Matematik/Wikibooks Matematik/Algebra/Exponenter

Från Wikibooks
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Potenser[redigera]

Potensregler
n stycken a
eftersom
För att lösa ut exponenten n i uttrycket
en av logaritmlagarna log an = n log a
ta logaritmen på bägge sidor om = log an = log b
skriv om enligt logaritmlagen n log a = log b
lös ut n n = log b / log a

Om vi låter n vara ett positivt heltal, gäller följande:

  1. (n kopior av a) betyder att a ska multipliceras med sig själv n gånger. Hela uttrycket kallas för en potens med a som bas och n som exponent. Uttrycket kallas ibland för den n:te potensen av a. Om a är ett negativt tal ("ett minustal") så blir summan positiv om potensen är ett jämt tal, negativ om den är udda.

Varning: Eftersom gånger räknas före minus, om man inte sätter ut parenteser, så måste man omge ett utskrivet negativt tal med parenteser innan man tar potenser av det. Om exempelvis a = -3, så är

,

eftersom man tar hela -3 upphöjt till 2, och eftersom minus gånger minus till 2. Däremot är

,

enligt grundregeln "gånger går före minus".

  1. Om a > 0, så är , dvs det positiva tal som multiplicerat med sig själv n gånger blir talet a. Rötter kan med andra ord skrivas som potenser.

Om dessutom n är ett udda tal, så kan man också låta a vara negativt. I det fallet är också a1/n negativt.

  1. , dvs det tal tal man får om man dividerar med a n gånger.

Man får passa sig lite för talet 0 när man räknar med potenser. För alla positiva heltal n gäller och ; däremot är inte definierat, dvs det är förbjudet precis som .

Övningar

  1. Beräkna
  2. Beräkna
  3. Beräkna
  4. Ränta på ränta är en funktion som ökar exponentiellt. Om du sätter in 1000kr på en bank med årsränta på 6% hur många år tar det innan du är uppe i 5000kr?
    Tips: slutsumman = insatt belopp (1+räntan)år


Lösningar