Fria matteboken: matematik 2b/Procedurer/Oslo: Lösa andragradsekvationer algebraiskt

Avsnitt Korrelation, samband, funktioner och funktionsanpassning Linjära funktioner och ekvationer Linjära ekvationssystem Andragradsfunktioner och -ekvationer Logaritmer och exponentialekvationer Geometri och logik Statistik Budgetering Annat Begrepp Procedurer Förkunskaper Blandade uppgifter Hjälp Ladda upp fil

Lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering

Om du lär dig kvadratkomplettera, exempelvis med hjälp av ansättning, kommer andragradsekvationer bli rätt enkla att lösa. Den här metoden har den stora fördelen att man vet vad man gör i varje steg, och är inte beroende av formler som känns magiska.

Stegen nedan är en av flera möjliga metoder för att lösa andragradsekvationer med kvadratkomplettering.

1. Skriv om ekvationen till formen ax² + bx + c = 0.
2. Kvadratkomplettera vänsterledet, så att du får en ekvation på formen a(x + d)² + e = 0. (Se Sarajevo: Kvadratkomplettera andragradsuttryck.)
3. Gör kvadraten ensam i vänsterledet, genom att flytta över den konstanta termen till högerledet och dela med koefficienten framför kvadraten: (x + d)² = f.
4. Dra roten ur båda leden, och glöm inte att ta med den negativa lösningen: x + d = ±√f.
5. Flytta över den sista konstanta termen: x = -d ±√f.

Det är alltid bra att kontrollera lösningen till ekvationer och ekvationssystem genom att sätta in värdena i de ursprungliga ekvationerna.

Exempel

Lös ekvationen 3x² + 5,25 = 15x.

1. Omskrivning av ekvationen ger 3x² – 15x + 5,25 = 0.
2. Efter kvadratkomplettering av vänsterledet ser ekvationen ut så här: 3(x - 2,5)² – 8,75 = 0
3. Vi gör kvadraten ensam genom att addera 8,75 på båda sidor, och sedan dela med tre: (x – 2,5)² = 8,75/3 = 35/12
4. Vi drar roten ur båda sidor, och glömmer inte bort den negativa lösningen: x – 2,5 = ±√(35/12)
5. Lösningen till blir då x = 2,5 ±√(35/12)

Insättning av dessa värden i ursprungliga ekvationen visar att lösningen stämmer.

Lösa andragradsekvationer med pq-formeln

Den vanligaste metoden för att lösa andragradsekvationer i Sverige kallas pq-formeln. Det är den metod där det är lättast att få hjälp om du kör fast, men är också ganska bökig med bråkräkning. Den här metoden har fördelen att lösningsformeln ("pq-formeln") finns med i formelbladet vid nationella provet.

1. Skriv om din ekvation till formen x² + px + q = 0. Koefficienten framför x² måste vara 1, och högerledet måste vara 0.
2. Läs av värdena på p och q i din ekvation, och skriv ner dem. Kom ihåg att ta med minustecken om p eller q är negativa.
3. Sätt in värdena på p och q i lösningsformeln, $\ x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$. Se till att du får med minustecknen på rätt sätt.
4. Räkna ut x-värdena. Kom ihåg att även q är med under rottecknet. Numrera lösningarna x₁ och x₂.

Det är alltid bra att kontrollera lösningen till ekvationer och ekvationssystem genom att sätta in värdena i de ursprungliga ekvationerna.

Lösa andragradsekvationer med diskriminantmetoden

I andra delar av världen är det vanligt att man använder en diskriminant när man löser andragradsekvationer. Metoden rymmer färre tillfällen att göra fel än pq-formeln, och gör också att man slipper en del bråkräkning.

1. Skriv om din ekvation till formen ax² + bx + c = 0. Högerledet måste vara noll.
2. Läs av värdena på a, b och c i din ekvation. Kom ihåg att ta med minustecken.
3. Räkna ut diskriminanten: D = b² – 4ac. (Om diskriminanten är mindre än noll har vi inga reella lösningar – om du inte är beredd på att använda komplexa tal kan du överge ekvationen här och ange att det inte finns några reella lösningar.)
4. Räkna ut x-värdena genom formeln $x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$. Kontrollera gärna om det går att förkorta resultatet. Numrera lösningarna x₁ och x₂.

Det är alltid bra att kontrollera lösningen till ekvationer och ekvationssystem genom att sätta in värdena i de ursprungliga ekvationerna.