Hoppa till innehållet

Matematik/Matematik C/Derivata

Från Wikibooks

Matematik A | Algebra | Funktioner | Geometri | Statistik
Matematik B | Algebra | Geometri | Funktioner | Sannolikhetslära | Statistik
Matematik C | Repetition A & B | Algebra | Funktioner | Derivata | Talföljder och summor
Matematik D | Trigonometri | Trigonometri och derivata | Derivata och integraler
Matematik E | Komplexa tal | Derivata och integraler | Differentialekvationer
Facit | Formelsamling/Matematik/Derivata | Matematikportalen





Derivata

Definition och typisk tillämpning[redigera]

Derivata är definitionsmässigt förändringstakt. Exempelvis kallas en förändring i hastighet acceleration, och om man känner till en funktion som ger ett objekts hastighet som funktion av tiden kan man få en funktion som ger objektets acceleration som funktion av tiden genom att derivera hastighetsfunktionen med avseende på tiden.

Den kanske vanligaste tillämpningen av derivata är att räkna ut för vilket värde en funktion når sitt maximum. Derivatan av en funktion kan sägas beskriva kurvans lutning, och på samma sätt som ett berg sluttar uppför mot toppen och nedför efter toppen men är i princip platt precis på toppen har många funktioner positiv derivata för värden omedelbart "innan" sitt maximum och negativ derivata omedelbart efter maximum men derivatan noll precis på toppen. Genom att derivera funktionen och räkna ut för vilka värden den har värdet noll kan man då se vilka punkter som är tänkbara maxima.

För vissa funktioner har derivatan värdet noll även i andra punkter än maximum, så man bör verifiera att det man hittat faktiskt är maximum. För att kunna använda denna metod måste funktionen och dess derivata vara kontinuerliga (det vill säga att kurvan saknar skarpa "stup" eller vassa hörn), eller så måste man skilt kontrollera diskontinuitetspunkterna.

Definition[redigera]

Derivata brukar definieras som

,

alternativt .

och kan även beräknas med

Där är funktionens gränsvärde i punkten 0. Gränsvärdet i 0 får man helt enkelt när man låter h krypa så nära noll utan att h antar det värdet.

Exempel[redigera]

Andra beteckningar[redigera]

Det finns, något förvirrande, flera sätt att beteckna derivatan för en funktion på. Om är en funktion är alla de följande ganska vanliga sätt att skriva derivatan på:

De betyder alla samma sak, men dyker upp i olika tillämpningar.

I fysik är det vanligt att man uttrycker saker (t.ex. position) som funktioner av tiden . Om t.ex. positionen på en linje, är en funktion av tiden skriver man det som . Då brukar derivatan betecknas .

Deriveringsregler[redigera]

Tips:

tal utan x-term tas bort

om x saknar exponent (exponenten 1) försvinner x

Exempel:

Linjära funktioner[redigera]

En linjär funktion definieras av en ekvation av typen:
eller
Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje


-värdet(riktningskoefficenten) för en linje som passerar punkterna och får man med hjälp av formeln:
ändring i / ändring i
eller med symbolen för förändring - Δ:
Δ / Δ


Den räta linjens ekvation kan skrivas i flera olika former:


Den räta linjens ekvation
k-form Linje med lutningen k genom punkten
Enpunktsform Linje med lutningen k genom punkten
Allmän form Alla linjer och bara linjer har en ekvation av denna form
Specialfall
Vertikal linje Parallell med -axeln
Horisontell linje Parallell med -axeln


-variabeln är den oberoende och den beroende. får sitt värde, beroende på vad har för värde. När man ritar ut en graf, låter -linjen successivt öka som en tallinje. Därefter prickar man ut alla värden (som då är höjden).

Potensfunktioner[redigera]

Polynomfunktioner[redigera]

Monom (enkla polynom)[redigera]

Ett monom [1], dvs ett polynom med bara en term i, ser ut som , där är en godtycklig konstant (monomets koefficient), och ett (positivt) heltal. Talet kallas monomets gradtal. Självklart är även exponenten för variabeln .

Exempelvis är , , och monom, men inte (eftersom innehåller mer än en term).

För att derivera ett monom "flyttar man ner" exponenten och multiplicerar med koefficienten, och sänker monomets gradtal med ett, dvs:

.

Allmänna polynom[redigera]

Om är ett allmänt polynom av grad kan det skrivas som summan av flera monom:

Där åtminstone någon av .

Att derivera detta är precis som ovan bara att sänka gradtalet på variablerna, och multiplicera med exponenten, dvs:

.

Detta kan se klurigt ut, men det följer ganska lätt av derivatans linjäritet, dvs att när man deriverar en summa flyttar man in derivatan på de individuella termerna. Det blir kanske lättare att se om vi utvecklar summan:

.

Exempel[redigera]

Exponentialfunktioner[redigera]

Facit[redigera]

Se även[redigera]