Formelsamling/Matematik/Komplexa tal

Definition

Reella tal är samtliga tal större än, mindre än eller lika med noll, t.ex. 17, -23.7, 3.3333..., pi, roten ur 2.
Imaginära basen i definieras genom sin kvadrat: i² = -1. I vissa ämneskategorier används j som imaginära basen, t.ex. i elektroniksammanhang, där i står för strömmen.
Komplexa talet z definieras som summan av ett reellt och ett imaginärt tal, z = a + b*i, är a och b är reella tal.

De fem räknesätten, och lite fler definitioner

Låt här z = x + i*y, där x och y är reella tal.
Låt vidare "a := b" syfta till att a definieras som b, för uttryck a och b.
Negation: -z1 = (-x1) + i*(-y1).
Addition: z1+z2 = (x1+x2) + i*(y1 + y2).
Subtraktion: z1-z2 = (x1-x2) + i*(y1 - y2).
Multiplikation: z1*z2 = (x1+i*y1)*(x2+i*y2) = x1*x2 + i²*y1*y2 + x1*i*y2 + i*y1*x2 = (x1*x2 - y1*y2) + i*(x1*y2 + x2*y1).
Konjugat: z1* := x1 - i*y1. (skrivs ofta som z1 med ett streck över).
z1 * (z1*) = (x1+i*y1)*(x1-i*y1) = ... = x1² + y1² (reellt).
Division: z1/z2 = (z1*(z2*))/(z2*(z2*)) = (x1*x2 - y1*(-y2) + i*(x1*y2 + x2*(-y1))) / (x2² + y2²).
Belopp: |z| = abs(z) := ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ , d.v.s. avståndet från 0 till z.
Argument: arg(z) := vinkeln mellan 1 + i*0 och z, räknat i radianer. cis(x) := cos(x) + i*sin(x), ej allmänt vedertagen funktion, dock ganska praktisk. z = |z| * cis(arg(z)) abs(cis(x)) = 1 arg(cis(x)) = x (±2k*π, för något heltal k) abs(z1*z2) = abs(z1) * abs(z2) arg(z1*z2) = arg(z1) + arg(z2)

Lite fler räknesätt

$e^{z}$ = $e^{x}$ * cis(y).
ln(z) = ln(|z|) + i*arg(z).
sin(z) = (e^z - e^(-z)) / 2i.
cos(z) = (e^z + e^(-z)) / 2.
${\sqrt {z}}$ = ± ${\sqrt {abs(z)}}$ *cis(arg(z)/2).