Matematik för årskurs 7-9/Taluppfattning och räkning/Alternativa talsystem

Från Wikibooks
Hoppa till navigering Hoppa till sök


1.5  Alternativa talsystem – binära, andra
1.5.1  Historiska talsystem
1.5.2  Binära talsystemet
1.5.3  Andra talsystem

Vårt talsystem[redigera]

Vårt talsystem som vi använder bygger på talet 10. Det är så många gånger det skiljer mellan varje siffra i ett tal. Till exempel i talet 44 är den första fyran 10 gånger så mycket värd som den andra. Detta kan man utnyttja till att dela upp siffrorna i olika antal tior. Till exempel kan talet 321 också skrivas 3 · 100 + 2 · 10 + 1 eller 3 · 10 · 10 + 2 · 10 + 1. Det är ju också därför det är så lätt att multiplicera eller dela med tio (eller 100 eller 1000) eftersom det gör att siffrorna är samma men bara flyttas åt vänster (när man multiplicerar) eller höger (när man dividerar). Till exempel är ju 321 · 10 = 3210, 321 har flyttats en position åt vänster och man har lagt på en nolla för att täcka upp den tomma platsen.

Om man vill vara extra tydliga med att man använder just vårt talsystem skriver man ibland ut en liten tia efter talet så här: 32110.

Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter  visa  diskussion  redigera 

Grund-nivå


E-nivå


C-nivå


A-nivå


Fördjupning


Ej nivåsatt

Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i de i!


Historia[redigera]

Det råder en del delade meningar om vilka som utvecklade vårt talsystem, men man vet att vi fick det till Europa från araberna vid ungefär år 1000 och att araberna i sin tur fick det från Indien som använde det redan 300 år f.kr. Innan det är det osäkert hur det kom till. Romarna hade sina siffror som delvis också bygger på talet tio även om de också lägger tyngd på talet 5. Egyptierna använde också talet tio som bas redan år 3000 år f.kr. Vem som först kom på att använda samma siffra för 9:an i 90 som i 900 vet man inte heller. Varken indierna, romarna eller egyptierna gjorde det utan de hade olika symboler för talet 90 och talet 900 på samma sätt som kineserna har olika symboler för olika ord och inte använder bokstäver som vi.

Troligt är att sättet att skriva med samma tecken för nian i 90 och 900 utvecklades först indierna cirka år 500 e.kr. Senare av araberna ungefär år 1000 e.kr samtidigt som de också utvecklade bråkräkningen. De systemen ändrades i Europa ett par hundra år senare och blev som det vi använder nu på 1600-talet.

Även kineserna hade liknande sätt även om de använde (och fortfarande använder) helt andra tecken för siffrorna. De utvecklade sätt att skriva med decimaler redan år 100 f.kr och det kan mycket väl ha influerat indierna i deras utveckling av sin matematik.

Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter  visa  diskussion  redigera 

Grund-nivå


E-nivå


C-nivå


A-nivå


Fördjupning


Ej nivåsatt

Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i de i!


Binära talsystemet[redigera]

Nästan all räkning man gör utgår från basen tio. Man är så van att räkna med basen tio att det blir svårt att föreställa sig hur det skulle bli om man istället använde sig av en annan bas. Det finns faktiskt en bas till som är väldigt viktig och det är basen 2, dessa tal kallas även för binära tal, det är den talbasen som datorer använder sig av. Istället för att räkna 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 så blir det istället om man räknar på basen 2 på följande sätt: 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010. När man ser det såhär så kan det vara väldigt svårt att förstå hur man räknar, men som tur är så finns det ett väldigt enkelt sätt att komma fram till det binära talet om man har ett tal på basen 10 (vanliga tal) det man gör är att man delar talet med två och varje gång man delar skriver man en nolla om det går jämt ut och en etta om det inte gör det. Det är viktigt att komma ihåg att för att få rätt binära tal måste man skriva upp talen åt fel håll, från höger till vänster. Ett bra sätt att komma ihåg detta är att tänka på att om det skulle vara en nolla längst till vänster skulle den inte fylla någon funktion. På samma sätt som det vanliga talsystemet 018 är till exempel inget riktigt tal.

Exempel  visa  diskussion  redigera 

Skriv talet 11 på talbasen 2

11/2 1 Det går inte jämt ut, så det blir en etta, för att få fram nästa tal, tar man talet man hade från början minus 1 i det här fallet blir det 10 och 10/2 är 5 så nästa tal är 5

5/2 1 Blir samma sak igen, ta fem minus ett och dela sedan med två igen så att nästa tal blir 2

2/2 0 Två går att dela med två, så det blir en nolla

1/2 1 Den sista uträkningen kommer alltid att bli 1/2 och det kommer alltid bli 1, så kom ihåg det att den binära talföljden alltid börjar med en etta och det talet kommer från den sista uträkningen

Den binära talföljden blir alltså på följande vis: 1011


Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter  visa  diskussion  redigera 

Grund-nivå


E-nivå


C-nivå


A-nivå


Fördjupning


Ej nivåsatt

Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i de i!

1. Gör om dessa tal till talbasen 2

a) 7
b) 27
c) 512

2. Gör om dessa tal till talbasen 2

a) 1
b) 2
c) 3

3. Gör om dessa tal till talbasen 10 (Vanliga tal)

a) 10
b) 111
c) 101010


Andra talsystem[redigera]

Hexadecimala systemet[redigera]

Talbas 60[redigera]

Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter  visa  diskussion  redigera 

Grund-nivå


E-nivå


C-nivå


A-nivå


Fördjupning


Ej nivåsatt

Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i de i!

1. Varför används det hexadecimala systemet mycket inom datorvärlden?

2. När man använder färger i en dator används ofta RGB-systemet som beyder att man med två hexadecimala siffor anger Rött, sedan Grönt och sist Blått. Vilken färg motsvarar följande färger:

a) FF00FF
b) 77FF77
c) FFFFFF