Matematik/Wikibooks Matematik/Algebra/Bråk

Bråk

Ett bråk (av det tyska ordet brok som betyder "bruten") är ett uttryck som återger förhållandet mellan två tal. Talet ovanför strecket kallas täljare och talet nedanför strecket kallas nämnare. Strecket kalls för bråkstreck. Alla rationella tal kan skrivas som bråk.
Ett bråk är en division mellan uttryck som innehåller heltal men inte decimaltal. I uttrycket $a \over b$ kallas a för täljare och b nämnare.
Ett bråk kan även sägas vara en division som ej är genomförd än. Genom att räkna med bråk så kan man ofta få exaktare svar eftersom många divisioner ger svar med många decimaler som måste avrundas för att kunna användas. ${1 \over 3}$ t.ex blir ju 0,33333... om man utför divisionen. Ska man sedan räkna vidare med svaret måste man avrunda det. Och ska man sedan multiplicera med 3 så blir inte svaret 1 vilket det blir om man räknar det som ett bråk.

Olika sätt att dela en träplanka. Plankan delas upp i (bråk)delar. Dela i fler delar kallas förlängning. Slå ihop till färre delar kallas förkortning.
	${1 \over 4}={{1\cdot 2} \over {4\cdot 2}}={2 \over 8}={{2\cdot 2} \over {8\cdot 2}}={4 \over 16}$

När man vill addera eller subtrahera två bråk måste nämnare vara densamma i båda bråken. Ofta behöver man förlänga eller förkorta bråken för att uppnå det.

addition och subtraktion

Regler för bråkräkning
${\frac {-a}{b}}=-{\frac {a}{b}}$	$b\neq 0$
${\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}$	$b\neq 0$
$a\cdot {\frac {b}{c}}=a{\frac {b}{c}}={\frac {ab}{c}}$	$c\neq 0$
${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$	$b\neq 0,d\neq 0$
${\frac {a}{b}}{\Big /}{\frac {c}{d}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a}{b}}{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$	$b\neq 0,c\neq 0,d\neq 0$
${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}$	$b\neq 0,d\neq 0$

För att addera eller subtrahera två bråktal måste man genom att utföra samma multiplikation i både täljare och nämnare skriva om ett eller bägge bråktalen så att bägge får samma nämnare. Man ska försöka hitta den minsta gemensamma nämnaren (mgn):

Förlängning
Multiplicera både nämnare och täljare med samma tal	${\frac {1}{7}}={\frac {1\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {5}{35}}$
Förkortning
Dela både nämnare och täljare med samma tal	${\frac {49}{21}}={\frac {7\cdot 7}{3\cdot 7}}={\frac {7}{3}}$

Exempel

addition

${\frac {1}{4}}+{\frac {5}{6}}={\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {5\cdot 2}{6\cdot 2}}={\frac {3}{12}}+{\frac {10}{12}}={\frac {3+10}{12}}={\frac {13}{12}}=1{\frac {1}{12}}$

subtraktion

$1{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{2}}={\frac {4\cdot 2}{3\cdot 2}}-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\frac {8}{6}}-{\frac {3}{6}}={\frac {8-3}{6}}={\frac {5}{6}}$

multiplikation och division

multiplikation

${\frac {2}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {2\cdot 1}{5\cdot 2}}={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$

division (korsvis multiplikation)

${\frac {4}{5}}{\Big /}{\frac {2}{4}}={\frac {4\cdot 4}{5\cdot 2}}={\frac {16}{10}}={\frac {8}{5}}=1{\frac {3}{5}}$

för att hitta en gemensam nämnare kan man helt enkelt multiplicera nämnarna med varandra

${\frac {2}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{7}}={\frac {2\cdot 2\cdot 7-1\cdot 3\cdot 7+4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 7}}={\frac {28-21+24}{42}}={\frac {31}{42}}$

Övningar

Vad är en halv gånger en halv?

Vad är en halv delat med en halv?

I en skog är 3/4 av träden barrträd. Av dessa är 2/3 tallar. Hur stor andel är av skogens alla träd är tallar?

Här finns svaren på övningsuppgifterna

Omvandla oändliga decimaltal till bråk

Om man har ett decimaltal som upprepar sig, d.v.s, 0,123123123123.... t.ex så kan man omvandla det till ett bråk.

Multiplicera med 1000. ${\frac {123,123123123123....}{1000}}$ (bort med decimalerna så är det ett bråktal)

Ta bort en 1000-del ${\frac {123,123123123123....-0,123123123123...}{999}}$ = ${\frac {123}{999}}$. Går att förkorta med 3 = ${\frac {123/3}{999/3}}$ = ${\frac {41}{333}}$

Ett enklare tal, 0,3333333....

Multiplicera med 10. ${\frac {3,3333333....}{10}}$

Ta bort en 10-del ${\frac {3,3333333....-0,3333333...}{9}}$ = ${\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$

Ett till tal, 0,428571428571....

Multiplicera med 1000000. ${\frac {428571,428571....}{1000000}}$

Ta bort en 1000000-del ${\frac {428571,428571....-0,428571428571...}{999999}}$ = ${\frac {428571}{999999}}$. Går att förkorta med 142857 = ${\frac {428571/142857}{999999/142857}}$ = ${\frac {3}{7}}$

...