Matematik A | Algebra | Funktioner | Geometri | Statistik Matematik B | Algebra | Geometri | Funktioner | Sannolikhetslära | Statistik Matematik C | Repetition A & B | Algebra | Funktioner | Derivata | Talföljder och summor Matematik D | Trigonometri | Trigonometri och derivata | Derivata och integraler Matematik E | Komplexa tal | Derivata och integraler | Differentialekvationer Facit | Formelsamling/Matematik/Talföljder och summor | Matematikportalen
Talföljder och summor
Sätt S = 1 + p + p 2 + … + p k {\displaystyle S=1+p+p^{2}+\ldots +p^{k}} . Antag att p ≠ 1 {\displaystyle p\neq 1} . Det gäller att S − p S = 1 − p k + 1 ⇒ S = p k − 1 p − 1 {\displaystyle S-pS=1-p^{k+1}\Rightarrow S={\frac {p^{k}-1}{p-1}}} . Om p = 1: S = 1 + 1 + 1 + … 1 ⏟ k + 1 = k + 1 {\displaystyle S=\underbrace {1+1+1+\ldots 1} _{k+1}=k+1} .
∑ k = 2 ∞ 2 k 2 − 1 = ∑ k = 2 ∞ ( 1 k − 1 − 1 k + 1 ) = ( 1 1 − 1 3 ) + ( 1 2 − 1 4 ) + ( 1 3 − 1 5 ) + ( 1 4 − 1 6 ) + ( 1 5 − 1 7 ) + … = 1 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}-1}}=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\right)+\ldots =1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}} .
Notera att om f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} , så gäller ∑ 2 ∞ f ( 2 k 2 − 1 ) = f ( 3 / 2 ) {\displaystyle \sum _{2}^{\infty }f\left({\frac {2}{k^{2}-1}}\right)=f(3/2)} .
. Antag att 
.
Det gäller att 
.
Om p = 1: 
.
.
, så gäller 
.
