Matematik/Matematik B/Algebra

Från Wikibooks

Algebra

Innehåll

1 Polynom
2 Addition och subtraktion av polynom
3 Multiplikation och division av polynom
4 Konjugat- och kvadreringsreglerna
5 Faktorisering

[redigera] Polynom

Ett polynom är ett uttryck i vilket variabler och konstanter kombineras genom addition, subtraktion och multiplikation. Detta kan ses som variabel- och konstanttermer, där en variabelterm är produkten av ett tal (koefficienten) och variabeln upphöjd till ett positivt heltal, som kombineras med addition och subtraktion. Polynomets högsta exponent anger dess gradtal.

Ett polynom med endast en term kallas ibland för ett monom, två termer för ett binom och tre termer för ett trinom, därefter vanligtvis endast för polynom.

Många olika situationer kan uttryckas med hjälp av ett polynom, i form av en funktion. Till exempel kan volymen V cm³ av en öppen låda, som tillverkats genom att klippa bort en kvadrat med sidan x cm från varje hörn av ett pappersark med måtten 50 x 60 cm och sedan vika upp sidorna, beräknas med polynomfunktionen $V = x (50 - x)(60 - x)$ eller förenklat $V = 4 x 3 - 220 x 2 + 3000 x$ . Det är efter förenklingen lätt att se att polynomets gradtal är 3, eftersom $4 x 3$ är den variabelterm med högst exponent, samtidigt som man kan se att koefficienterna är 4, -220 och 3000.

[redigera] Addition och subtraktion av polynom

För reella tal gäller:

Kommutativa lagarna:

Ordningen mellan termer i en addition kan kastas om: $\ a+b=b+a$ .
Ordningen mellan faktorer i en multiplikation kan kastas om: $a\cdot b=b\cdot a$ .

Associativa lagarna:

Additioner får utföras i vilken ordning man vill: $\ (a+b)+c=a+(b+c)$ .
Multiplikationer får utföras i vilken ordning man vill: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .

[redigera] Multiplikation och division av polynom

Då man multiplicerar ett polynom med ett annat, multiplicerar man varje term i det ena polynomet med varje term i det andra polynomet:

$\ (a+b+c)(d-e-f)=a(d-e-f)+b(d-e-f)+c(d-e-f)=ad-ae-af+bd-be-bf+cd-ce-cf$

[redigera] Konjugat- och kvadreringsreglerna

Låt $a, b \in\mathbb{R}$ (alltså, om a & b tillhör mängden de reella talen) så gäller följande regler:

Kvadreringsregel 1:
$(a+b)^2 = (a+b)\cdot (a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Kvadraten av summan hos två tal är lika med summan av kvadraten av det första talet, dubbla produkten av talen och kvadraten av det andra talet.

Kvadreringsregel 2:
$(a-b)^2 = (a-b)\cdot (a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .

Kvadraten av differensen hos två tal är lika med kvadraten av första talet subtraherat med dubbla produkten av talen och slutligen adderat med kvadraten av det andra talet.

Konjugatregeln:
$(a+b)(a-b) = (a+b)\cdot (a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$

Produkten av summan hos två tal och differensen av dessa är lika med differensen hos de två talens respektive kvadrater. (Brukar ofta stå skriven i motsatt ordning, men härledningen av regeln är lite enklare att förstå när den står som ovan).

(Se exempelvis Matematik A:Algebra för ytterligare förklaring av vad $\in\mathbb{R}$ står för.)

[redigera] Faktorisering

Faktorisering innebär att man bryter ut en multiplikator.
För att faktorisera talet $\ 3x - 9$ så bryter man ut $\ 3$ vilket ger $\ 3(x - 3)$ .
För att faktorisera talet $\ x^2 + 5x$ så bryter man ut $\ x$ vilket ger $\ x(x + 5)$ .
Tänk på att använda konjugat och/eller kvadreringsreglerna om möjligt, t.ex: