Matematik för årskurs 7-9/Geometri/Vinklar

Allt i matematiken bygger på väldigt enkla antaganden som man sedan använder för att komma fram till de mest häpnadsväckande sakerna. När det gäller vinklar så är detta antagandet att ett helt varv ska vara 360 grader. Sedan har man använt sig av detta för att komma fram till massvis av olika saker och det är vad man har kommit fram till som detta kapitel ska handla om.

Om ett varv är 360 grader så måste ett halvt varv vara 180 grader och ett fjärdedels varv måste vara 90 grader.

Med hjälp av detta kan man komma fram till hur stora vinklarna inuti en triangel blir.

Mäta vinklar[redigera]

Högupplöst svg-fil som man kan skriva ut (gärna på genomskinligt papper) och använda som gradskiva. (Länkar: svg-filen, högupplöst bild)

För att mäta vinklar brukar man använda en gradskiva. Ovan visas hur några olika gradskivor ser ut.

Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter visa • diskussion • redigera

Rita vinklar[redigera]

Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter visa • diskussion • redigera

Räkna på vinklar[redigera]

Övningsuppgifter[redigera]

Uppgifter visa • diskussion • redigera

Emmys öva 2 Tim i veckan

Beräkna vinkelsummor[redigera]

$x+y+z=180^{\circ }$

För högstadiematematik så räcker det att veta att om man adderar det tre vilklarna i en triangel så blir det alltid 180°. Det kallas för en triangels vinkelsumma. Nedan kommer vi visa bevis för det men för att klara uppgifterna räcker det med den kunskapen att det bara är så. Vill eller behöver man räkna ut hur mycket vinklarna i till exempel en fyrkant eller femkanst är så är det bara att dela upp den i trianglar där vinkelsumman alltid är 180°.

Ett undantag som vi inte kommer räkna med ens som överkurs men som kan vara bra att känna till är att eftersom detta bara gäller vanliga platta trianglar så kan man faktiskt rita trianglar på till exempel ett klot som har andra vinkelsummor. Tänk dig till exempel en triangel som har två hörn på ekvatorn, ett kvarts varv i från varandra och ett hörn på nordpolen. Då kommer alla de hörnen vara 90° och den triangeln kommer ha vinkelsumman 270°. Men vi antar att en triangel måste vara platt vilket man oftas brukar mena när man pratar om trianglar.

Exempel visa • diskussion • redigera
Exempel 1: In the diagram above, the two lines marked with arrows are parallel. You are given the angle of 56^o and of 115^{o. Find the angle x.} Lösning The angle $\displaystyle \alpha$ is the same as the 56^o angle, since the two lines marked with arrows are parallel and the line that crosses them must cross parallel lines at the same angle. The angle $\displaystyle \beta$ is 180^o-115^o since it and the 115^o angle add up to a straight line. So it is 65^o. We can now redraw the diagram with the angles as follows: We have a triangle with angles x, 56^o and 65^o. x+56^o+65^o=180^o. x+121^o=180^o. x=59^o. Exempel 2: In the diagram above two angles are marked as 75^o and one as 101^o. Find the angle c. Lösning There is an isosceles triangle with angles 75^o, 75^o and an unknown angle b. So b+75^o+75^o=180^o. b+150^o=180^o. b=30^o. $\displaystyle \angle BAC=101^{\circ }$ The angle 'c' is an angle in triangle $\displaystyle \Delta ABC$ . The other two angles are 30^o and 101^o. c+30^o+101^o=180^o. c+131^o=180^o. c= 49^o.