Matematik för årskurs 7-9/Algebra/Ekvationer

Ekvationslösning

Att lösa en ekvation handlar om att ta reda på vad för tal som en variabel (x'et) är i en ekvation. Det kan vara olika svårt eller lätt i olika ekvationer och det finns ofta flera olika sätt att lösa ekvationer.

Fingermetoden

För ekvationer med relativt lätta tal där x'et bara finns på ett ställe löser man de lättast med fingermetoden. Den går ut på att man håller fingret över där x står och tänker ut vad för tal som måste finnas under fingret för att ekvationen ska stämma.

Till exempel 2x + 5 = 9. Om vi då håller över 2x kan vi inse att det måste står 4 under fingret eftersom 4 + 5 = 9. Alltså måste 2x vara lika med 4. Om vi åter håller över x'et kan vi inse att det måste vara en 2:a under fingret eftersom 2 ⋅ 2 = 4. Alltså är x = 2.

Tvärtommetoden

Här är en metod till som också bygger på att x bara står på ett ställe.

Denna metod bygger på att man gör tvärtom mot vad som står och alltså räknar baklänges. Om vi har 2x + 5 = 9 så borde vi först räkna ut 2 ⋅ x eftersom man alltid räknar gånger före plus, och sedan räkna + 5. Nu ska vi göra tvärtom så då börjar vi med + 5. Tvärtom + 5 är − 5 så då tar vi 9 − 5 vilket är 4. Sedan tar vi tvärtom gånger 2 vilket är delat med två. Så nu tar vi 4 / 2 vilket är 2. Alltså är x = 2.

Algebraisk lösning

Den metod som kan lösa nästan alla ekvationer (på högstadienivå) bygger på att man utnyttjar att de båda sidorna om likamedtecknet egentligen är samma tal även om det kan vara skrivet på olika sätt. Ekvationen 2x + 5 = 9 innebär alltså att det faktiskt står 9 även på den vänstra sidan fast skrivet med ett x och lite annat. Om båda talen är samma sak så kan man göra vad som helst med det talet så länge man gör samma sak på båda sidorna. Om vi till exempel tar bort 5 på båda sidorna blir det 4 kvar på båda sidorna eftersom 9 − 5 = 4 och det ju faktiskt står 9 på båda sidorna. Men nu till det smarta med denna metoden: 2x + 5 − 5 = 4 eftersom femmorna tar ut varandra. Då blir ekvationen 2x = 4, En mycket lättare ekvation. Nu kan vi dela med 2 på båda sidorna. 2x / 2 = x och 4 / 2 = 2. Alltså blir x = 2.

(Det finns några saker man inte får göra; om man multiplicerar båda sidor med noll blir uttrycket sant oberoende av värdet på x. Det är alltså bra att kontrollera att ekvationen är sann också då man byter x mot det tal man kommit fram till, i synnerhet då man jobbar med krångligare ekvationer.)

Övningsuppgifter

Grund-nivå 1. Lös följande ekvationer a) x + 2 = 6 b) x + 3 = 4 c) x + 1 = 3 d) x + 1 = 9 Lösning a) x = 4 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 8 Lösning med fingermetoden a) x + 2 = 6 Eftersom 4 + 2 = 6 så måste x = 4 b) x + 3 = 4 Eftersom 1 + 3 = 4 så måste x = 1 c) x + 1 = 3 Eftersom 2 + 1 = 3 så måste x = 2 d) x + 1 = 9 Eftersom 8 + 1 = 9 så måste x = 8 Algebraisk lösning (bättre) a) x + 2 = 6 Subtrahera 2 på båda sidorna: x + 2 − 2 = 6 − 2 Vilket förenklas till x = 4 b) x + 3 = 4 Subtrahera 3 på båda sidorna: x + 3 − 3 = 4 − 3 Vilket förenklas till x = 1 c) x + 1 = 3 Subtrahera 1 på båda sidorna: x + 1 − 1 = 3 − 1 Vilket förenklas till x = 2 d) x + 1 = 9 Subtrahera 1 på båda sidorna: x + 1 − 1 = 9 − 1 Vilket förenklas till x = 8 Exempellösnig a) ${\begin{aligned}x+2\ &{=}\ 6\\-\ 2\ &\ \quad -2\\x\ &{=}\ 4\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x+3\ &{=}\ 4\\-\ 3\ &\quad \ -3\\x\ &{=}\ 1\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x+1\ &{=}\ 3\\-\ 1\ &\quad \ -1\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x+1\ &{=}\ 9\\-\ 1\ &\quad \ -1\\x\ &{=}\ 8\end{aligned}}$ 2. Lös följande ekvationer a) 2x = 8 b) 3x = 6 c) 2x = 10 d) 5x = 15 Lösning a) x = 4 b) x = 2 c) x = 5 d) x = 3 Lösning med fingermetoden a) 2x = 6 Eftersom 2 ⋅ 4 = 8 så måste x = 4 b) 3x = 6 Eftersom 3 ⋅ 2 = 6 så måste x = 2 c) 2x = 10 Eftersom 2 ⋅ 5 = 10 så måste x = 5 d) 5x = 15 Eftersom 5 ⋅ 3 = 15 så måste x = 3 Algebraisk lösning (bättre) a) 2x = 6 Dividera med 2 på båda sidorna: 2x / 2 = 6 / 2 Vilket förenklas till x = 3 b) 3x = 6 Dividera med 3 på båda sidorna: 3x / 3 = 6 / 3 Vilket förenklas till x = 2 a) 2x = 10 Dividera med 2 på båda sidorna: 2x / 2 = 10 / 2 Vilket förenklas till x = 5 a) 5x = 15 Dividera med 5 på båda sidorna: 5x / 5 = 15 / 5 Vilket förenklas till x = 3 Exempellösnig a) ${\begin{aligned}2x\ &{=}\ 6\\/\ 2\ &\ \quad /\ 2\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}3x\ &{=}\ 6\\/\ 3\ &\quad \ /\ 3\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}2x\ &{=}\ 10\\/\ 2\ &\quad \ /\ 2\\x\ &{=}\ 5\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}5x\ &{=}\ 15\\/\ 5\ &\quad \ /\ 5\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ 3. Lös följande ekvationer a) x − 5 = 1 b) x − 4 = 6 c) x − 2 = 0 d) x − 10 = 20 Lösning a) x = 6 b) x = 10 c) x = 2 d) x = 30 Lösning med fingermetoden a) x − 5 = 1 Eftersom 6 − 5 = 1 så måste x = 6 b) x − 4 = 6 Eftersom 10 − 4 = 6 så måste x = 10 c) x − 2 = 0 Eftersom 2 − 2 = 0 så måste x = 2 d) x − 10 = 20 Eftersom 30 ⋅ 10 = 20 så måste x = 30 Algebraisk lösning (bättre) a) x − 5 = 1 Addera 5 på båda sidorna: x − 5 + 5 = 1 + 5 Vilket förenklas till x = 6 b) x − 4 = 6 Addera 4 på båda sidorna: x − 4 + 4 = 6 + 4 Vilket förenklas till x = 10 c) x − 2 = 0 Addera 2 på båda sidorna: x − 2 + 2 = 0 + 2 Vilket förenklas till x = 2 d) x − 10 = 20 Addera 10 på båda sidorna: x − 10 + 10 = 20 + 10 Vilket förenklas till x = 30 Exempellösnig a) ${\begin{aligned}x-5\ &{=}\ 1\\+\ 5\ &\ \quad +5\\x\ &{=}\ 6\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x-4\ &{=}\ 6\\+\ 4\ &\ \quad +4\\x\ &{=}\ 10\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x-2\ &{=}\ 0\\+\ 2\ &\ \quad +2\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x-10\ &{=}\ 20\\+\ 10\ &\ \quad +10\\x\ &{=}\ 30\end{aligned}}$ 4. Lös följande ekvationer a) x / 2 = 3 b) x / 5 = 2 c) x / 3 = 3 d) x / 10 = 1 Lösning a) x = 6 b) x = 10 c) x = 9 d) x = 10 Lösning med fingermetoden a) x / 2 = 3 Eftersom 6 / 2 = 3 så måste x = 6 b) x / 5 = 2 Eftersom 10 / 5 = 2 så måste x = 10 c) x / 3 = 3 Eftersom 2 ⋅ 5 = 10 så måste x = 5 d) x / 10 = 1 Eftersom 10 / 10 = 1 så måste x = 10 Algebraisk lösning (bättre) a) x / 2 = 3 Multiplicera med 2 på båda sidorna: (x / 2) ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 Vilket förenklas till x = 6 b) x / 5 = 2 Multiplicera med 5 på båda sidorna: (x / 5) ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 Vilket förenklas till x = 10 c) x / 3 = 3 Multiplicera med 3 på båda sidorna: (x / 3) ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 Vilket förenklas till x = 9 d) x / 10 = 1 Multiplicera med 10 på båda sidorna: (x / 10) ⋅ 10 = 1 ⋅ 10 Vilket förenklas till x = 10 Exempellösnig a) ${\begin{aligned}x/2\ &{=}\ 3\\\cdot \ 2\ &\ \quad \cdot 2\\x\ &{=}\ 6\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x/5\ &{=}\ 2\\\cdot \ 5\ &\ \quad \cdot 5\\x\ &{=}\ 10\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x/3\ &{=}\ 3\\\cdot \ 3\ &\ \quad \cdot 3\\x\ &{=}\ 9\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x/10\ &{=}\ 1\\\cdot \ 10\ &\ \quad \cdot 10\\x\ &{=}\ 10\end{aligned}}$ E-nivå 5. Lös följande ekvationer a) 2x = 8 b) x + 7 = 10 c) x − 3 = 1 d) x / 4 = 4 Lösning a) x = 4 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 16 Lösning med fingermetoden a) 2x = 8 Eftersom 2 ⋅ 4 = 8 så måste x = 4 b) x + 7 = 10 Eftersom 3 + 7 = 10 så måste x = 3 c) x − 3 = 1 Eftersom 4 − 3 = 1 så måste x = 4 d) x / 4 = 4 Eftersom 16 / 4 = 4 så måste x = 16 Algebraisk lösning (bättre) a) 2x = 8 Dividera båda sidorna med 2: ${{2x} \over {2}}{=}{{8} \over {2}}$ Vilket förenklas till x = 4 b) x + 7 = 10 Subtrahera 7 på båda sidorna: x + 7 − 7 = 10 − 7 Vilket förenklas till x = 3 c) x − 3 = 1 Addera 3 på båda sidorna: x − 3 + 3 = 1 + 3 Vilket förenklas till x = 4 d) x / 4 = 4 Multiplicera båda sidorna med 4: ${{4x} \over {4}}{=}{4\cdot 4}$ Vilket förenklas till x = 16 Exempellösnig a) ${\begin{aligned}2x\ &{=}\ 8\\/\ 2\ &\ \quad /2\\x\ &{=}\ 4\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}x+7\ &{=}\ 10\\-\ 7\ &\quad \ -7\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}x-3\ &{=}\ 1\\+\ 3\ &\quad \ +3\\x\ &{=}\ 4\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}x/4\ &{=}\ 4\\\cdot \ 4\ &\quad \ \cdot 4\\x\ &{=}\ 16\end{aligned}}$ 6. Lös följande ekvationer a) 2x + 1 = 5 b) 3x − 2 = 7 c) 5x + 5 = 20 d) 2x − 4 = 0 Lösning a) x = 2 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 2 Lösning med fingermetoden a) 2x + 1 = 5 Eftersom 4 + 1 = 5 så måste 2x = 4 Eftersom 2 ⋅ 2 = 4 så måste x = 2 b) 3x − 2 = 7 Eftersom 9 − 2 = 7 så måste 3x = 9 Eftersom 3 ⋅ 3 = 9 så måste x = 3 c) 5x + 5 = 20 Eftersom 15 + 5 = 20 så måste 5x = 15 Eftersom 5 ⋅ 3 = 15 så måste x = 3 d) 2x − 4 = 0 Eftersom 4 − 4 = 0 så måste 2x = 4 Eftersom 2 ⋅ 2 = 4 så måste x = 2 Algebraisk lösning (bättre) a) 2x + 1 = 5 Subtrahera 1 på båda sidorna: 2x + 1 − 1 = 5 − 1 Vilket förenklas till 2x = 4 Dividera båda sidorna med 2 2x / 2 = 4 / 2 Vilket förenklas till x = 2 b) 3x − 2 = 7 Addera 2 på båda sidorna: 3x − 2 + 2 = 7 + 2 Vilket förenklas till 3x = 9 Dividera båda sidorna med 3 3x / 3 = 9 / 3 Vilket förenklas till x = 3 c) 5x + 5 = 20 Subtrahera 5 på båda sidorna: 5x + 5 − 5 = 20 − 5 Vilket förenklas till 5x = 15 Dividera båda sidorna med 5 5x / 5 = 15 / 5 Vilket förenklas till x = 3 d) 2x − 4 = 0 Addera 4 på båda sidorna: 2x − 4 + 4 = 0 + 4 Vilket förenklas till 2x = 4 Dividera båda sidorna med 2 2x / 2 = 4 / 2 Vilket förenklas till x = 2 Exempellösnig a) ${\begin{aligned}2x+1\ &{=}\ 5\\-\ 1\ &\ \quad -1\\2x\ &{=}\ 4\\/\ 2\ &\ \quad /\ 2\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ b) ${\begin{aligned}3x-2\ &{=}\ 7\\+\ 2\ &\quad \ +2\\3x\ &{=}\ 9\\/\ 3\ &\quad \ /\ 3\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ c) ${\begin{aligned}5x+5\ &{=}\ 20\\-\ 5\ &\quad \ -5\\5x\ &{=}\ 15\\/\ 5\ &\quad \ /\ 5\\x\ &{=}\ 3\end{aligned}}$ d) ${\begin{aligned}2x-4\ &{=}\ 0\\+\ 4\ &\quad \ +4\\2x\ &{=}\ 4\\/\ 2\ &\quad \ /\ 2\\x\ &{=}\ 2\end{aligned}}$ 7. Lös följande ekvationer a) 2x = x + 5 b) 12 − x = 3x c) 5x + 1 = 2x + 10 d) 5 − 2x = 2x − 3 Lösning a) x = 5 b) x = 3 c) x = 3 d) x = 2 8. Lös följande ekvationer a) 2(x + 1) = 3x b) 2x − (x + 4) = 0 c) (1 − x) − (2x − 4) = 2x d) x − 3(2x − 1) + 7 = 4 − x Lösning a) x = 2 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 1,5 9. Lös följande ekvationer a) x2 = 9 (två lösningar) b) ${\sqrt {x}}=2$ c) x3 = 8 d) ${\sqrt {x+1}}=4$ Lösning a) x = 3 eller x = −3 b) x = 4 c) x = 2 d) x = 15 C-nivå 10. Lös följande ekvationer a) 3x + 7 = 1 b) 3 − 2x = 1 c) 5 − 5x = 15 d) 2x − 4 = 1 Lösning a) x = −2 b) x = 1 c) x = −2 d) x = 2,5 eller $5 \over 2$ 11. Lös följande ekvationer a) 4x = x + 1 b) 3 − x = 3x c) 2x + 7 = 4x + 10 d) 501 − 20x = 20x − 299 Lösning a) x = $1 \over 3$ b) x = $3 \over 4$ eller 0,75 c) x = $-{3 \over 2}$ eller −1,5 d) x = 20 12. Lös följande ekvationer a) ${\sqrt {x+5}}=4$ b) ${\sqrt {x^{2}+5}}=3$ c) $({\sqrt {x}}+1)^{2}=9$ d) ${\sqrt {5-x^{2}}}=2$ Lösning a) x = 11 b) x = 2 c) x = 4 d) x = 1 A-nivå 13. Lös följande ekvationer a) ${x \over 3}+{x \over 2}={1 \over 4}$ b) ${2 \over 3}x+{1 \over 2}={1 \over 2}x$ c) $-x+1={2x \over 3}$ d) 123x + 456 = 789x Lösning a) x = $1 \over 5$ b) x = −3 c) x = $3 \over 5$ d) x = $76 \over 111$ 14. Lös följande ekvationer a) ${1 \over x+1}={2 \over x+2}$ b) ${1 \over x+2}={3 \over x+4}$ c) ${1 \over x+2}={3 \over x+4}-3$ d) ${1 \over x-1}={2 \over x+1}$ Lösning a) x = 0 b) x = −1 c) x = $-{2 \over 3}$ d) x = 3 15. Lös följande ekvationer (med avseende på x så att det blir x = ...) a) 5x = π b) x / t = v c) (x + a) + (x − b) = 0 Lösning a) x = $\pi \over 5$ b) x = v ⋅ t c) x = ${b-a \over 2}$ 16. Lös följande ekvationer (med avseende på x så att det blir x = ...) a) Radien på en cirkel är x och omkretsen 6. b) y = k ⋅ x + m c) a(x − 1) + b(x + 1) = 0 Lösning a) x = $3 \over \pi$ b) x = $y-m \over k$ c) x = ${a-b \over a+b}$ Fördjupning Olikheter borde passa här och även uppgifter med andragradsekvationer. Olikheter Man kan också ha ekvationer där det inte är samma sak på båda sidorna. Ibland vet man exempelvis att den ena sidan är mer än den andra men inte att de är lika. Då kallar man det för en olikhet. Det finns två olika sorters olikheter, antingen så är det definitivt två olika tal där det ena är större än det andra eller så kan det faktiskt även vara samma tal. Till exempel är alla lägnder längre eller lika med 0. Om två ställen ligger precis kant i kant så är det inget avstånd emellan men det är omöjligt att det är ännu kortare än det mellan ställena. Däremot så är alla lägnder i en kvadrat större än 0. Det är omöjligt att ha en sida som är lika med 0 eftersom det då inte längre skulle vara en kvadrat utan en punkt. Här finns mer om olikheter: Matematik_för_årskurs_7-9/Faktasidor#Olikheter Andragradsekvationer Hittils har vi bara löst ekvationer där x har multiplicerats med vanliga tal. En ganska vanlig typ av ekvation som är lite svårare är när x multipliceras med sig själv. De kallas för andragradsekvationer. Det enklaste uttrycket av den typen är x2. Då kan man få ekvationer som till exempel x2 = 4. Den ekvationen har två lösningar (x är antingen 2 eller −2). Saker som beskrivs av andragradsekvationer är fritt fall och hur saker rör sig när man kastar iväg dem. Andragradsekvatoiner kan ha inga, en eller två lösningar. Om man tänker på när en sten som man kastar upp i luften är 2 meter upp så är den på den höjden två gånger (en gång på vägen upp och en gång på vägen ner) om man kastar stenen högre än 2 meter. Kastar man stenen precis 2 meter upp är den bara på höjden 2 meter en gång (när den precis är som högst och vänder). Kastar man stenen mindre än 2 meter kommer den aldrig upp till 2 meter. Mer om andragradsekvationer här: Matematik_för_årskurs_7-9/Faktasidor#Andragradsekvationer Ej nivåsatt

Numeriska metoder

Prövning

Ibland räcker det att veta om ett specifikt tal är en lösning till en ekvation eller inte. Då kan man strunta i vad som är den riktiga lösningen. Det kan vara väldigt svåra ekvationer som ibland är omöjliga att lösa om man inte vet svaret. Men om man vet svaret kan det vara ganska lätt att kolla om det stämmer.

Vad man gör är att man byter ut alla x (eller vilken variabel man än har) mot det svaret man ska prova. Sedan kollar man på både höger och vänster sida om likamedtecknet och ser om båda sidorna blir samma sak. Om vi har ekvationen 4 / x = 7 och vill veta om x är 2 så byter vi ut x'et mot en två och ser om det stämmer. Då får vi 4 / 2 på vänster sida vilket är 2 och på höger sida har vi 7. Men 2 ≠ 7, alltså kan x inte vara 2.

Vi kan prova med en ekvation till: (x + 4) / (x − 1) = 8 − x. Om vi också här ska prova om x kan vara 2 så får vi på vänster sida (2 + 4) / (2 − 1) vilket är 6 / 1 = 6. Höger sida blir 8 − 2 = 6. Båda sidorna blev samma, alltså är x = 2 en lösning. Det finns faktiskt en till lösning som är att x = 6 (prova gärna själv att den också stämmer).

Successiv prövning

Om man inte kan lösa en ekvation exakt men vill lösa den ganska noga så kan man gissa sig fram. Det är ofta så datorer gör för att räkna ut tal. Datorer är väldigt snabba på att räkna så de kan gissa väldigt fort, men de är helt intelligensbefriade och har väldigt svårt att räkna ut även enkla ekvationer om man inte har avancerade datorprogram.

Om vi har ekvationen 1 / x = 1 + x så är den ganska svår att lösa. Vi kan prova nått tal och se hur nära vi hamnar. Om vi börjar med att prova 0,5, 1 och 2 och skriver in resultaten i en lista så får vi så här:

Gissning	Vänster sida	Höger sida	Skillnad
0,5	2	1,5	−0,5
1	1	2	1
2	0,5	3	2,5

Vi ser att svaret borde vara någonstans mellan 0,5 och 1 så vi provar med 0,75.

Gissning	Vänster sida	Höger sida	Skillnad
0,5	2	1,5	−0,5
0,75	1,33	1,75	0,42
1	1	2	1
2	0,5	3	2,5

Nu ser vi att x borde vara någon stans mellan 0,5 och 0,75. Efter mer provningar kan vi få fram detta:

Gissning	Vänster sida	Höger sida	Skillnad
0,5	2	1,5	−0,5
0,6	1,67	1,6	−0,07
0,61	1,64	1,61	−0,03
0,615	1,626	1,615	−0,011
0,618	1,618	1,618	−0,0001
0,62	1,61	1,62	0,01
0,65	1,54	1,65	0,11
0,75	1,33	1,75	0,42
1	1	2	1
2	0,5	3	2,5

Det exakta svaret är det gyllene snittet som är ${\sqrt {5}}-1 \over 2$ vilket är ungefär lika med 0,6180339887498948482.

Övningsuppgifter

Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt Till vilka av följande ekvationer kan x vara lika med 1? a) 5 − 2x = 3 b) 2x + 7 = 3x + 3 c) 3 / x = 3x d) 4x / (x + 1) = x + 1 Lösning a) Ja. 3 = 3 b) Nej. 9 ≠ 6 c) Ja. 3 = 3 d) Ja. 2 = 2 Hitta en lösning med två decimaler som funkar för a) x3 = x + 1 b) (x − 1)2 = x c) (x − 1)2 = 1 / x d) x2 = 1 / (x − 1) Lösning a) x ≈ 1,32 b) x ≈ 0,38 eller x ≈ 2,62 c) x ≈ 1,75 d) x ≈ 1,47

Grafiska metoder

Om man har två uttryck där man vill veta när de är lika så är det ibland både enklast och tydligast att rita upp uttrycken i ett koordinatsystem för att se när de blir lika. De är nämligen lika där de korsar varandra.

Om vi har ekvationen 2x + 1 = 10 − x så har vi två uttryck. Ett till vänster (2x + 1) och ett till höger (10 − x).

Denna metod har fördelen att man kan använda den med mycket svårare ekvationer än man kan om man ska räkna exakt. Man ser ibland också tydligare om man faktiskt har ett rimligt svar eller om allt är helt åt skogen.

Övningsuppgifter

Grund-nivå E-nivå 7x=7 C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt

Ekvationssystem

När man håller på med ekvationer så är det ofta så att det finns flera olika saker man inte vet vad de är. Då kan man kalla en sak för x och en annan för y. Ställer man då upp en ekvation och försöker lösa den så går inte det. Men om man har flera ekvationer så kan man använda de tillsammans och få fram både x och y. Man kan ha hur stora ekvationssystem som helst också med hela alfabetet och inte bara x och y. Fast då måste man också ha väldigt många ekvationer.

Hur många ekvationer man måste ha är lika många som man har olika variabler (x och y). Så har man två olika variabler, måste man ha två ekvationer. Har man tio olika variabler måste man ha tio ekvationer. Dessutom får ekvationerna inte vara varianter av varandra (x=y och 2x=2y räknas som en ekvation).

Substitutionsmetoden

Den bästa metoden och den enda man egentligen behöver är substitutionsmetoden. Vad man gör är att man försöker få fram ett uttryck som man sedan kan byta ut en variabel mot. Det låter krångligare än det är.

Exempel

Vi har de två olika variablerna x och y. Vi har också två olika ekvationer: x + y = 5 och x − y = 1.

Då kan vi skriva om den första ekvatonen som x = 5 − y.

Sedan byter vi ut x'et i den andra ekvationen mot det uttrycket som x'et är lika med (5 − y). Man substituerar x'et.

Då blir den ekvationen (5 − y) − y = 1

Om vi löser den ekvationen får vi att y = 2.

Nu kan vi räkna ut x eftersom x = 5 − y, vilket blir 3.

Man hade lika gärna kunnat byta ut y'et och man hade lika gärna kunnat använda den andra ekvationen och sedan byta in i den första!

Additionsmetoden

En metod som ibland är smidigare är att ta två ekvationer och addera dem på varandra. Om man åter har de två ekvationerna x + y = 5 och x − y = 1 och man slår ihop dem får vi (x + y) + (x − y) = 5 + 1. Det kan vi förenkla till 2x = 6 och då kan vi räkna ut att x = 3. Sist kan vi räkna ut att y'et då måste vara 2.

Ibland kan man inte addera två ekvationer så att en variabel försvinner så här. men ofta går det om man skriver om ekvationen så att det passar vilket kan kräva lite klurande.

Övningsuppgifter

Grund-nivå E-nivå 1. Lös följande ekvationssystem med additionsmetoden a) ${\begin{cases}2x-y=6\\x+y=3\end{cases}}$ b) ${\begin{cases}3x-y=11\\x+y=17\end{cases}}$ c) ${\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}}$ d) ${\begin{cases}x+2y=3\\2x-y=1\end{cases}}$ Lösning a) ${\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}}$ b) ${\begin{cases}x=7\\y=10\end{cases}}$ c) ${\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}$ d) ${\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}$ 2. Lös följande ekvationssystem med substitutionsmetoden a) ${\begin{cases}x=y+1\\x+y=1\end{cases}}$ b) ${\begin{cases}y=5+x\\2x-y=3\end{cases}}$ c) ${\begin{cases}2y=4+2x\\2x+y=8\end{cases}}$ d) ${\begin{cases}x=3+y\\2x-y=9\end{cases}}$ Lösning a) ${\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}$ b) ${\begin{cases}x=8\\y=13\end{cases}}$ c) ${\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}$ d) ${\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}$ 3. Lös följande ekvationssystem med valfri metod a) ${\begin{cases}2x=y+1\\x+y=2\end{cases}}$ b) ${\begin{cases}y=2-x\\2x-y=8\end{cases}}$ c) ${\begin{cases}2y=4+2x\\2x=y+8\end{cases}}$ d) ${\begin{cases}2x=3-y\\2y=x-9\end{cases}}$ 4. Lös följande ekvationssystem med valfri metod a) ${\begin{cases}z+y=3\\x=y+1\\x+y=5\end{cases}}$ b) ${\begin{cases}x=z-y\\y=2x+z\\x-y=0\end{cases}}$ 5. Lös följande ekvationssystem med valfri metod ${\begin{cases}a+b+c+d=4\\a+b-c-d=4\\a-b-c+d=2\\a-b+c-d=2\end{cases}}$ 6. På ett kalas var det sammanlagt 24 personer. Det var 10 fler killar än tjejer på kalaset. Hur många tjejer var där? 7. Pelle har röda, blå och gröna godisar. Han har lika många röda som gröna och blå tillsammans. Han har 5 fler gröna än blå. Sammanlagt har han 34 godisar. Hur många är gröna? C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt

Blandat

Wolfram alpha

www.wolframalpha.com

Det finns en sida där man bland annat kan lösa ekvationer exakt som heter Wolfram alpha. På den sidan är det bara att mata in ekvationen så visar den alla svaren.

Exempel: 2 + x = 3x. En bit ner står det "Solution:" och sedan svaret på ekvationen (x = 1).

Prova gärna med egna ekvationer. Wolfram alpha klarar i stort sett hur svåra ekvationer som helst.

Grafritande räknare

Om någon har en grafritande räknare kanske den kan skriva hur man kan använda den för att lösa ekvationer.

Metoden grundar sig på att man uppfattar uttrycken på vardera sidan av likhetstecknet som en funktion. Man ritar grafen av vardera funktionen i samma koordinatsystem; där graferna skär varandra har man en lösning (samma värde på vardera funktionen för samma x). Man kan ändra på ekvationen enligt Algebraisk lösning ovan innan man ritar graferna, vilket ibland är behändigt om man har en krånglig ekvation.

Det kan vara svårt att få ut ett exakt värde ur en sådan bild, åtminstone om man ritat den för hand, men den kan ge en fingervisning om hur lösningen ser ut: finns det överhuvudtaget någon lösning, finns det fler lösningar, är lösningen ett positivt eller negativt tal, är lösningen ett stort tal? Det här är också ett sätt att kontrollera att den lösning man hittat är rimlig.

Google

www.google.se

Man kan googla efter grafer och få upp dem. Om man googlar efter flera grafer på en gång kan man också se var de skär varandra och man har en lösning.

Exempel: y=x+1,y=2x-1 Scrolla med hjulet för att zooma in på lösningen (x = 2, y = 3).

Övningsuppgifter

Grund-nivå 1. Gå in på www.wolframalpha.com och hitta lösningen på följande ekvationer genom att kopiera in ekvationerna och klicka på = a) x + 5 = 7 b) x + 10 = 2x + 5 c) 4(x + 1) = 2(x + 2) Lösning a) x = 2 (Länk) b) x = 5 (Länk) c) x = 0 (Länk) 2. Gå in på www.wolframalpha.com och hitta lösningen på följande ekvationssystem genom att kopiera in ekvationssystemen och klicka på = a) x + y = 7, x + 2y = 10 b) 2x + 2y = 18, x = 3 + y c) x = 3y, x + 3y = 12 Lösning a) x = 4, y = 3 (Länk) b) x = 6, y = 3 (Länk) c) x = 6, y = 2 (Länk) 3. Gå in på www.google.se sök efter y = 2x + 8. Zooma genom att scrolla så att du ser var linjen korsar x-axeln och y-axeln. a) På vilken plats korsar linjen x-axeln? b) På vilken plats korsar linjen y-axeln? c) Flytta musen i grafen så att den hamnar så nära x: 2 som möjligt. Vad är y då? (Tips: kolla längst upp till höger) Lösning Länk a) x = −4 b) y = 8 c) y = 12 4. Gå in på www.google.se sök efter y = 2x, y = x + 5. Zooma genom att scrolla så att du ser var linjerna korsar varandra. a) Vilken av linjerna ligger högst upp till vänster i grafen? b) Vilken av linjerna ligger högst upp till höger i grafen? c) Flytta musen i grafen så att den hamnar så nära där linjerna korsar varandra som möjligt och zooma in. Vad är x och y där de korsar? (Tips: kolla längst upp till höger) Lösning Länk a) y = x + 5 (Den röda) b) y = 2x (Den blåa) c) x = 5, y = 10 E-nivå 5. Använd Wolfram Alpha för att lösa följande ekvationer a) x − 5 = 4 b) 11 − x = 2x + 5 c) 3x − 7 = 2(x + 1) Lösning a) x = 9 b) x = 2 c) x = 9 6. Använd Wolfram Alpha för att lösa följande ekvationer a) 372x + 54 = 750 − 30x b) 25 / (5 + x) = x + 5 c) 67x / (5 + x) = x Lösning a) x = $116 \over 67$ (x ≈ 1,7313) b) x = −10 eller 0 c) x = 0 eller 62 C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt

Länkar

Spel:

• ekvationslösningsspel
• lös ekvationer snabbt
• Några olika ekvationsspel

Genomgångar:

• matematikvideo.se - Ekvationer
• matematikvideo.se - Lösa ekvationer
• pluggakuten.se - Ekvationssystem
• matteboken.se - Ekvationslösning
• webbmatte.se - Ekvationer

Videogenomgångar:

• matematikvideo.se - Ekvationer del 1
• matematikvideo.se - Ekvationer del 2

Övrigt:

• App till telefoner för att lösa ekvationer