Formelsamling/Matematik/Derivering och integrering

Åter till huvudsidan.

Deriveringsregler

Låt $x\in ℝ$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ och $a\in ℝ$.

Funktion	Derivata	Primitiv funktion
$y=f\left(x\right)$	$f^{\prime }(x)$	$\int f(x)dx$
$x^a$	$a{x}^{a-1}$	$\frac{x^{a+1}}{a+1}$
$\frac{1}{x}(x\ne 0)$	$-\frac{1}{x^2}$	$\ln |x|$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\frac{2}{3}{x}^{3/2}$
$\frac{1}{x^n}$	$-\frac{n}{x^{n+1}}$	$\{\begin{array}{cc}\frac{x^{1-n}}{1-n},& n\ne 1\\ \ln |x|,& n=1\end{array}$
$e^x$	$e^x$	$e^x$
$a^x(a>0,a\ne 1)$	$a^x\cdot \ln a$	$\frac{a^x}{\ln a}$
$\ln x$	$\frac{1}{x}x\ne 0$	$x\ln x-x$
${\log }_{a}x(a,x>0,a\ne 1)$	$\frac{1}{x\ln a}$	$\frac{x\ln x-x}{\ln a}$
$\frac{1}{x+a}$	$\frac{-1}{(x+a{)}^2}$	$\ln |x+a|$
$\frac{1}{(x-a)(x-b)}$		$\frac{1}{a-b}\ln \frac{|x-a|}{|x-b|}$
$\frac{1}{(x-a{)}^2}$		$-\frac{1}{x-a}$
$\frac{1}{x^2+a^2}$		$\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$
$\frac{x}{x^2+a^2}$		$\frac{1}{2}\ln (x^2+a^2)$
$\sqrt{x^2+a^2}$		$\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})$
$\sqrt{x^2-a^2}$		$\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|$
$\sqrt{a^2-x^2}$		$\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arc\sin \frac{x}{a}$
$\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$		$\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})$
$\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$		$\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|$
$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$		$\arcsin \frac{x}{a}$
$\sin x$	$\cos x$	$-\cos x$
${\sin }^{2}x$		$\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)$
$\frac{1}{\sin x}=\csc x$	$-\cos x{\csc }^{2}x$	$\ln |\tan \frac{x}{2}|$
$\frac{1}{{\sin }^{2}x}$		$-\cot x$
$\cos x$	$-\sin x$	$\sin x$
${\cos }^{2}x$		$\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)$
$\frac{1}{\cos x}=\sec x$	$\sin x{\sec }^{2}x$	$\ln |\tan (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})|$
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$		$\tan x$
$\tan x$	$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$-\ln |\cos x|$
$\cot x$	$-(1+{\cot }^{2}x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$	$\ln |\sin x|$

Derivator

Derivata av summa, produkt och kvot

f(x) och g(x) är deriverbara funktioner

Funktion		Derivata
$h(x)=f(x)+g(x)$		$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$
$h(x)=f(x)\cdot g(x)$		$h^{\prime }(x)=f(x)\cdot g^{\prime }(x)+g(x)\cdot f^{\prime }(x)$
	eller	$\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}(f(x)ochg(x)\ne 0)$
$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)\ne 0)$		$h^{\prime }(x)=\frac{g(x)\cdot f^{\prime }(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$
	eller	$\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}(f(x)ochg(x)\ne 0)$

Kedjeregeln

Om y = f(x) och z = g(x) är två deriverbara funktioner, gäller

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}$

För den sammansatta funktionen y = f(g(x)) gäller

$y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Gränsvärden

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1\text{(x uttryckt i radianer)}$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\ln (x+1)}{x}=1$

Integraler

En godtycklig primitiv funktion till f(x) kan skrivas

$\int f(x)dx=F(x)+C$ (C är en konstant)

Integralberäkning och räkneregler

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)={[F(x)]}_a^b$

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$

${\int }_a^{b}k\cdot f(x)dx=k\cdot {\int }_a^{b}f(x)dx$

Partiell integration och substitution

$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g^{\prime }(x)dx$

${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$