Matematik för årskurs 7-9/Algebra/Ekvationer/Uppgifter/Ekvationslösning

Grund-nivå

<inc>Lös följande ekvationer:

a) x + 2 = 6

b) x + 3 = 4

c) x + 1 = 3

d) x + 1 = 9

Lösning

a) x = 4
b) x = 1
c) x = 2
d) x = 8

Lösning med fingermetoden
a) x + 2 = 6 Eftersom 4 + 2 = 6 så måste x = 4 b) x + 3 = 4 Eftersom 1 + 3 = 4 så måste x = 1 c) x + 1 = 3 Eftersom 2 + 1 = 3 så måste x = 2 d) x + 1 = 9 Eftersom 8 + 1 = 9 så måste x = 8

Algebraisk lösning (bättre)
a) x + 2 = 6 Subtrahera 2 på båda sidorna: x + 2 - 2 = 6 - 2 Vilket förenklas till x = 4 b) x + 3 = 4 Subtrahera 3 på båda sidorna: x + 3 - 3 = 4 - 3 Vilket förenklas till x = 1 c) x + 1 = 3 Subtrahera 1 på båda sidorna: x + 1 - 1 = 3 - 1 Vilket förenklas till x = 2 d) x + 1 = 9 Subtrahera 1 på båda sidorna: x + 1 - 1 = 9 - 1 Vilket förenklas till x = 8

Exempellösnig
a) ${\begin{aligned}x+2\ &{=}\ 6\\-\ 2\ &\ \quad -2\\x\ &{=}\ 4\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x+3\ &{=}\ 4\\-\ 3\ &\quad \ -3\\x\ &{=}\ 1\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x+1\ &{=}\ 3\\-\ 1\ &\quad \ -1\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x+1\ &{=}\ 9\\-\ 1\ &\quad \ -1\\x\ &{=}\ 8\end{aligned}}$

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 2x = 8

b) 3x = 6

c) 2x = 10

d) 5x = 15

Lösning

a) x = 4
b) x = 2
c) x = 5
d) x = 3

Lösning med fingermetoden
a) 2x = 6 Eftersom 2 · 4 = 8 så måste x = 4 b) 3x = 6 Eftersom 3 · 2 = 6 så måste x = 2 c) 2x = 10 Eftersom 2 · 5 = 10 så måste x = 5 d) 5x = 15 Eftersom 5 · 3 = 15 så måste x = 3

Algebraisk lösning (bättre)
a) 2x = 6 Dividera med 2 på båda sidorna: 2x / 2 = 6 / 2 Vilket förenklas till x = 3 b) 3x = 6 Dividera med 3 på båda sidorna: 3x / 3 = 6 / 3 Vilket förenklas till x = 2 a) 2x = 10 Dividera med 2 på båda sidorna: 2x / 2 = 10 / 2 Vilket förenklas till x = 5 a) 5x = 15 Dividera med 5 på båda sidorna: 5x / 5 = 15 / 5 Vilket förenklas till x = 3

Exempellösnig
a) ${\begin{aligned}2x\ &{=}\ 6\\/\ 2\ &\ \quad /\ 2\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}3x\ &{=}\ 6\\/\ 3\ &\quad \ /\ 3\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}2x\ &{=}\ 10\\/\ 2\ &\quad \ /\ 2\\x\ &{=}\ 5\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}5x\ &{=}\ 15\\/\ 5\ &\quad \ /\ 5\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$

<inc>Lös följande ekvationer:

a) x - 5 = 1

b) x - 4 = 6

c) x - 2 = 0

d) x - 10 = 20

Lösning

a) x = 6
b) x = 10
c) x = 2
d) x = 30

Lösning med fingermetoden
a) x - 5 = 1 Eftersom 6 - 5 = 1 så måste x = 6 b) x - 4 = 6 Eftersom 10 - 4 = 6 så måste x = 10 c) x - 2 = 0 Eftersom 2 - 2 = 0 så måste x = 2 d) x - 10 = 20 Eftersom 30 · 10 = 20 så måste x = 30

Algebraisk lösning (bättre)
a) x - 5 = 1 Addera 5 på båda sidorna: x - 5 + 5 = 1 + 5 Vilket förenklas till x = 6 b) x - 4 = 6 Addera 4 på båda sidorna: x - 4 + 4 = 6 + 4 Vilket förenklas till x = 10 c) x - 2 = 0 Addera 2 på båda sidorna: x - 2 + 2 = 0 + 2 Vilket förenklas till x = 2 d) x - 10 = 20 Addera 10 på båda sidorna: x - 10 + 10 = 20 + 10 Vilket förenklas till x = 30

Exempellösnig
a) ${\begin{aligned}x-5\ &{=}\ 1\\+\ 5\ &\ \quad +5\\x\ &{=}\ 6\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x-4\ &{=}\ 6\\+\ 4\ &\ \quad +4\\x\ &{=}\ 10\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x-2\ &{=}\ 0\\+\ 2\ &\ \quad +2\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x-10\ &{=}\ 20\\+\ 10\ &\ \quad +10\\x\ &{=}\ 30\end{aligned}}$

<inc>Lös följande ekvationer:

a) x / 2 = 3

b) x / 5 = 2

c) x / 3 = 3

d) x / 10 = 1

Lösning

a) x = 6
b) x = 10
c) x = 9
d) x = 10

Lösning med fingermetoden
a) x / 2 = 3 Eftersom 6 / 2 = 3 så måste x = 6 b) x / 5 = 2 Eftersom 10 / 5 = 2 så måste x = 10 c) x / 3 = 3 Eftersom 2 · 5 = 10 så måste x = 5 d) x / 10 = 1 Eftersom 10 / 10 = 1 så måste x = 10

Algebraisk lösning (bättre)
a) x / 2 = 3 Multiplicera med 2 på båda sidorna: (x / 2) · 2 = 3 · 2 Vilket förenklas till x = 6 b) x / 5 = 2 Multiplicera med 5 på båda sidorna: (x / 5) · 5 = 2 · 5 Vilket förenklas till x = 10 c) x / 3 = 3 Multiplicera med 3 på båda sidorna: (x / 3) · 3 = 3 · 3 Vilket förenklas till x = 9 d) x / 10 = 1 Multiplicera med 10 på båda sidorna: (x / 10) · 10 = 1 · 10 Vilket förenklas till x = 10

Exempellösnig
a) ${\begin{aligned}x/2\ &{=}\ 3\\\cdot \ 2\ &\ \quad \cdot 2\\x\ &{=}\ 6\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x/5\ &{=}\ 2\\\cdot \ 5\ &\ \quad \cdot 5\\x\ &{=}\ 10\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x/3\ &{=}\ 3\\\cdot \ 3\ &\ \quad \cdot 3\\x\ &{=}\ 9\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x/10\ &{=}\ 1\\\cdot \ 10\ &\ \quad \cdot 10\\x\ &{=}\ 10\end{aligned}}$

E-nivå

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 2x = 8

b) x + 7 = 10

c) x - 3 = 1

d) x / 4 = 4

Lösning

a) x = 4
b) x = 3
c) x = 4
d) x = 16

Lösning med fingermetoden
a) 2x = 8 Eftersom 2 · 4 = 8 så måste x = 4 b) x + 7 = 10 Eftersom 3 + 7 = 10 så måste x = 3 c) x - 3 = 1 Eftersom 4 - 3 = 1 så måste x = 4 d) x / 4 = 4 Eftersom 16 / 4 = 4 så måste x = 16

Algebraisk lösning (bättre)
a) 2x = 8 Dividera båda sidorna med 2: ${{2x} \over {2}}{=}{{8} \over {2}}$ Vilket förenklas till x = 4 b) x + 7 = 10 Subtrahera 7 på båda sidorna: x + 7 - 7 = 10 - 7 Vilket förenklas till x = 3 c) x - 3 = 1 Addera 3 på båda sidorna: x - 3 + 3 = 1 + 3 Vilket förenklas till x = 4 d) x / 4 = 4 Multiplicera båda sidorna med 4: ${{4x} \over {4}}{=}{4\cdot 4}$ Vilket förenklas till x = 16

Exempellösnig
a) ${\begin{aligned}2x\ &{=}\ 8\\/\ 2\ &\ \quad /2\\x\ &{=}\ 4\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x+7\ &{=}\ 10\\-\ 7\ &\quad \ -7\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x-3\ &{=}\ 1\\+\ 3\ &\quad \ +3\\x\ &{=}\ 4\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x/4\ &{=}\ 4\\\cdot \ 4\ &\quad \ \cdot 4\\x\ &{=}\ 16\end{aligned}}$

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 2x + 1 = 5

b) 3x - 2 = 7

c) 5x + 5 = 20

d) 2x - 4 = 0

Lösning

a) x = 2
b) x = 3
c) x = 3
d) x = 2

Lösning med fingermetoden
a) 2x + 1 = 5 Eftersom 4 + 1 = 5 så måste 2x = 4 Eftersom 2 · 2 = 4 så måste x = 2 b) 3x - 2 = 7 Eftersom 9 - 2 = 7 så måste 3x = 9 Eftersom 3 · 3 = 9 så måste x = 3 c) 5x + 5 = 20 Eftersom 15 + 5 = 20 så måste 5x = 15 Eftersom 5 · 3 = 15 så måste x = 3 d) 2x - 4 = 0 Eftersom 4 - 4 = 0 så måste 2x = 4 Eftersom 2 · 2 = 4 så måste x = 2

Algebraisk lösning (bättre)
a) 2x + 1 = 5 Subtrahera 1 på båda sidorna: 2x + 1 - 1 = 5 - 1 Vilket förenklas till 2x = 4 Dividera båda sidorna med 2 2x / 2 = 4 / 2 Vilket förenklas till x = 2 b) 3x - 2 = 7 Addera 2 på båda sidorna: 3x - 2 + 2 = 7 + 2 Vilket förenklas till 3x = 9 Dividera båda sidorna med 3 3x / 3 = 9 / 3 Vilket förenklas till x = 3 c) 5x + 5 = 20 Subtrahera 5 på båda sidorna: 5x + 5 - 5 = 20 - 5 Vilket förenklas till 5x = 15 Dividera båda sidorna med 5 5x / 5 = 15 / 5 Vilket förenklas till x = 3 d) 2x - 4 = 0 Addera 4 på båda sidorna: 2x - 4 + 4 = 0 + 4 Vilket förenklas till 2x = 4 Dividera båda sidorna med 2 2x / 2 = 4 / 2 Vilket förenklas till x = 2

Exempellösnig
a) ${\begin{aligned}2x+1\ &{=}\ 5\\-\ 1\ &\ \quad -1\\2x\ &{=}\ 4\\/\ 2\ &\ \quad /\ 2\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}3x-2\ &{=}\ 7\\+\ 2\ &\quad \ +2\\3x\ &{=}\ 9\\/\ 3\ &\quad \ /\ 3\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}5x+5\ &{=}\ 20\\-\ 5\ &\quad \ -5\\5x\ &{=}\ 15\\/\ 5\ &\quad \ /\ 5\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}2x-4\ &{=}\ 0\\+\ 4\ &\quad \ +4\\2x\ &{=}\ 4\\/\ 2\ &\quad \ /\ 2\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 2x = x + 5

b) 12 - x = 3x

c) 5x + 1 = 2x + 10

d) 5 - 2x = 2x - 3

Lösning
a) x = 5 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 2

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 2(x + 1) = 3x

b) 2x - (x + 4) = 0

c) (1 - x) - (2x - 4) = 2x

d) x - 3(2x - 1) + 7 = 4 - x

Lösning
a) x = 2 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 1,5

<inc>Lös följande ekvationer:

a) x² = 9 (två lösningar)

b)

{\sqrt {x}}=2

c) x³ = 8

d)

{\sqrt {x+1}}=4

Lösning
a) x = 3 eller x = -3 b) x = 4 c) x = 2 d) x = 15

C-nivå

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 3x + 7 = 1

b) 3 - 2x = 1

c) 5 - 5x = 15

d) 2x - 4 = 1

Lösning
a) x = -2 b) x = 1 c) x = -2 d) x = 2,5 eller $5 \over 2$

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 4x = x + 1

b) 3 - x = 3x

c) 2x + 7 = 4x + 10

d) 501 - 20x = 20x - 299

Lösning
a) x = $1 \over 3$ b) x = $3 \over 4$ eller 0,75 c) x = $-{3 \over 2}$ eller -1,5 d) x = 20

A-nivå

<inc>Lös följande ekvationer:

a)

{x \over 3}+{x \over 2}={1 \over 4}

b)

{2 \over 3}x+{1 \over 2}={1 \over 2}x

c)

-x+1={2x \over 3}

d) 123x + 456 = 789x

Lösning
a) x = $3 \over 10$ b) x = -3 c) x = $3 \over 5$ d) x = $76 \over 111$

<inc>Lös följande ekvationer:

a)

{1 \over x+1}={2 \over x+2}

b)

{1 \over x+2}={3 \over x+4}

c)

{1 \over x+2}={3 \over x+4}-3

d)

{1 \over x-1}={2 \over x+1}

Lösning
a) x = 0 b) x = -1 c) x = $-{2 \over 3}$ d) x = 3

<inc>Lös följande ekvationer:

a) 5x = π

b) x / t = v

c) (x + a) + (x - b) = 0

Lösning
a) x = $\pi \over 5$ b) x = v · t c) x = ${b-a \over 2}$

Fördjupning

Olikheter borde passa här och även uppgifter med andragradsekvationer.

Olikheter

Ett likhetstecken betyder att det är samma sak på båda sidorna. Ibland så är det inte det. Det finns fyra tecken som behandlar något som heter olikheter. <, >, ≤ och ≥. < betyder att de som står till vänster är mindre än det som står till höger. > är precis tvärtom, det som står till höger är mindre än det till vänster. ≤ är samma sak som < fast det kan vara samma sak ibland. Står det < så är vänstersidan alltid mindre. x < 2 betyder till exempel att x kan vara exempelvis -3, 1 eller 1,99 men inte 2 eller något större tal. x ≤ 2 betyder att x kan vara exempelvis -3, 1 eller 2 men inte 2,001 eller något annat tal större än 2.

<inc>Lös följande olikheter:

a) x + 5 > 10

b) 2 < 1 + x

c) 2x > 8

d) 3 + 2x < 21

Lösning
a) x > 5 b) x > 1 c) x > 4 d) x < 9

<inc>Lös följande olikheter:

a) x + 2 > 5

b) 2 - x < 8

c) 2x + 3 ≥ 7

d) 9 - 2x ≥ 7

Lösning
a) x > 3 b) x > -6 c) x ≥ 2 d) x ≤ 1

Några länkar om olikheter:

Ej nivåsatt

<inc>Lös följande ekvationer:

a)

{\sqrt {x+5}}=4

b)

{\sqrt {x^{2}+5}}=3

c)

({\sqrt {x}}+1)^{2}=9

d)

{\sqrt {5-x^{2}}}=2

Lösning
a) x = 11 b) x = 2 c) x = 4 d) x = 1