Matematik/Matematik E/Komplexa tal

Från Wikibooks

Matematik A | Algebra | Funktioner | Geometri | Statistik
Matematik B | Algebra | Geometri | Funktioner | Sannolikhetslära | Statistik
Matematik C | Repetition A & B | Algebra | Funktioner | Derivata | Talföljder och summor
Matematik D | Trigonometri | Trigonometri och derivata | Derivata och integraler
Matematik E | Komplexa tal | Derivata och integraler | Differentialekvationer
Facit | Formelsamling/Matematik/Komplexa tal | Matematikportalen






Komplexa tal[redigera]

Vissa ekvationer har inte någon lösning om man endast använder sig av reella tal. Ett exempel är ekvationen . Denna ekvation saknar reella lösningar, eftersom aldrig kan bli ett negativt tal. För att kunna lösa ekvationer av detta slag krävs det därför att man inför en ny typ av tal som baseras på roten ur -1. Ska man lösa den ovanstående ekvationen blir första steget detta: . Eftersom roten ur negativa tal inte ger reella tal, måste man införa en defintion av som: . Det innebär att man kan ta kvadratroten ur -1 och få ett tal, , som resultat. Det finns alltså två lösningar till ekvationen ovan: . Alla andragradsekvationer har två lösningar när vi inte begränsar oss till reella lösningar.

Man måste även ibland använda komplexa tal för att få fram reella lösningar; när man löser tredjegradsekvationer med den allmänna formeln, så är man ibland tvungen att använda komplexa tal i mitten av beräkningen, och det var så de komplexa talen först blev allmänt accepterat bland matematiker.


Ovanstående "definition" är egentligen populärvetenskaplig. Komplexa tal definieras formellt som ett talpar med egenskaperna:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)*(c,d)=(ac-bd,bc+ad)

där a,b,c,d är reella tal.

Användandet av bokstaven i införs via ett alternativt skrivätt (a,b)=a+ib

Från definitionen kan man då istället bevisa att i*i = (0,1)*(0,1) = (-1,0) = -1

Det komplexa talplanet[redigera]