Matematik för årskurs 7-9/Faktasidor

Sidor med fakta om olika saker som gåtts igenom, men som är för specifikt för att höra hemma i genomgången. Kan vara fördjupande. Lägg till vad som hellst så kan det antingen få en egen undersida eller flyttas in som fördjupning nån stans.

Talssystem

Mer om talsystem finns under Matematik för årskurs 7-9/Taluppfattning och räkning/Alternativa talsystem (Kopierat härifrån).

Andragradsekvationer

Hittils har vi bara löst ekvationer där x har multiplicerats med vanliga tal. En ganska vanlig typ av ekvation som är lite svårare är när x multipliceras med sig själv. Det enklaste uttrycket av den typen är x². Då kan man få ekvationer som till exempel x² = 4. Den ekvationen har två lösningar (x är antingen 2 eller −2). Den här typen av ekvationer kallas för andragradsekvationer. Saker som beskrivs av andragradsekvationer är fritt fall och hur saker rör sig när man kastar iväg dem.

Andragradsekvatoiner kan ha inga, en eller två lösningar. Om man tänker på när en sten som man kastar upp i luften är 2 meter upp så är den på den höjden två gånger (en gång på vägen upp och en gång på vägen ner) om man kastar stenen högre än 2 meter. Kastar man stenen precis 2 meter upp är den bara på höjden 2 meter en gång (när den precis är som högst och vänder). Kastar man stenen mindre än 2 meter kommer den aldrig upp till 2 meter.

Man kan också blanda vanliga (linjära) ekvationer tillsammans med sådana här andragradsekvationer så att man får x² + 2x = 8 till exempel. Den kallas då fortfarande för en andragradsekvation.

För att lösa denna typ av ekvationer anväder man en formel som ofta kallas pq-formeln. Det gör man genom att flytta runt i ekvationen tills den är skriven som: x² + px + q = 0, där p och q är två olika tal eller samma vilka som hellst (även negativa tal). Då löser man ekvationen med följande formel som ger två svar:

$x={-p \over 2}\pm {\sqrt {{p^{2} \over 4}-q}}$

eller skrivet som två formler:

$x_{1}={-p \over 2}+{\sqrt {{p^{2} \over 4}-q}}$

$x_{2}={-p \over 2}-{\sqrt {{p^{2} \over 4}-q}}$

Vilket som är det första eller andra svaret spelar ingen roll. Om det är "riktiga" exempel så kan det vara så att den ena lösningen är orimlig. Till exempel om man får att en sten som släpps från ett hus slår i backen innan den har släppts och ett svar som är efter. Då är ju endast svaret där stenen slår i efter riktigt.

Om uttrycket i rottecknet blir noll har ekvationen bara en lösning. Blir det mindre än noll i rottecknet finns det inga lösningar.

Övningsuppgifter

1. Lös följande ekvationer a) x2 = 9 b) x2 − 2x = 0 c) x2 + 2x − 8 = 0 Lösning a) x1 = 3, x2 = −3 b) x1 = 0, x2 = 2 c) x1 = 2, x2 = −4 2. Lös följande ekvationer a) x2 − 2x − 3 = 0 b) x2 − 6x + 5 = 0 c) x2 + 2x = 0 Lösning a) x1 = −1, x2 = 3 b) x1 = 1, x2 = 5 c) x1 = 0, x2 = −2 3. Lös följande ekvationer a) x2 − 2x = 15 b) x2 = 4x + 5 c) 2x2 − 8x + 8 = 0 Lösning a) x1 = −3, x2 = 5 b) x1 = −1, x2 = 5 c) x = 2 4. Lös följande ekvationer a) x2 − 2x = −1 b) x2 = 4x − 5 c) x2 − 2x − 1 = 0 Lösning a) x = 1 b) Ingen lösning, ($x{=}2\pm {\sqrt {-1}}$) c) $x_{1}{=}1-{\sqrt {2}}$ ≈ −0,41421, $x_{2}{=}1+{\sqrt {2}}$ ≈ 2,41421 5. Ställ upp en formel för q-värdet om du har p-värdet för att andragradsekvationen endast ska ha en lösning. Lösning Svar $q={p^{2} \over 4}$ Härledning Om den endast ska ha en lösning måste uttrycket i rottecknet vara lika med noll. ${p^{2} \over 4}-q=0$ ${p^{2} \over 4}=q$ $q={p^{2} \over 4}$ 6. Ställ upp en formel för p-värdet om du har q-värdet för att andragradsekvationen endast ska ha en lösning. Lösning Svar $p=\pm 2{\sqrt {q}}$ Härledning Om den endast ska ha en lösning måste uttrycket i rottecknet vara lika med noll. ${p^{2} \over 4}-q=0$ ${p^{2} \over 4}=q$ $p^{2}=4q$ $p={\sqrt {4q}}$ eller $p=-{\sqrt {4q}}$ $p=2{\sqrt {q}}$ eller $p=-2{\sqrt {q}}$

Olikheter

Ett likhetstecken betyder att det är samma sak på båda sidorna. Ibland så är det inte det. Det finns fyra tecken som behandlar något som heter olikheter. <, >, ≤ och ≥. < betyder att de som står till vänster är mindre än det som står till höger. > är precis tvärtom, det som står till höger är mindre än det till vänster. ≤ är samma sak som < fast det kan vara samma sak ibland. Står det < så är vänstersidan alltid mindre. x < 2 betyder till exempel att x kan vara exempelvis −3, 1 eller 1,99 men inte 2 eller något större tal. x ≤ 2 betyder att x kan vara exempelvis −3, 1 eller 2 men inte 2,001 eller något annat tal större än 2.

Exempel på skillnaden mellan > och ≥ är att alla lägnder är ≥0. Om två ställen ligger precis kant i kant så är det inget avstånd emellan men det är omöjligt att det är ännu kortare än det mellan ställena. Däremot så är alla lägnder i en kvadrat >0. Det är omöjligt att ha en sida som är lika med 0 eftersom det då inte längre skulle vara en kvadrat utan bara en punkt.

Tecken	Uttal	Betyder
<	mindre än	det till vänster är mindre än det till höger
>	större än	det till vänster är större än det till höger
≤	mindre än eller lika med	det till vänster är mindre än det till höger eller så är båda samma
≥	större än eller lika med	det till vänster är större än det till höger eller så är båda samma

Övningsuppgifter

1. Lös följande olikheter a) x + 5 > 10 b) 2 < 1 + x c) 2x > 8 d) 3 + 2x < 21 Lösning a) x > 5 b) x > 1 c) x > 4 d) x < 9 2. Lös följande olikheter a) x + 2 > 5 b) 2 − x < 8 c) 2x + 3 ≥ 7 d) 9 − 2x ≥ 7 Lösning a) x > 3 b) x > −6 c) x ≥ 2 d) x ≤ 1

Länkar

Några länkar om olikheter:

• http://www.matteguiden.se/matte-b/algebra/olikheter/
• http://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/funktioner/grafisk-losning-av-olikheter
• http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass9.html
• http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Olikheter_med_absolutbelopp