Fria matteboken: matematik 2b/Andragradsfunktioner och -ekvationer

Från Wikibooks
Hoppa till: navigering, sök

Avsnitt

Annat


Varför andragradsfunktioner?[redigera]

När man undersöker korrelationer mellan olika typer av data utgår man ofta från att det finns ett linjärt samband – även om man vet att det egentligen inte kan vara linjärt. Det är för att linjära samband är enkla att hantera, och om man begränsar sig till att titta på en små delar av ett samband kan man (nästan) alltid beskriva dem med räta linjer.

Men ibland behövs andra modeller för att beskriva samband. En sådan modell är andragradsfunktioner. Det är funktioner som kan beskrivas med samband där inte bara x ingår, utan det dessutom finns en term som innehåller x2. (Det är den termen som gör att funktionerna kallas för just andragradsfunktioner – en funktion som innehåller x3 skulle kallas en tredjegradsfunktion, och så vidare.)

Andragradsfunktioner har ett par viktiga egenskaper:

  • De har en högsta punkt eller lägsta punkt, där kurvan vänder. Den punkten kallas extrempunkt, och är antingen en maximumpunkt eller minimupunkt. Många verkliga problem går ut på att hitta extrempunkter för samband – där vinsterna är som högst, arbetslösheten som lägst, kostnaderna för administration så låga som möjligt, och så vidare.
  • De har en symmetrilinje, det vill säga en linje som delar funktionens graf i två spegelbilder.

De här två egenskaperna gör att man gärna vill använda andragradsfunktioner för att beskriva samband som har en högsta/lägsta punkt, speciellt om sambanden verkar vara symmetriska runt en linje. Sådana samband kan se ut så här:

Beskriva andragradsfunktioner matematiskt[redigera]

Precis som med linjära funktioner finns det en generell formel för att beskriva andragradsfunktioner, och precis som med linjära funktioner finns det flera varianter.

  • Den vanligaste är f(x) = ax2 + bx + c (för något värde på a, b och c). Den kallas ibland för standardformen.
  • En lite ovanligare, men mer användbar, är formen f(x) = a(x + d)2 + e (för något värde på a, d och e). Den kallas ibland kvadratkompletterad form.
  • En tredje form är f(x) = a(x - x1)(x - x2) (för något värde på x1 och x1). Den kallas ibland faktoriserad form, och behändig – men inte alltid möjlig att använda.

I den här boken kommer vi framförallt att använda den kvadratkompletterade formen, eftersom den gör det lättare att se hur en andragradsfunktion beter sig, och även att lösa andragradsekvationer.

För att kunna hantera andragradsfunktioner krävs att man är säker på att hantera multiplikation med parenteser, och det är där vårt arbete kommer att börja.

Att multiplicera parentesuttryck[redigera]

(To be written…)

Tre genvägar: Kvadreringsreglerna och konjugatregeln[redigera]

(To be written…)

Kvadratkomplettering[redigera]

(To be written…)

Andragradsuttryck och kvadratkomplettering: uppgifter med mera[redigera]

Relaterade procedurer[redigera]

Grundläggande procedurer

Påbyggnadsprocedurer

Övningsuppgifter[redigera]

Extrempunkter och symmetrilinjer[redigera]

(To be written…)

Extrempunkter och symmetrilinjer: uppgifter med mera[redigera]

Relaterade procedurer[redigera]

Grundläggande procedurer

Påbyggnadsprocedurer

Övningsuppgifter[redigera]

Andragradsekvationer[redigera]

(To be written…)

Andragradsekvationer: uppgifter med mera[redigera]

Relaterade procedurer[redigera]

Grundläggande procedurer

Övningsuppgifter[redigera]