Matematik/Matematik B/Funktioner
Från Wikibooks
Funktioner
Innehåll |
[redigera] Funktionsbegreppet
Formellt sett är en funktion, oftast skriven som y = f(x), en regel som för varje x har ett värde y definierat av regeln för f(x). f(x) kan till exempel vara en rät linje y = f(x) = kx + m.
I matematik B är x antingen hela tallinjen (alla reella tal) eller en del av den. De tal som x kan anta kallas funktionens definitionsmängd. De värden y som f(x) kan anta för definitionsmängden av x, kallas värdemängd.
[redigera] Linjära funktioner
En linjär funktion är en rak linje i ett koordinatsystem, som inte är parallell med y-axeln.
Alla linjära funktioner kan plottas i ett koordinatsystem. Dessa raka linjer kan kallas "den räta linjens funktion" och kan generellt beskrivas med formeln:
y = kx + m, där k och m är konstanter, unika attribut för att beskriva linjen.
k är ett mått på lutningen på linjen, och m där linjen skär y-axeln.
x är den oberoende variabeln och beskrivs av den horisontella axeln koordinatsystemet. y den beroende variabeln som sätts av på den vertikala axeln. y får sitt värde beroende på x.
När man ritar ut en graf, låter x-värdet successivt öka som en tallinje. Därefter beräknar man och prickar ut alla y-värden (som då är höjden) för varje x.
Lutningen på kurvan, k, definieras av förändringen av värdet - y - när x ökar med 1.
[redigera] Linjära ekvationssystem
För vissa matematiska problem finns det fler än en obekant och som uppfyller flera olika villkor. Villkoren kan skrivas som ekvationer och de obekanta som okända variabler, x och y. Problemen kan skrivas upp som ett ekvations-system.
Ett ekvationssystem kan tex bestå av ekvationerna (1) och (2) nedan:
och genom att använda båda ekvationerna tillsammans, får man ut distinkta värden på x och y. Det är möjligt att tolka de båda ekvationerna som två varianter av räta linjens ekvation - de beskriver räta linjer i ett koordinatsystem. De distinkta värdena på x och y kan läsas av i den punkt (för x och y) där dessa linjer möts.
Ekvationen kan också lösas genom att manipulera uttrycken i ekvationssystemet.
[redigera] Substitutionsmetoden
En vanlig lösningsmetod går ut på att lösa ut en okänd variabel ur en ekvation, och ersätta (substituera) uttrycket som motsvarar den variabeln i den andra ekvationen. Därefter kan den andra ekvationen lösas för den andra variabeln. Värdet på den variabeln sätts sedan in i uttrycket som löste ut den första variabeln, och på så sätt fås värdet av den första variabeln.
Lös ut y ur (1) genom att subtrahera 5x på båda sidorna om likhetstecknet.
Sätt in uttrycket för y i uttryck (2):
Nu består detta uttryck av en ekvation med en obekant, x som kan lösas på sedvanligt sätt.
Förenkla uttrycket genom att utveckla parentesen
,
addera x-termerna
,
och subtrahera båda sidor av likhetstecknet med 16
.
.
Multiplicera båda sidor av likhetstecknet för att få bort minustecknet framför x-termen.
,
och dividera båda sidorna med 6:
,
Sätt nu in x = 1 i ekvation (3) ovan.
.
Lösningen för ekvations-systemet är alltså:
Genom en sådan här manipulation av båda ekvationerna i systemet, kan man hitta ett värde på x och och ett på y som uppfyller båda ekvationerna i ekvationssystemet.
[redigera] Andragradsfunktioner
En andragradsfunktion är en funktion som innehåller en term med x2 och eventuellt termer med x och konstant-term.
En andragradsekvation fås av att sätta en andragradsfunktion till värdet 0 eller lika med en annan funktion av högst andra graden.
Det finns högst två (reella) lösningar på en andragradsekvation. Exempel:
Om x2 − 4 = 0 så är x antingen -2 eller 2 lösningar.
x2 + 2x + 1 = 0 har bara en lösning, x = -1.
x2 + 1 = 0 saknar (reella) lösningar.
Den här boksidan är en stub, hjälp Wikibooks genom att skriva mer!
Här skulle det absolut behövas lite förklarande grafer. Och PQ-formeln, förstås. Men ingen minsta kvadratmetoden, som tillhör en annan del av matematiken.
