Matematik för årskurs 7-9/Geometri/Enheter

4.1  Enheter – inklusive historiska måttenheter
4.1.1  Omvandla mellan längdenheter
4.1.2  Omvandla areaenheter
4.1.3  Omvandla volymsenheter
4.1.4  Omvandla viktenheter

SI-prefix

10n	Prefix	Symbol	Namn		Decimaltal
1024	yotta	Y	Kvadriljon		1 000 000 000 000 000 000 000 000
1021	zetta	Z	Triljard		1 000 000 000 000 000 000 000
1018	exa	E	Triljon		1 000 000 000 000 000 000
1015	peta	P	Biljard		1 000 000 000 000 000
1012	tera	T	Biljon		1 000 000 000 000
109	giga	G	Miljard		1 000 000 000
106	mega	M	Miljon		1 000 000
103	kilo	k	Tusen		1 000
102	hekto	h	Hundra		100
101	deka	da	Tio		10
100	(saknas)	(saknas)	Ett		1
10−1	deci	d	Tiondel		0,1
10−2	centi	c	Hundradel		0,01
10−3	milli	m	Tusendel		0,001
10−6	mikro	µ	Miljondel		0,000 001
10−9	nano	n	Miljarddel		0,000 000 001
10−12	piko	p	Biljonddel		0,000 000 000 001
10−15	femto	f	Biljarddel		0,000 000 000 000 001
10−18	atto	a	Triljondel		0,000 000 000 000 000 001
10−21	zepto	z	Triljarddel		0,000 000 000 000 000 000 001
10−24	yokto	y	Kvadriljondel		0,000 000 000 000 000 000 000 001

Längdenheter

(OBS: Detta nedan är lite gissningar, källor behövs)

Alla mått vi nu för tiden använder utgår ifrån en meter. Det var i Frankrike man först tröttnade på att man använde så krångliga måttsystem som dessutom var olika på olika ställen. Därför hittade man på metern. Ordet metre betyder ungefär mäta på franska. Vi har sedan katat om e'et och r'et för att det blir lättare att uttala.

En meter bestämdes vara så noga man kunde mäta en tiomiljondel av avståndet mellan ekvatorn och nordpolen. Det råkade bli ungefär lika långt som ett stort kliv vilket man också tyckte var lagom. Nu har man ändrat så att en meter istället är 1/299792458 av avståndet ljuset åker i vakuum på en sekund. Det är lika långt men lite lättare för vetenskapsmän att använda när det behöver veta exakt hur långt något egentligen är.

Metersystemet

1 mil = 10 km

1 km = 1000 m

1 dm = 0,1 m

1 cm = 0,01 m

1 mm = 0,001 m

1 µm = 0,000001 m

Metersystemet är det överlägset mest använda systemet för att mäta lägnder. Det utgår ifrån en meter som ungefär motsvarar ett stort steg men är bestämt att vara exakt 1/299792458 av avståndet ljuset åker i vakuum på en sekund. En meter förkortas med ett litet m.

Genom att sätta prefix framför kan man ange större eller mindre längder än hela meter. Kilo, som betyder tusen, framför blir då kilometer och betyder 1000 meter. Ett undantag är mil där man inte använder prefix utan bara säger mil, som betyder 10000 meter Mil används dock nästan bara i Sverige.

I denna tabell visas de prefix som är viktiga att kunna. De står i ordning efter hur många steg decimaltecknet ska flyttas när man omvandlar mellan dem. På några ställen står bara "-" vilket betyder att den enheten inte finns eller är väldigt ovanlig och då hoppar man över där men flyttar ändå decimaltecknet.

mil	km	-	-	m	dm	cm	mm	-	-	µm

Här är samma tabell men med alla nollor utsatta:

mil	km	m	dm	cm	mm	µm
1	0	000	0	0	0	000
0	1	000	0	0	0	000
0	000	1	0	0	0	000
0	000	0	1	0	0	000
0	000	0	0	1	0	000
0	000	0	0	0	1	000
0	000	0	0	0	000	1

Andra lägndenheter

1 AU (eller AE) = 149 597 870 700 m ≈ 150 miljoner km (Ungefär lika med avståndet till solen)

1 ljusår = 9 460 730 472 580 800 m (Avståndet ljuset åker på ett år)

1 nautisk mil (distansminut / sjömil) = 1852 m

Historiska lägndenheter

Förr användes ofta kroppsdelar för att mäta längder. Det är smidigt eftersom man alltid har med sig sin tumme (om man ska mäta ganska små saker) eller sin fot (för lite längre saker). Men det är lite besvärligt när olika människor har olika långa tummar eller fötter.

Det finns några av dessa äldre måtten som fortfarande används, främst i Amerika, men nu är de bestämda efter metersystemet så att alla använder lika långa mått när de mäter. En tum (på engelska: inch) som också ibland skrivs med två små fnuttar (1") har man bestämt att den är exakt 2,54 cm lång. En fot (som ibland skrivs med en fnutt: 1') som är 12 tum blir då exakt lika med 30,48 cm och en yard som är 3 fot blir då 91,44 cm. En mile är 1760 yard blir på samma sätt 1609,344 meter lång.

1 tum (inch på engelska) = 1" = 2,54 cm

1 fot = 1' = 12 tum = 0,3048 m (Andra varianter har funnits, se länk (wikipedia)

1 yard = 3 fot = 0,9144 m

1 mile = 1760 yard = 1 609,344 m

Även i Sverige användes förr dessa mått. Här använde man dock istället för yard, alnar (som var 2 fot) och famnar (som var 3 alnar). Dessa måtten hann man aldrig bestämma några exakta mått på utan de var lite olika i olika landskap men en fot var ungefär 30 cm vilket gör att en aln var ungefär 60 cm och en famn ungefär 180 cm.

1 aln = 2 fot ≈ 60 cm (Gamla mått som kunde vara olika)

1 famn = 3 alnar ≈ 1,8 m (Gamla mått som kunde vara olika. I Sverige: 1,78 meter)

Andra ännu äldre mått

I bibeln och i annan gammal litteratur finns andra mått. De flesta sådana mått byggde på samma sätt som våra gamla mått på olika kroppsdelar.

The ancient Egyptian cubit was about 1⁄2 m (surviving rods are 52.3–52.9 cm.)

Övningsuppgifter

Uppgifter

Areaenheter

Eftersom area beräknas genom att multiplicera två längder med varandra hänger även enheterna för area ihop med enheterna för längd. Förutom för några specialenheter så ska enheterna ha en upphöjd tvåa efter sig. I stället för m (meter) skriver man alltså m². Det beror på att om man multiplicerar två längder med varandra har man två längdenheter som har multiplicerats ihop. Då skriver man m² istället för m ⋅ m. Till exempel 2 m ⋅ 2 m = 2 ⋅ 2 m ⋅ m = 4 m².

Något som är speciellt med areaenheter (och volymenheter, men det kommer sedan) är att prefixet hänger ihop med potensen. Normalt sett så räknar man potensen först (2 ⋅ 3² = 2 ⋅ (3²) ). När det gäller areaenheter (och volymenheter) sä låter man prefixet hänga med (mm² = (mm)²).

Metersystemet

1 km² = 1 000 000 m²

1 dm² = 0,01 m²

1 cm² = 0,0001 m²

1 mm² = 0,000001 m²

När man räknar med areaenheter gör man exakt som med längdenheter förutom att man ska flytta decimalecknet dubbelt så många steg. Det beror på att areaenheter är längdenheter i kvadrat (två längdenheter som multiplicerats ihop). Eftersom man har två längdenheter som båda ska göras om så måste man flytta decimaltecknet på båda och då blir det dubbelt jämfört med om man bara ska flytta decimaltecknet för en längdenhet.

I bilden är den röda rutan 1 cm². Man kan också räkna efter och se att de3n består av 100 smårutor som är 1 mm² var. Då kan man se att eftersom 1 cm = 10 mm måste 1 cm² = 10 mm ⋅ 10 mm = 100 mm².

Det finns två speciella areaenheter, ar och hektar. Särskilt hektar används ganska mycket i Sverige när man pratar om åkrars och skogars storlekar. En hektar är 100 ar (1 hekto ar = 1 hektar) och en ar är 100 m².

1 ar = 100 m² (10 m x 10 m)

1 hektar (ha) = 100 ar = 10000 m² (100 m x 100 m)

Övriga areaenheter

1 tunnland = 4936,6 m² ≈ 0,5 hektar

1 acre = 4046,9 m² (4 840 yard²)

1 Fotbollsplan ≈ 0,7 hektar

Övningsuppgifter

Uppgifter

Volymenheter

1 km³ = 1000 000 000 m³

1 dm³ = 1 liter (l) = 0,001 m³

1 cm³ = 1 ml = 0,001 dm³

1 mm³ = 0,001 cm³

1 liter (l) = 1 dm³

1 dl = 0,1 l = 0,1 dm³

1 cl = 0,01 l = 0,01 dm³

1 ml = 1 cm³

1 matsked (msk) = 15 ml

1 tesked (tsk) = 5 ml

1 kryddmått (krm) = 1 ml

1 pint = 0,568261 liter

1 pint (USA) = 0,473 liter

1 gallon (England/Kanada) = 4,545 964 591 liter

1 gallon (USA våta saker) = 3,785411784 liter

1 gallon (USA torra saker) = 4,40488377086 liter

1 tunna ≈ 159 liter (För olja)

Övningsuppgifter

Uppgifter

Viktenheter

1 ton = 1000 kg

1 kilo = 1 kg

1 hg = 100 g = 0,1 kg

1 g = 0,001 kg

1 mg = 0,001 g

1 carat (c) = 0,2 g

1 ounce (oz) = 28,349 523 125 g

1 troy ounce = 31,103 476 8 g

1 uns (Sverige) ≈ 28 g (Gamla mått som kunde vara olika)

1 pound (lb) = 0,453 592 37 kg

1 long ton = 1 016 kg

1 short ton = 2000 pound = 907 kg

1 skålpund = 425,1 g

1 elektronvolt (eV) = 1,78 · 10^-36kg

Övningsuppgifter

Uppgifter

Övriga enheter

Tid

1 år = 365 eller 366 dygn

1 Vetenskapligt år = 365,25 dygn

1 Gregoriansk år = 365,2425 dygn (medellängden på ett kalenderår)

1 dygn = 24 timmar (h)

1 timme (h) = 60 minuter (min)

1 minut (min) = 60 sekunder (s)

Tidszoner

UTC ≈ GMT (Det skiljer max en sekund pga skottsekunderna)

Sverige är UTC+1 på vintern och UTC+2 på sommaren. Det betyder att man ska addera en timma till UTC-tiden för att få vad klockan är i Sverige på vintern och 2 på sommaren.

Vinklar

1 varv = 360° (grader) = 2π radianer

1° = π/180 (≈ 0,017) radianer

1 radian (rad) = 180/π° (≈ 57,3°)

Övningsuppgifter

Uppgifter