallt att använda den kvadratkompletterade formen, eftersom den gör det lättare att se hur en andragradsfunktion beter sig, och även att lösa andragradsekvationer.

För att kunna hantera andragradsfunktioner krävs att man är säker på att hantera multiplikation med parenteser, och det är där vårt arbete kommer att börja.

Att multiplicera parentesuttryck

(To be written…)

Tre genvägar: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln

(To be written…)

Kvadratkomplettering

(To be written…)

Andragradsuttryck och kvadratkomplettering: uppgifter med mera

Relaterade procedurer

Grundläggande procedurer

Påbyggnadsprocedurer

Sarajevo: Kvadratkomplettera andragradsuttryck

Övningsuppgifter

Uppgifter

Extrempunkter och symmetrilinjer

(To be written…)

Extrempunkter och symmetrilinjer: uppgifter med mera

Relaterade procedurer

Grundläggande procedurer

Påbyggnadsprocedurer

Övningsuppgifter

Uppgifter

Andragradsekvationer

(To be written…)

Andragradsekvationer: uppgifter med mera

Relaterade procedurer

Grundläggande procedurer

Övningsuppgifter

Uppgifter