Matematik/Matematik C/Algebra

Algebra

Polynom

Vad är ett polynom?

Väldigt många situationer runt oss kan beskrivas med en polynomfunktion som matematisk modell.

Exempel 1

En boll kastas rakt upp med hastigheten 30 m/s. Vad är hastigheten efter x sekunder?

Hastigheten y m/s får vi med förstagradspolynomet y = 30 - 9,8x

En bil håller hastigheten x km/h. Vad blir stoppsträckan på torr asfalt?

Stoppsträckan d m får vi med andragradspolynomet d = 0,2x + 0,006x²

Från en pappskiva med måtten 20 cm x 30 cm klipper man i hörnen bort kvadrater med sidan x cm. Hur stor blir volymen, om man viker upp sidorna till en öppen låda?

Volymen V cm³ får vi med tredjegradspolynomet V = x(20-2x)(30-2x) eller förenklat V = 4x³ - 100x² + 600x

Andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs i allmän form:
$\ x^{2}+px+q=0$
och kan sedan lösas med formeln:
$x=-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}$

Exempel:
$\ 2x^{2}-20x+22=4$ kan man lösa såhär:
För att få ekvationen i allmän form subtrahera med 4 på bägge sidor om = tecknet för att få HL (högra ledet) till 0 och dela alltihop med 2 för att få $\ 2x^{2}$ till $\ x^{2}$:

${\frac {2x^{2}-20x+22-4=4-4}{2}}={\frac {2x^{2}-20x+18=0}{2}}=x^{2}-10x+9=0$ (allmän form)

För att lösa ekvationen sätter du in värdena i formeln

$x=-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}$
vilket ger:

$x=-(-10)/2\pm {\sqrt {((-10)/2)^{2}-9}}$
Förenkla:
$x=10/2\pm {\sqrt {-5^{2}-(9)}}$
$x=5\pm {\sqrt {25-9}}$
$x=5\pm {\sqrt {16}}$
$x=5\pm 4$

D.v.s. Hälften av p är -5, med ombytt tecken är 5, ± roten ur, hälften av p=-5 i kvadrat=25 minus q=9

$\ x1=5+4$ och $\ x2=5-4$ vilket ger $\ x1=9$ och $\ x2=1$

Faktorisering

Låt oss titta på ett uttryck: $\ x(4-2x)$

Vi utvecklar uttrycket och får: $\ 4x-2x^{2}$

Alltså:

$\ x(4-2x)=4x-2x^{2}$

Begrepp: produkt = summa

Vi vänder på talet:

$\ 4x-2x^{2}=x(4-2x)$

Begrepp: summa = produkt

Vi har alltså omvandlat en summa till en produkt genom att bryta ut x. Detta kallas faktorisering.

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Kan man faktorisera en andragradsekvation är det lätt att hitta nollställena.

Talet vi löste under rubriken andragradsekvationer går att faktorisera.

Man utgår från allmän form.

$\ x^{2}+px+q=0$

$\ x^{2}-10x+9=0$

Vi faktoriserar uttrycket.

$\ x^{2}-10x+9=(x-9)(x-1)$

För att svaret ska bli 0 så måste någon av paranteserna bli 0 och om x=9 blir första parantesen = 0 och om x=1 blir andra parantesen = 0

$\ (9-9)(9-1)=0$

$\ (1-9)(1-1)=0$

$\ x1=9$ och $\ x2=1$

Alla andragradsekvationer skrivna i allmän form som har en giltig lösning går att faktorisera. En ekvation med rötterna x1 och x2 går att faktorisera enligt:

$\ (x-(x1))(x-(x2))$