Matematik för årskurs 7-9/Algebra/Ekvationer

Från Wikibooks
Hoppa till navigering Hoppa till sök






Intersecting Lines.svg

Ekvationslösning[redigera]

Att lösa en ekvation handlar om att ta reda på vad för tal som en variabel (x'et) är i en ekvation. Det kan vara olika svårt eller lätt i olika ekvationer och det finns ofta flera olika sätt att lösa ekvationer.

Fingermetoden[redigera]

För ekvationer med relativt lätta tal där x'et bara finns på ett ställe löser man de lättast med fingermetoden. Den går ut på att man håller fingret över där x står och tänker ut vad för tal som måste finnas under fingret för att ekvationen ska stämma.

Till exempel 2x + 5 = 9. Om vi då håller över 2x kan vi inse att det måste står 4 under fingret eftersom 4 + 5 = 9. Alltså måste 2x vara lika med 4. Om vi åter håller över x'et kan vi inse att det måste vara en 2:a under fingret eftersom 2 ⋅ 2 = 4. Alltså är x = 2.


Tvärtommetoden[redigera]

Här är en metod till som också bygger på att x bara står på ett ställe.

Denna metod bygger på att man gör tvärtom mot vad som står och alltså räknar baklänges. Om vi har 2x + 5 = 9 så borde vi först räkna ut 2 ⋅ x eftersom man alltid räknar gånger före plus, och sedan räkna + 5. Nu ska vi göra tvärtom så då börjar vi med + 5. Tvärtom + 5 är − 5 så då tar vi 9 − 5 vilket är 4. Sedan tar vi tvärtom gånger 2 vilket är delat med två. Så nu tar vi 4 / 2 vilket är 2. Alltså är x = 2.


Algebraisk lösning[redigera]

Den metod som kan lösa nästan alla ekvationer (på högstadienivå) bygger på att man utnyttjar att de båda sidorna om likamedtecknet egentligen är samma tal även om det kan vara skrivet på olika sätt. Ekvationen 2x + 5 = 9 innebär alltså att det faktiskt står 9 även på den vänstra sidan fast skrivet med ett x och lite annat. Om båda talen är samma sak så kan man göra vad som helst med det talet så länge man gör samma sak på båda sidorna. Om vi till exempel tar bort 5 på båda sidorna blir det 4 kvar på båda sidorna eftersom 9 − 5 = 4 och det ju faktiskt står 9 på båda sidorna. Men nu till det smarta med denna metoden: 2x + 5 − 5 = 4 eftersom femmorna tar ut varandra. Då blir ekvationen 2x = 4, En mycket lättare ekvation. Nu kan vi dela med 2 på båda sidorna. 2x / 2 = x och 4 / 2 = 2. Alltså blir x = 2.

(Det finns några saker man inte får göra; om man multiplicerar båda sidor med noll blir uttrycket sant oberoende av värdet på x. Det är alltså bra att kontrollera att ekvationen är sann också då man byter x mot det tal man kommit fram till, i synnerhet då man jobbar med krångligare ekvationer.)

Övningsuppgifter[redigera]

Numeriska metoder[redigera]

Prövning[redigera]

Ibland räcker det att veta om ett specifikt tal är en lösning till en ekvation eller inte. Då kan man strunta i vad som är den riktiga lösningen. Det kan vara väldigt svåra ekvationer som ibland är omöjliga att lösa om man inte vet svaret. Men om man vet svaret kan det vara ganska lätt att kolla om det stämmer.

Vad man gör är att man byter ut alla x (eller vilken variabel man än har) mot det svaret man ska prova. Sedan kollar man på både höger och vänster sida om likamedtecknet och ser om båda sidorna blir samma sak. Om vi har ekvationen 4 / x = 7 och vill veta om x är 2 så byter vi ut x'et mot en två och ser om det stämmer. Då får vi 4 / 2 på vänster sida vilket är 2 och på höger sida har vi 7. Men 2 ≠ 7, alltså kan x inte vara 2.

Vi kan prova med en ekvation till: (x + 4) / (x − 1) = 8 − x. Om vi också här ska prova om x kan vara 2 så får vi på vänster sida (2 + 4) / (2 − 1) vilket är 6 / 1 = 6. Höger sida blir 8 − 2 = 6. Båda sidorna blev samma, alltså är x = 2 en lösning. Det finns faktiskt en till lösning som är att x = 6 (prova gärna själv att den också stämmer).

Successiv prövning[redigera]

Om man inte kan lösa en ekvation exakt men vill lösa den ganska noga så kan man gissa sig fram. Det är ofta så datorer gör för att räkna ut tal. Datorer är väldigt snabba på att räkna så de kan gissa väldigt fort, men de är helt intelligensbefriade och har väldigt svårt att räkna ut även enkla ekvationer om man inte har avancerade datorprogram.

Om vi har ekvationen 1 / x = 1 + x så är den ganska svår att lösa. Vi kan prova nått tal och se hur nära vi hamnar. Om vi börjar med att prova 0,5, 1 och 2 och skriver in resultaten i en lista så får vi så här:

Gissning Vänster sida Höger sida Skillnad
0,5 2 1,5 −0,5
1 1 2 1
2 0,5 3 2,5

Vi ser att svaret borde vara någonstans mellan 0,5 och 1 så vi provar med 0,75.

Gissning Vänster sida Höger sida Skillnad
0,5 2 1,5 −0,5
0,75 1,33 1,75 0,42
1 1 2 1
2 0,5 3 2,5

Nu ser vi att x borde vara någon stans mellan 0,5 och 0,75. Efter mer provningar kan vi få fram detta:

Gissning Vänster sida Höger sida Skillnad
0,5 2 1,5 −0,5
0,6 1,67 1,6 −0,07
0,61 1,64 1,61 −0,03
0,615 1,626 1,615 −0,011
0,618 1,618 1,618 −0,0001
0,62 1,61 1,62 0,01
0,65 1,54 1,65 0,11
0,75 1,33 1,75 0,42
1 1 2 1
2 0,5 3 2,5

Det exakta svaret är det gyllene snittet som är vilket är ungefär lika med 0,6180339887498948482.

Övningsuppgifter[redigera]

Grafiska metoder[redigera]

Om man har två uttryck där man vill veta när de är lika så är det ibland både enklast och tydligast att rita upp uttrycken i ett koordinatsystem för att se när de blir lika. De är nämligen lika där de korsar varandra.

Om vi har ekvationen 2x + 1 = 10 − x så har vi två uttryck. Ett till vänster (2x + 1) och ett till höger (10 − x).

Denna metod har fördelen att man kan använda den med mycket svårare ekvationer än man kan om man ska räkna exakt. Man ser ibland också tydligare om man faktiskt har ett rimligt svar eller om allt är helt åt skogen.


Övningsuppgifter[redigera]

Ekvationssystem[redigera]

När man håller på med ekvationer så är det ofta så att det finns flera olika saker man inte vet vad de är. Då kan man kalla en sak för x och en annan för y. Ställer man då upp en ekvation och försöker lösa den så går inte det. Men om man har flera ekvationer så kan man använda de tillsammans och få fram både x och y. Man kan ha hur stora ekvationssystem som helst också med hela alfabetet och inte bara x och y. Fast då måste man också ha väldigt många ekvationer.

Hur många ekvationer man måste ha är lika många som man har olika variabler (x och y). Så har man två olika variabler, måste man ha två ekvationer. Har man tio olika variabler måste man ha tio ekvationer. Dessutom får ekvationerna inte vara varianter av varandra (x=y och 2x=2y räknas som en ekvation).


Substitutionsmetoden[redigera]

Den bästa metoden och den enda man egentligen behöver är substitutionsmetoden. Vad man gör är att man försöker få fram ett uttryck som man sedan kan byta ut en variabel mot. Det låter krångligare än det är.

Exempel
Vi har de två olika variablerna x och y. Vi har också två olika ekvationer: x + y = 5 och x − y = 1.
Då kan vi skriva om den första ekvatonen som x = 5 − y.
Sedan byter vi ut x'et i den andra ekvationen mot det uttrycket som x'et är lika med (5 − y). Man substituerar x'et.
Då blir den ekvationen (5 − y) − y = 1
Om vi löser den ekvationen får vi att y = 2.
Nu kan vi räkna ut x eftersom x = 5 − y, vilket blir 3.
Man hade lika gärna kunnat byta ut y'et och man hade lika gärna kunnat använda den andra ekvationen och sedan byta in i den första!


Additionsmetoden[redigera]

En metod som ibland är smidigare är att ta två ekvationer och addera dem på varandra. Om man åter har de två ekvationerna x + y = 5 och x − y = 1 och man slår ihop dem får vi (x + y) + (x − y) = 5 + 1. Det kan vi förenkla till 2x = 6 och då kan vi räkna ut att x = 3. Sist kan vi räkna ut att y'et då måste vara 2.

Ibland kan man inte addera två ekvationer så att en variabel försvinner så här. men ofta går det om man skriver om ekvationen så att det passar vilket kan kräva lite klurande.


Övningsuppgifter[redigera]

Blandat[redigera]

Wolfram alpha[redigera]

www.wolframalpha.com

Det finns en sida där man bland annat kan lösa ekvationer exakt som heter Wolfram alpha. På den sidan är det bara att mata in ekvationen så visar den alla svaren.

Exempel: 2 + x = 3x. En bit ner står det "Solution:" och sedan svaret på ekvationen (x = 1).

Prova gärna med egna ekvationer. Wolfram alpha klarar i stort sett hur svåra ekvationer som helst.


Grafritande räknare[redigera]

Om någon har en grafritande räknare kanske den kan skriva hur man kan använda den för att lösa ekvationer.

Metoden grundar sig på att man uppfattar uttrycken på vardera sidan av likhetstecknet som en funktion. Man ritar grafen av vardera funktionen i samma koordinatsystem; där graferna skär varandra har man en lösning (samma värde på vardera funktionen för samma x). Man kan ändra på ekvationen enligt Algebraisk lösning ovan innan man ritar graferna, vilket ibland är behändigt om man har en krånglig ekvation.

Det kan vara svårt att få ut ett exakt värde ur en sådan bild, åtminstone om man ritat den för hand, men den kan ge en fingervisning om hur lösningen ser ut: finns det överhuvudtaget någon lösning, finns det fler lösningar, är lösningen ett positivt eller negativt tal, är lösningen ett stort tal? Det här är också ett sätt att kontrollera att den lösning man hittat är rimlig.

Google[redigera]

www.google.se

Man kan googla efter grafer och få upp dem. Om man googlar efter flera grafer på en gång kan man också se var de skär varandra och man har en lösning.

Exempel: y=x+1,y=2x-1 Scrolla med hjulet för att zooma in på lösningen (x = 2, y = 3).

Övningsuppgifter[redigera]

Länkar[redigera]

Spel:

Genomgångar:

Videogenomgångar:

Övrigt: