Matematik/Matematik C/Talföljder och summor

Från Wikibooks

Talföljder och summor

Innehåll

1 Aritmetisk summa
2 Geometrisk summa
3 Teleskoperande summa
4 Ekonomiska tillämpningar
5 Naturvetenskapliga tillämpningar
6 Facit
7 Se även

[redigera] Aritmetisk summa

[redigera] Geometrisk summa

Sätt $S = 1 + p + p^2 + \ldots + p^k$ . Antag att $p\neq 1$ . Det gäller att $S - pS = 1 - p^{k + 1} \Rightarrow S = \frac{p^k - 1}{p - 1}$ . Om p = 1: $S = \underbrace{1 + 1 + 1 + \ldots 1}_{k+1} = k + 1$ .

[redigera] Teleskoperande summa

$\sum _{k = 2} ^\infty \frac{2}{k^2 - 1} = \sum _{k = 2} ^\infty \left( \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k + 1} \right)= \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .