Matematik för årskurs 7-9/Om denna bok

Detta är ett nystartat projekt att skapa ett läromedel för högstadiet efter Lgr11. Då projektet inte till en början är årskursbundet utan använder samtliga mål för åk 9 som gäller under hela högstadietiden passade projektet inte för att använda de färdiga mallar för respektive årskurs. Senare kommer dock projektet också skapa årskursuppdelade böcker.

Projektet Utgår ifrån Lgr11 och här beskrivs dess pedagogiska tankar och det förarbete som har legat till grund för hur innehållet har utvalts.

Bakgrund

Jag (averater) har startat ett projekt som är tänkt att kunna ersätta de vanliga läroböckerna som tenderar att vara väldigt styrande och dessutom låsta. Tanken är att i stället ha ett läromedel som mycket tydligt utgår ifrån Lgr11 så att man som lärare kan luta sig mot det och som är fritt och redigerbart.

För att kunna skapa ett sådant läromedel som ska kunna vara användbart och genomförbart har jag tänkt att projektet ska ha två olika faser. Först ett där allt innehåll delas upp och skrivs in i en komplett självstudiebok med genomgångar (inklusive länkar och dylikt), exempel och övningar till varje enskild del. Därefter ska det mer användbara materialet skapas där, när man vet om allt innehåll och kan luta sig mot det, man ska skapa läroböcker för de olika årskurserna som då kan/ska vara mer fria i upplägg och pedagogiskt tänk med exempelvis projekt, grupparbeten och andra "otraditionella" arbetsformer vilket självstudieboken inte kommer innehålla.

Bokens innehåll kommer därför se lite olika ut i självstudieboken och i de senare delarna. Innehållet kommer dock vara samma och utgå ifrån det centrala innehållet i Lgr11 vilket mer ingående beskrivs i Förarbete till innehåll. Även de förmågor som matematikundervisningen ska främja, vilket tydligare beskrivs nedan i Förmågor, blir olika, där den första självstudiedelen omöjligt kan gå igenom alla eftersom de till olika grad kräver någon form av interaktion. Där kommer dock det senare materialet läggas upp bättre för att främja de olika förmågorna eftersom de är tänkta att användas i en undervisningssituation där det finns en lärare som kan hjälpa med interagerandet.

Syfte

Syftet med detta läromedel är alltså mångfaldigt och växande, men i första stadiet ska en självstudiebok skapas som är tänkt att vara ett läromedel

• på Wikibooks,
• som täcker hela högstadiets matematik utifrån Lgr11,
• innehållande
  • genomgångar som gediget förklarar alla olika delar på olika sätt med olika exempel,
  • övningsuppgifter på olika nivåer och av olika typer,
  • andra former av lärmaterial för elever och
  • länkar och hänvisningar till annat relevant material,
• riktat till och för elever som går på högstadiet eller yngre som själva eller efter lärares tips vill läsa in sig på olika kapitel samt
• riktat till lärare där de kan hämta kompletteringar och uppgifter för att utöka deras undervisning,
• som uppmuntrar elevernas intresse för matematik och väl förbereder dem för både vidare gymnasiestudier och olika matematiska vardagssituationer,
• som uppmuntrar till probleminriktade lösningsmetoder,
• som är fritt att använda, modifiera och kopiera och
• som kan utvecklas för de senare syften som nämns nedan.

Syftet kommer sedan utvidgas till att också innehålla:

• studiehandledning där läromedlet delas upp i en eller flera lämpliga delar som exempelvis kan användas som matteböcker under högstadiet,
• lärarhandledningar med tips på genomgångar, länkar till relevant material, övningar, laborationer och planeringar och
• kursbok eller kompendier till elever följande ovan skrivna planeringar samt
• genomgångsmaterial och tips på övningar till de olika delarna i självstudiedelen som lärare kan använda som tipsbank.

Övriga syften är också att läromedlet ska kunna anpassas till någon form av interaktivt material eller dylikt.

Förarbete till innehåll

Detta är ett projekt som är tänkt att användas i skolundervisning är det viktigt att den väl stöder sig på de olika styrdkoument som reglerar matematikundervisningen. Främst då givetvis Lgr11 men också dess kommentarsmaterial samt gamla nationella prov och andra relevanta dokument.

För att boken så väl och tydligt som möjligt ska utgå ifrån Lgr11, vilket är viktigt om den ska användas i undervisning, listas här de olika relevanta delar ur Lgr11 som styr vilket innehåll boken ska ha. Detta innehåll delas här in i olika kapitel inför självstudiedelen. Självstudiedelen kan sedan då ligga till grund inför de senare delarna i detta projekt.

Ur det centrala innehållet i Lgr11 har följande rubriker hämtats:

• Taluppfattning och tals användning
• Algebra
• Geometri
• Sannolikhet och statistik
• Samband och förändring
• Problemlösning

Uppdelning

För att se hur dessa kapitel ska hanteras bör kommentarsmaterialet till kursplanen analyseras. Ett förslag till tolkning av det visas nedan.

Taluppfattning och tals användning

Denna rubrik kan delas upp i två olika kapitel där den ena handlar tar upp kunskapen om tal samt deras användningsområden och beräkningsmetoder. Det andra kapitlet föreslås enbart ta upp procent då detta är en så pass central del av vardagslivet att det bör få en särskild betoning. I samtliga kan talens användning i vardagliga situationer tas upp, i den första utifrån perspektivet vilka sorters tal som används när och i de andra i hur man räknar med talen i olika situationer. Dessa två kapitel föreslås heta Taluppfattning och räkning och Procent.

Innehållet i kapitlet Taluppfattning och räkning bör då bli:

• Positionssystemet
• Olika sätt att uttrycka tal – heltal, decimaltal, bråktal, procent, prefix, potensform, grundpotensform, exakt (π, e, √2)
• Alternativa talsystem – binära, andra
• Historisk utveckling – olika skrivsätt såsom romerskt, babylonskt, med fler samt olika beräkningsmetoder
• Räkning – addition, subtraktion, multiplikation och division med olika metoder av olika sorters tal (positiva och negativa heltal, decimaltal och bråktal) samt potenser.
• Räkneregler – beräkna sammansatta uttryck och kunna räkneordningen
• Avrundning och överslagsräkning – avrunda tal med olika många värdesiffror samt utföra överslagsräkningar
• Rimlighetsbedömningar

Samt kapitlet Procent:

• Procent – räkna med procent samt beräkna procentuell andel.
• Förändring – räkna med ökningar och minskningar samt använda förändringsfaktor.

Algebra

Algebra föreslås behållas som ett kapitel som föreslås heta Algebra och som tar upp följande innehåll:

• Räkneregler – förenkla olika sorters uttryck.
• Ekvationer – lösa olika ekvationer med olika metoder (exakt, numeriskt, grafiskt...)
• Mönster – se matematiska mönster och uttrycka de matematiskt

Geometri

Geometri bör anses vara relativt självförklarande och bli ett eget kapitel med namnet Geometri. Vinklar och begränsningsarea är delar i geometrin som inte uttryckligen står nämnda i Lgr11 men som då det har förutsatts att eleverna kan det på nationella prov är det också inkluderat. Sammantaget föreslås innehållet bli:

• Enheter – omvandla mellan olika enheter samt känna till historiska måttenheter
• Mätning – kunna mäta längder, areor, volymer och tid
• Skala – rita och räkna med skalor, både förstoringar och förminskningar upp till tre dimensioner
• Geometri – beräkna areor och volymer på olika objekt.
• Vinklar – mäta och räkna med vinklar
• Begränsningsarea – Beräkna för olika geometriska figurer
• Likformighet och symmetri

Sannolikhet och statistik

Denna rubrik föreslås delas upp i de två kapiteln Sannolikhet och Statistik.

Kapitlet Sannolikhet föreslås få följande innehåll:

• Sannolikhet – beräkna sannolikheter för olika problem.
• Kombinatorik

Kapitlet Statistik föreslås få följande innehåll:

• Undersökningar – genomföra och analysera statistiska undersökningar.
• Sannolikhet – utifrån data beräkna sannolikheter (risker och chanser).
• Lägesmått – beräkna och tyda medelvärde, median, typvärde med fler.
• Spridningsmått – beräkna oh tyda kvartil, percentil och konfindentintervall
• Diagram, grafer och tabeller – rita och tolka olika sorters diagram, grafer och tabeller utifrån olika data.

Samband och förändring

Samband och förändring hänger till viss del tätt ihop med procent där man också räknar med förändringar. Därför föreslås de relaterade målen läggas till där. Restrerande mål föreslås läggas in under ett kapitel benämnt Funktioner och grafer.

Till kapitlet procent läggs därför:

• Procentuella förändringar
• Förändringsfaktor

Och till kapitlet Funktioner och grafer läggs därför:

• Funktioner – rita och avläsa diagram och grafer för olika funktioner samt beräkna funktioners värden (in- och utvärden)
• Koordinatsystemet
• Räta linjens ekvation

Problemlösning

Innehållet under denna rubrik är tätt sammankopplad med övriga rubriker och bör därför också inkluderas i de och kontinuerligt tas upp inom alla kapitel. Men för att ytterligare betonas också få ett eget kapitel, Problemlösning.

Innehållet föreslås bli:

• Problemlösning – fokus på problemlösningsuppgifter och fördjupande uppgifter samt uppgifter med fokus på större lösningar.

Övrigt

Det finns visserligen ingen rubrik ”övrigt” i kursplanen men vissa områden som inte har passat in eller betonats tillräckligt föreslås ändå får egna kapitel benämnda Rimlighetsbedömning och Redovisning.

Innehållet i Rimlighetsbedömning blir då:

• Rimlighetsbedömning – bedöma egna och andras svars och uppgifters rimlighet.

Innehållet i Redovisningar blir då:

• Redovisningar – Hur man kan redovisa lösningar/uträkningar på olika sorters problem.

Förmågor

I Lgr11 finns några olika förmågor uppräknade som natematikundervisningen har att främja. Dessa kan uppdelas på lite olika sätt. Här följer en upradning så som de står i Lgr11 samt andra indelningar.

Beskrivningar

Här nämns de olika förmågor som finns i Lgr11.

Problemlösning

Citerat ur LGR11, förmågor:

”• formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,”

Citerat ur LGR11, centralt innehåll:

Problemlösning

• Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder.

• Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden.

• Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer.

Förmågan problemlösning avser hur väl eleven kan hitta och lösa matematiska problem. Till exempel kan det handla om hur mycket man måste betala för vissa varor i affären eller hur lång tid det tar att måla ett hus. Sådana problem kan lösas på flera sätt och där ska eleven välja en för situationen lämplig metod. Olika metoder kan vara överslagsräkning, bråkräkning, procent eller andra beroende på problem.

Begrepp

Citerat ur LGR11, förmågor:

”• använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,”

Förmågan begrepp avser hur väl eleven känner till och förstår innebörden av olika begrepp inom matematiken som till exempel begreppen procent eller kvadrat samt hur väl eleven kan exempelvis jämföra procent och bråk.

Metoder

Citerat ur LGR11, förmågor:

”• välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, ”

Förmågan metoder avser hur väl eleven kan lösa olika typer av beräkningsuppgifter. Till exempel att beräkna area och omkrets på olika typer av figurer eller att lösa uppställda ekvationer.

Resonemang

Citerat ur LGR11, förmågor:

”• föra och följa matematiska resonemang, och”

Förmågan resonemang avser hur väl eleverna kan följa och förstå förklaringar till matematiska lösningar samt själv för andra förklara ett matematiskt problem och dess lösning.

Redogörelse

Citerat ur LGR11, förmågor:

”• använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.”

Förmågan redogörelse avser hur väl eleverna kan dokumentera hur den har löst en uppgift samt hur eleven argumenterar för valet av lösningsmetoder eller problemställningar såväl skriftligt som muntligt.

Andra uppdelningar

Andra har delat upp de förmågorna på lite andra sätt. Ett exempel är NCM (Nationellt centrum för matematikundervisning) som har delat upp målen i 9 strävor. Länk

Sammanfattning

Sammanfattningsvis ska eleverna kunna saker (begrepp) och kunna använda begreppen (metoder) och kunna förklara hur de använder metoderna (resonemang/redogörelse) i olika problem (problemlösning) samt också förstå andras lösningar (resonemang).

Innehåll

Sammanfattningsvis har innehållet från Lgr11 delats upp i 10 kapitel med olika innehåll.

Kapiteluppdelning

Sammantaget föreslås det centrala innehållet i matematik alltså delas upp i följande kapitel:

• Taluppfattning och räkning
• Procent
• Algebra
• Geometri
• Sannolikhet
• Statistik
• Funktioner och grafer
• Problemlösning
• Rimlighetsbedömning
• Redovisningar

Innehåll

Innehållet i de kapitlen föreslås då bli:

Taluppfattning och räkning

Positionssystemet

Olika sätt att uttrycka tal – heltal, decimaltal, bråktal, procent, prefix, potensform, grundpotensform, exakt (π, e, √2)

Alternativa talsystem – binära, andra

Historisk utveckling – olika skrivsätt såsom romerskt, babylonskt, med fler

Räkning – addition, subtraktion, multiplikation och division med olika metoder av olika sorters tal (positiva och negativa heltal, decimaltal och bråktal) samt potenser.

Räkneregler – beräkna sammansatta uttryck och kunna räkneordningen

Avrundning och överslagsräkning

Rimlighetsbedömningar

Historiska metoder för beräkningar

Procent

Procent

Procentuella förändringar

Förändringsfaktor

Algebra

Räkneregler – förenkla olika sorters uttryck.

Ekvationer – lösa olika ekvationer med olika metoder (exakt, numeriskt, grafiskt...)

Mönster – se matematiska mönster och uttrycka de matematiskt

Geometri

Enheter – omvandla mellan olika enheter samt känna till historiska måttenheter

Mätning – kunna mäta längder, areor, volymer och tid

Skala – rita och räkna med skalor, både förstoringar och förminskningar upp till tre dimensioner

Geometri – beräkna areor och volymer på olika objekt.

Vinklar – mäta och räkna med vinklar

Begränsningsarea – Beräkna för olika geometriska figurer

Likformighet och symmetri

Sannolikhet

Sannolikhet – beräkna sannolikheter för olika problem.

Kombinatorik

Statistik

Undersökningar – genomföra och analysera statistiska undersökningar.

Sannolikhet – utifrån data beräkna sannolikheter (risker och chanser).

Lägesmått – beräkna och tyda medelvärde, median, typvärde med fler.

Spridningsmått – beräkna oh tyda kvartil, percentil och konfindentintervall

Diagram, grafer och tabeller – rita och tolka olika sorters diagram, grafer och tabeller utifrån olika data.

Funktioner och grafer

Funktioner – rita och avläsa diagram och grafer för olika funktioner samt beräkna funktioners värden (in- och utvärden)

Koordinatsystemet

Räta linjens ekvation

Problemlösning

Problemlösning – fokus på problemlösningsuppgifter och fördjupande uppgifter samt uppgifter med fokus på större lösningar...

Rimlighetsbedömning

Rimlighetsbedömning – bedöma egna och andras svars och uppgifters rimlighet.

Redovisning

Redovisningar – Hur man kan redovisa lösningar/uträkningar på olika sorters problem.

Upplägg

Det innehållet har lagts upp på detta sätt för att skapa en komplett självstudiedel för hela innehållet.

1  Taluppfattning och räkning
1.1  Introduktion
1.1.1  Olika sätt att uttrycka tal – heltal, decimaltal, bråktal, procent, prefix, potensform, grundpotensform, exakt (π, e, √2)
1.2  Räkning
1.2.1  Heltalsräkning (innehållande metoder för räkning)
1.2.2  Negativa tal
1.2.3  Decimaltal
1.2.4  Bråktal
1.3  Potensräkning
1.3.1  Potensräkning
1.3.2  Grundpotensform
1.4  Räkneregler – beräkna sammansatta uttryck och kunna räkneordningen
1.4.1  addition och multiplikation
1.4.2  alla räknesätten
1.4.3  parenteser
1.4.4  potenser
1.5  Alternativa talsystem – binära, andra
1.5.1  Historiska talsystem
1.5.2  Binära talsystemet
1.5.3  Andra talsystem
1.6  Historisk utveckling – olika skrivsätt såsom romerskt, babylonskt, med fler samt olika beräkningsmetoder
1.6.1  Skrivsätt
1.6.2  Annat? (Vad?)
1.6.3  Kulram
1.6.4  Datorutveckling
1.7  Avrundning och överslagsräkning
1.7.1  Avrundning
1.7.2  Värdesiffror
1.7.3  Överslagsräkning
1.7.4  Rimlighetsbedömningar
2  Procent
2.1  Procent
2.1.1  Omvandla mellan bråk och procent
2.1.2  Omvandla mellan decimaltal och procent
2.1.3  Beräkna procent av något
2.1.4  Beräkna procentuell andel
2.2  Förändring
2.2.1  Beräkna ökningar/minskningar med procent
2.2.2  Räkna med procentenhet
2.2.3  Beräkna med förändringsfaktor
2.2.4  Exponentiell tillväxt
3  Algebra
3.1  Uttryck – förenkla olika sorters uttryck.
3.1.1  Addition/subtraktion (2x+x)
3.1.2  Parenteser (2x+3)-(x-1)
3.1.3  Multiplikation av parenteser 3(x+2)
3.1.4  Potenser (x+1)^2
3.2  Ekvationer – lösa olika ekvationer med olika metoder (exakt, numeriskt, grafiskt...)
3.2.1  Ekvationslösning (exakta lösningar)
3.2.2  Numeriska metoder
3.2.3  Grafiska metoder
3.2.4  Ekvationssystem
3.3  Mönster – se matematiska mönster och uttrycka de matematiskt
3.3.1  Grafiskt
3.3.2  linjära uttryck
3.3.3  kvadratiska uttryck
4  Geometri
4.1  Enheter – inklusive historiska måttenheter
4.1.1  Omvandla mellan längdenheter
4.1.2  Omvandla areaenheter
4.1.3  Omvandla volymsenheter
4.1.4  Omvandla viktenheter
4.2  Mätning
4.2.1  Längd
4.2.2  Area
4.2.3  Volym
4.2.4  Tid
4.3  Skala – rita och räkna med skalor, både förstoringar och förminskningar.
4.3.1  Beräkna verklig längd
4.3.2  Beräkna skala
4.3.3  Rita i skala
4.4  2D-Geometri – beräkna areor och omkretsar på olika objekt.
4.4.1  Rektanglar och kvadrater
4.4.2  Trianglar
4.4.3  Parallellogram
4.4.4  Cirklar
4.4.5  Blandade 2D-figurer
4.5  3D-Geometri – beräkna volymer och begränsningsareor på olika objekt.
4.5.1  Rätblock
4.5.2  Prismor
4.5.3  Cylindrar
4.5.4  Pyramider och koner
4.5.5  Klot
4.5.6  Blandade 3D-figurer
4.6  Vinklar
4.6.1  Mäta vinklar
4.6.2  Beräkna vinkelsummor
4.7  Likformighet och symmetri
4.7.1  Likformighet
4.7.2  Förhållande
4.7.3  Symmetrilinjer
4.7.4  Symmetriplan
4.8  Pythagoras sats
5  Sannolikhet
5.1  Sannolikhet
5.1.1  Sannolikhetslära (slå en 6:a)
5.1.2  Sannolikhet för flera fall (eller)
5.1.3  Sannolikhet för flera fall (och)
5.2  Kombinatorik
5.2.1  Antal valmöjligheter
5.2.2  Urval (välj 3 av 5)
5.2.3  Ordnad lista (kö)
6  Statistik
6.1  Undersökningar – genomföra och analysera statistiska undersökningar
6.1.1  Två alternativ
6.1.2  Flervalsfrågor
6.1.3  Flyttalssvar
6.1.4  Ej tal som svar
6.2  Chanser och risker (Sannolikhet – utifrån data beräkna sannolikheter)
6.2.1  ???
6.3  Lägesmått
6.3.1  Median
6.3.2  Medelvärde
6.3.3  Typvärde
6.4  Spridningsmått
6.4.1  Percentil
6.4.2  Kvartil
6.4.3  Konfidentsintervall
6.5  Diagram, grafer och tabeller
6.5.1  Stolpdiagram
6.5.2  Stapeldiagram
6.5.3  Cirkeldiagram
6.5.4  Linjediagram
6.5.5  Histogram
6.5.6  Tabeller
7  Funktioner och grafer
7.1  Funktioner – rita och avläsa diagram för olika funktioner samt beräkna funktioners värden (in- och utvärden)
7.1.1  läsa av diagram
7.1.2  rita diagram
7.2  Koordinatsystem
7.3  Räta linjens ekvation
8  Problemlösning
8.1  Bevis
8.2  
9  Rimlighetsbedömning
10  Redovisningar