Fysiksvammel med kontrollerad fusion som mål

Förord

Jag hade en plan för inte så länge sen om att bygga mig en liten Tokamak iform av ett cirkulärt glasrör med typ luft i som man sen joniserade och fick ett rosa plasma där diametern hos plasmat kunde styras mha ett gäng elektromagneter placerade toroidalt runt glasröret, på det sättet skulle man kunna vrida på en vridtransformator och justera storleken på plasmat, jag har inte tänkt så mycket mer på alla praktiska detaljer men helt klart är att det är denna princip som t.ex JET (Joint European Touros) har använt, dvs magnetisk inneslutning av ett plasma.

Jag har börjat studera grundläggande fysik på högskolenivå, det första avsnittet härledde formeln för en ideal gas, det är här jag vill börja för man kan nämligen betrakta ett plasma på många sätt, ett seriöst sätt är som en gas.

Kapitel I, Introduktion till gaser och deras tryck

Bilden visar den Maxwellska fördelningsfunktionen för en viss hastighet hos en partikel i en gas

En gas definieras av speciellt tre parametrar, PVT dvs tryck, volym och temperatur.

Jag har länge haft svårt för att förstå tryck samtidigt som jag för inte alltför längesen lärde mig förstå temperatur.

Temperatur tycks vara relaterat till hastigheten hos partiklarna och därmed deras rörelseenergi.

Ett vanligt försök till beskrivning är den Maxwellska fördelningsfunktionen

${\frac {1}{A}}{\frac {dn}{dv}}=e^{-{\frac {mv^{2}/2}{kT}}}=e^{-{\frac {E_{k}}{kT}}}...1.1$

som beskriver hastighetsfördelningen i en gas dvs att de flesta partiklar har en Ek mindre än kT (ty funktionen är då 1/e).

Det här är diffust, jag skulle vilja definiera om den Maxwellska fördelningsfunktionen på följande sätt:

${\frac {mv^{2}}{2}}=kT...1.2$

vilket åtminstone stämmer för två frihetsgrader, detta ger

$v={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}=v_{kT}...1.3$

Om vi nu gör ett variabelbyte i den Maxwellska fördelningsfunktionen så kan vi få

${\frac {1}{A}}{\frac {dn}{dv}}=e^{-{\frac {m(v-v_{kT})^{2}/2}{kT}}}...1.4$

där fördelningsfunktionen istället är centrerad kring $v=v_{kT}$ för ärligt, vadå centrerad kring v=0?

Speciellt om det handlar om hög temperatur är ju det rent utsagt absurt fast jag fattar inte riktigt detta.

Tänkt lite mer på det här idag och börjar tro att jag har rätt, med min approach så får man dock inte bara en "Gaussklocka" utan två dvs en likadan för dom negativa hastigheterna men denna konsekvens är aningen akademisk för det enda man behöver göra är att halvera sannolikheten för dom positiva hastigheterna, $v_{kT}$ ändrar f.ö tecken när det gäller dom negativa hastigheterna men det är intressant att det finns negativa hastigheter även om det inte är så konstigt för hastighet är en vektor men att man måste ta hänsyn till negativa hastigheter är diffust.

Tryck däremot tror jag precis jag lärt mig vad det faktiskt är för nåt.

Man brukar alltid säga att tryck är kraft per ytenhet fast hur bra funkar den beskrivningen om det inte finns några väggar?

Jag har haft jättesvårt för att förstå det här men idag hände nåt, det fanns två bilder i mitt kompendium där det ena var två partiklar som kolliderade fullständigt elastiskt (idealt sett) och det andra var det mer lättförståeliga dvs samma typ av kollision men då av partikel i vägg.

Det är relativt lätt att inse att impulsändringen hos en partikel när den kolliderar med en vägg är 2P ty P=mv och för att partikeln ska studsa tillbaks med samma hastighet så måste hastigheten (som har riktning och är en vektor) ändras 2v dvs impulsändringen blir 2P.

Men hur var det nu med trycket när det inte finns några väggar?

Hör och häpna, trycket kommer från partikelkollisioner!

Eftersom vi vet att impulsändringen är 2mv och att kraftekvationen är

$F=m{\frac {dv}{dt}}={\frac {dP}{dt}}...1.5$

så har vi att kraften är

$F={\frac {d(2mv)}{dt}}...1.6$

och här blir det lite intressant för trycket kan tecknas

$p=F/S...1.7$

där S skulle kunna vara tvärsnittsarean av partikeln (idealt sett), då fås

$p={\frac {1}{S}}{\frac {d(2mv)}{dt}}...1.8$

Så vi kommer fram till att trycket beror på kollisioner mellan partiklar, det finns alltså där även om det inte finns väggar.

För att gå händelserna lite i förväg kan vi teckna:

$p=nkT...1.9$

där n är partikeltätheten, k är Boltzmanns konstant och T temperaturen.

Om vi sedan gör experimentet med vad som händer med trycket högt upp i atmosfären där det på jordytan är

$p=\rho gh...1.10$

där rho är densiteten hos luft och h atmosfärens höjd (grovt räknat) så fås att lufttrycket teoretiskt går mot noll när atmosfären tar slut (för då är luftpelaren h noll) men alldeles i den randen är lufttrycket ändå inte noll samtidigt som kollisionerna partiklarna emellan är mycket få.

Av 1.9, som bara är min föredragna variant av den ideala gaslagen, ser man att när trycket går mot noll så går temperaturen eller partikeltätheten mot noll, i detta ytterläge vet vi att partikeltätheten faktiskt är noll men att temperaturen inte är 0K vilket är skumt för temperaturer skilt från noll innebär att partiklar finns och rör sig så vad kan det vara som rör sig men inte finns?

Jag har också svårt att förstå varför atmosfären överhuvudtaget tar slut, är det gravitationen eller?

Jag har mycket att lära mig :D

Numeriskt exempel

Tryckformeln (p=nkT) gör att man kan beräkna molekyltätheten (n) i luft som ungefär 10^25st/m^3 vid 300K (+27C) med ett normalt lufttryck (p) på väldigt nära 10^5Pa eller 1atm eller 10000kg/m^2 eller 1kg/cm^2.

Kapitel II, Härledning av Boyle's lag

Dom två linjerna representerar experimentellt uppmätta data sånär som på den streckade delen

Det kan visas att under konstant tryck så gäller

$V=V_{0}(1+\gamma t)...2.1$

på samma sätt kan det visas att vid konstant volym så gäller

$P=P_{0}(1+\beta t)...2.2$

där beta och gamma faktiskt passande nog är samma (förmodligen vid små temperaturändringar, men vi kommer tillbaks till det) och tom såpass enkelt uttryckta som, vilket är experimentellt bevisat

$\gamma =\beta =1/273C...2.3$

Då Celsius är en ur fysikalisk synvinkel lite knölig enhet så kan man byta t mot T-273C och får då istället:

$V=V_{0}\gamma T...2.4$

för en isobar och

$P=P_{0}\gamma T...2.5$

för en isokor, där isobar betyder att trycket är konstant och isokor betyder att volymen är konstant.

Konstanten gamma har dock nu övergått i 1/273K för vid variabelbytet är det tydligt att t blir -273C när T=0 och detta är inget annat än Kelvinskalan dvs för t=0 fås t.ex P1=P2 medans för T=273K fås samma sak.

Sen finns det en lag som kallas Boyles lag som beskriver vad som händer med tryck och volym ur en isoterm betraktelse.

Jag har sett en enkel härledning av denna i mitt kompendium men jag köper det inte så vi får försöka härleda Boyle's lag att

$PV=konstant...2.6$

för en isoterm (dvs samma temperatur i början som i slutet av en) process.

Vi kan tänka såhär, vi har från början P1V1T1, sen förändras trycket (dock inte volymen men temperaturen plussar vi tillfälligt på med $\Delta T$), då har vi

$P2=P1+P1\gamma \Delta T...2.7$

om sen volymen ändras men inte trycket så får vi

$V2=V1+V1\gamma \Delta T...2.8$

Men om processen totalt sett ska vara isoterm så krävs att

$V2=V1+V1\gamma (-\Delta T)...2.8$

Om vi multiplicerar V2 med P2 fås

$P2V2=(P1+P1\gamma \Delta T)*(V1+V1\gamma (-\Delta T))...2.9$

som kan skrivas om enligt

$P2V2=P1V1+P1V1\gamma \Delta T-P1V1\gamma \Delta T-P1V1(\gamma \Delta T)^{2}...2.10$

dvs

$P2V2=P1V1(1-(\gamma \Delta T)^{2})...2.11$

Observera nu att jag sätter in gamma=1/273K

$P2V2=P1V1(1-({\frac {\Delta T}{273}})^{2})...2.12$

dvs bara när den (kvadratiska) temperaturvariationen är liten i förhållande till 273K så är det relevant att

$P2V2=P1V1=konstant...2.13$

Dvs, Boyles's lag

Numeriskt exempel

Uppblåsning av en ballong är en relativt snabb och därmed isoterm process, uppblåst ballong kan kanske tänkas klara 10kg/cm^2 som är lika med 10 atmosfärers tryck (där en atmosfär är normalt lufttryck)

Kapitel III, Härledning av ideala gaslagen

Gasers beroende av tryck, volym och temperatur. Om man står i 0 och vill ta sig till Q så kan man alltså gå två helt olika vägar

Man kan teckna PVT i ett tredimensionellt rum, tänk Er att Ni har P uppåt och V till höger samt T in i pappret.

P går då linjärt med gamma som raka streck från origo, V går på samma sätt som raka streck från origo men T är hyperbolisk pga PV=konst (Boyle's Lag).

Då kan man vandra runt i det här rummet dvs om man tar en punkt P1V1T1 och går via t.ex en Isokor (V=konst) till en annan punkt så har vi tydligen P2V1T2 om vi sen går till en tredje punkt via en Isoterm (T=konst) så har vi att P3V3T2.

Nu är:

$P2=P1\gamma T2...3.1$

och pga isotermen T2

$P3V3=P2V1=P1\gamma T2V1...3.2$

dvs

$P3V3=P1V1\gamma T2...3.3$

Om vi går en annan väg typ från P1V1T1 via en Isobar (P=konst) dvs P1V2T2 och sen via en Isoterm till P3V3T2 så har vi att

$V2=V1\gamma T2...3.4$

sen har vi att

$P3V3=P1V2...3.5$

dvs

$P3V3=P1V1\gamma T2...3.6$

På två olika sätt får man när man går i PVT-rummet tydligen

$P3V3=P1V1\gamma T2...3.7$

Som kan skrivas om enligt

$P3V3=P1V1T2/To...3.8$

så att

${\frac {P_{3}V_{3}}{T_{2}}}={\frac {P_{1}V_{1}}{To}}...3.9$

där To=1/gamma dvs 273K och P1 och V1 bara indikerar ursprungspunkten

Högerledet har dedikerats en konstant som kallas R för allmänna gaskonstanten och om slutliga PV-produkten är P3V3 kan man skriva om ekvationen enligt:

$PV=RT_{2}...3.10$

R gäller här för endast en mol, allmänt måste vi då skriva den allmänna gaslagen som

$PV=n_{m}RT...3.11$

där n_m betecknar antal mol för PV-produkten är rimligen proportionerligt mot hur mycket gas det finns.

Ett sätt att eventuellt förstå det på är att det ju inte kan finnas nåt tryck om det inte finns partiklar, dock kan en enda partikel utöva tryck mot "virtuella" väggar även om jag börjat se gastryck mer som kollisioner av partiklar.

Fast om man vill mäta en enda partikels tryck antar jag att man kan köra ner en "spade" och bara mäta hur länge och ofta partikeln träffar spaden.

Numeriskt exempel

PV=n_mRT ger att lufttrycket vid 300K är 100 000Pa eller 1kg/cm^2, formeln kan skrivas om som p=nkT och med känd partikeltäthet (n) enligt tidigare blir det så.

Fritänkande, tryck i en ballong

Om man ökar med ett gäng med partiklar så måste fler per tidsenhet både krocka med varandra och med väggarna, det skulle eventuellt kunna tänkas vara som så att PV är linjärt med n_m (så läge T inte ändras), låter lite väl lämpligt men i alla fall en måttlig förhöjning av molmängden (n_m) borde ge nåt sånt.

Man kan tänka sig fallet där man blåser upp en ballong, om blåst lite och stannar så har vi en viss volym, temperturen är konstant inför nästa blås (och även efter nya blåset om än efter en liten stund kanske), så vi har att

$PV=n_{m}RT...3.12$

som kan skrivas om enligt

$P={\frac {n_{m}}{V}}RT...3.13$

Om nu n_m ökar lika mycket som V så att moldensiteten är konstant då är i så fall är trycket P också konstant.

Kan detta verkligen stämma?

Eventuellt för vad som händer är att ballongen bara fylls med normalt lufttryck för trycket utanför den klena ballongen är lika stort som trycket innanför annars skulle ballongen kollapsa, formeln säger således att ju mer "mol" du blåser in i ballongen desto mer V kommer ballongen ge.

Det enda vi har gjort är att vi blåst in fler mol och ballongen har reagerat med att utvidga sig för att ge samma tryck innanför som utanför.

Möjligtvis blir det ett litet övertryck precis när man blåser in luften men därefter måste trycket i ballongen vara konstant och lika med trycket utanför.

Så hur spränger man en ballong då?

Det är nog inte tryckets fel utan expansionsmöjligheten hos plasten (dvs hur mycket kraft den tål vid tänjning), gissar jag.

Om ballongen varit i en låda med stela väggar hade man kunna haft en tryckskillnad (fast då hade man ju inte kunnat blåsa upp den :) ).

Kapitel IV, Härledning av tryckets beroende av den kinetiska energin

En visualisering av partiklar som träffar en yta

Beräkning av ringarea hos en sfär

Låt oss anta att vi har en yta med gas där själva ytan betecknas S och den infinitesimala höjden av ytan betecknas vdt.

Gasmolekyler träffar sedan denna yta i en vinkel gentemot normalen kallad theta.

Eftersom det bara är impulser vinkelrätt mot ytan som har betydelse kan då volymen dV tecknas

$dV=S\cdot vdt\cdot cos\theta ...4.1$

där en molekyl med theta som infallsvinkel skall hinna flytta sig från ena S-lagret till andra S-lagret på tiden dt.

n betecknar antalet partiklar per volymsenhet, om man vill ta med antalet partiklar per volymsenhet, per hastighetsenhet och per vinkelenhet kan man teckna n som

$dn(v,\theta )=n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.2$

då har man differentialen av molekyltätheten som funktion av hastighetsförändringen och infallsvinkelnsförändringen.

Antalet molekyler inom theta+d_theta och v+dv är då:

$dN(v,\theta )=dV\cdot dn(v,\theta )=S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.3$

då har vi alltså antalet molekyler inom volymen V+dV enligt ovan.

Impulsändringen hos en molekyl med infallsvinkeln theta normalt mot ytan S kan sedan tecknas

$P(v,\theta )=2mv\cdot cos\theta ...4.4$

så att alla molekylers impulser inom molekylantalet N+dN eller P+dP då kan tecknas som

$P(v,\theta )\cdot dN(v,\theta )=dP(v,\theta )=2mv\cdot cos\theta \cdot S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.5$

eller

$dP(v,\theta )=2mv^{2}\cdot S\cdot dt\cdot cos^{2}\theta \cdot n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.6$

Om vi tecknar

${\frac {n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta }{n(v)\cdot dv}}={\frac {antalet.molekyler.inom.v+dv.och.\theta +d\theta }{antalet.molekyler.inom.v+dv}}={\frac {2\pi sin\theta \cdot d\theta }{4\pi }}...4.7$

dvs vi inser att nämnaren är hela rymdvinkeln och täljaren är ringarean hos rymdvinkelsegmentet som alltså är en kon med höjden d_theta och horisontella radien sin(theta) samt omkretsen 2PiSin(theta), då kan vi byta ut täljaren i vänsterledet mot

${\frac {1}{2}}sin(\theta )\cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...4.8$

så att vi i vårt uttryck för dP får

$dP(v,\theta )=mv^{2}\cdot S\cdot dt\cdot cos^{2}\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...4.9$

Sen har vi att

$F={\frac {dP}{dt}}...4.10$

vilket gör att dt kan "förkortas bort" och eftersom trycket definieras som

$p={\frac {F}{S}}...4.11$

så kan S förkortas bort och vi har

$dp(v,\theta )=mv^{2}\cdot n(v)\cdot dv\cdot cos^{2}\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta ...4.12$

Detta borde stämma även om jag är osäker på varför det blir cos^2 ty vi har ju redan inledningsvis bestämt att theta är infallsvinkeln gentemot normalen hos de infallande molekylerna, kan man då inte teckna en partikels impulsändring som P=2mv bara?

Men kanske beräkningen av den infinitesimala volymen och dess partiklars infallsvinklar är skild från impulsändringarnas infallsvinklar, just nu betraktas dom som oberoende dvs cos(theta) för vardera fall men jag är skeptisk.

Okej, vi behöver nu integrera upp trycket och vi har

$\int {dp(v,\theta )}=\int {mv^{2}\cdot n(v)\cdot dv\cdot sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta }...4.13$

vilket eventuellt är lika med

$\int {dp(v,\theta )}=2\int {{\frac {mv^{2}}{2}}\cdot n(v)\cdot dv}\cdot \int {sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta }...4.14$

där

$\int sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta ...4.15$

minst måste integreras och då är frågan inom vilka gränser?

Vi vet ju att theta är definierad som en infallsvinkel (relativt normalen till ytan) och i vår infinitesimala volym definieras infallsvinklarna mellan noll och 90 grader, detta är även vinkelspannet för en rymdvinkel över halva rummet ty konan kan bara gå från noll grader till 90 grader, vinklar över 90 grader ger ju en inverterad kon, dvs

$\int _{0}^{\pi /2}sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta ={\frac {1}{3}}[-cos^{3}\theta ]_{0}^{\pi /2}=-{\frac {1}{3}}[cos(\pi /2)^{3}-cos(0)^{3}]={\frac {1}{3}}...4.16$

Detta är ÄNTLIGEN rätt!

Man kan således konstatera att jag fått fram att

$p=\int dp(v,\theta )={\frac {1}{3}}\int mv^{2}\cdot n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}\int {\frac {mv^{2}}{2}}\cdot n(v)\cdot dv...4.17$

eller

$p={\frac {2}{3}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {mv^{2}}{2}}\cdot n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}\int _{-\infty }^{\infty }Ek_{p}\cdot n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}Ek_{p}\int _{-\infty }^{\infty }n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}Ek_{p}\cdot n...4.18$

Observera att hastighet är en vektor dvs det finns både positiv och negativ hastighet.

n(v) är en klockformad fördelningsfunktion som asymptotiskt går mot noll, därför kan den integreras med oändligheten som gränser.

Trycket är alltså 2/3 gånger totala antalet molekylers enskilda kinetiska energitäthet eller helt enkelt den totala kinetiska energitätheten ty

$p\propto nEk_{p}={\frac {N}{V}}Ek_{p}={\frac {Ek}{V}}...4.19$

där N är antalet molekyler, V är volymen och Ekp står för varje molekyls kinetiska energi.

Eftersom jag har lite svårt att greppa det här med kinetisk energitäthet kommer här ett försök till förenkling:

$p\propto {\frac {1}{V}}\sum _{j=1}^{N}{j\cdot Ek_{p}}...4.20$

dvs om varje molekyls kinetiska energi summeras upp och delas med volymen så fås trycket.

Det är dock rimligt att anta att ju fler molekyler per volymsenhet vi har desto större tryck har vi men vi har faktiskt inte kommit så långt i vårt härledande, dessutom funderar jag på varför man nyttjar sfärisk inneslutning av partiklarna när man härleder uttrycken, för är sfärisk inneslutning verkligen så relevant i praktiken?

Numeriskt exempel

Rymdvinkel definieras som 4pi*sin^2(alfa/2) där alfa är halva vinkeln hos konens öppning, rymdvinkeln kan alltså max bli 4pi (rundstrålande, alfa=pi) men om det bara "strålas" i halva rymden (alfa=pi/2) så blir rymdvinkeln 2pi.

Kapitel V, Kinetiska energin och tryckets relation till temperaturen

Figuren visar olika aspekter hos tryck, bl.a annat visar den hur den kinetiska energin blir beroende av temperaturen

Ideala (obs) gaslagen säger oss att:

$pV=n_{m}RT...5.1$

där n_m är molmängden och R allmänna gaskonstanten.

Men ovan hade vi ju att

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.2$

som multiplicerat med V ger

$pV={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.3$

dvs

$n_{m}RT={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.4$

och

$n_{m}=N/N_{a}...5.5$

där Na är Avogadros tal, så vi har

${\frac {R}{N_{a}}}T={\frac {2}{3}}Ek_{p}...5.6$

R/Na har sedan en egen konstant dvs k eller Boltzmans konstant vilket ger

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.7$

och eftersom

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.8$

så blir

$p=nkT...5.9$

Ekvation 5.7 är extra intressant för man kan visa att den kinetiska energin är uppdelad i tre komponenter där man har 1/2kT per komponent eller frihetsgrad, det är bara att tänka sig ett ortogonalt rum med tre dimensioner, extra intressant är också att den kinetiska energin är oberoende av massan dvs små molekyler rör sig snabbare än stora molekyler, deras kvadratiska hastighet är omvänt linjärt med massan, mv^2 är alltså konstant vid konstant N (pV är således konstant...humm)

Så om man har en behållare i, säg rumstemperatur, med molekyler av en viss molekylmassa och sen byter ut molekylerna mot en helt annan molekylmassa, som inte ens behöver vara av samma koncentration/täthet, så kommer linjärt sett endast molekylernas kvadratiska hastighet ändras och då till "förmån" för de lätta molekylerna.

Intressant.

Sen att trycket har att göra med koncentrationen/tätheten (nEkp) det är lite en annan sak för intressantast är vad som sker med själva molekylerna.

Numeriskt exempel

Man kan visa att för fusion av en elektron med en proton så krävs det en hiskelig temperatur hos elektronen (10^10K) ty den kinetiska energin enligt Ek=mv^2/2=kT behöver vara på c.a 1MeV vilket innebär en hastighet hos elektronen på 600 miljoner m/s vilket alltså är över ljushastigheten på 300 miljoner m/s fast här kommer speciella relativitetsteorin (SR) in som reducerar hastigheten men helt klart behöver elektronen färdas med mycket hög (termisk) hastighet.

Fritänkande, ifrågasättande av ideala gaslagens giltighet

Denna ekvation

$P2V2=P1V1(1-({\frac {\Delta t}{273}})^{2})...5.10$

säger att

$P2V2=P1V1=konstant...5.11$

men den är bara sann om dT<<273K, denna ekvation kallas också för Boyle's ekvation och är "sann" för en isoterm.

Men om dT inte är mycket mindre än 273K faller ju detta och hur ofta är temperaturvariationerna kring rumstemperatur?

En annan sak som är tveksam är gamma vs beta, gamma är nyttjat för volymens temperaturberoende och beta för tryckets temperaturberoende, dessa proportionalitetskonstanter sägs vara lika och det kanske dom är också men jag känner att det i så fall mest gäller temperaturer som inte avviker för mycket från 273K, vid flera tusen Kelvin är det inte alls lika säkert samma samband gäller.

Fast vad betyder det här egentligen?

Små avvikelser från 273K gör uppenbarligen så att PV=konst gäller, men vad är detta för avvikelser? Temperaturändringarna är ju netto noll för det är så vi räknat ut det, kanske man snarare skulle tolka Boyle's lag som sådan att så länge temperaturändringen under själva processen är liten i förhållande till 273K så gäller lagen?

Men varför skulle temperaturändringen, som vi är intresserad av, alltid vara så liten och hålla sig kring 273K?

Jag tycker att Boyle's lag inte gäller generellt utan bara i undantagsfall och om Boyle's lag inte gäller då gäller generellt sett inte allmänna gaslagen heller samtidigt som det är utifrån allmänna gaslagen man härlett mycket, först visar jag allmänna gaslagen:

$pV=n_{m}RT...5.12$

och vi har enligt ovan att

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.13$

sen har vi efter multiplikation med V

$pV={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.14$

dvs

$n_{m}RT={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.15$

och ur detta faller (se ovan)

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.16$

och

$p=nkT...5.17$

Men i genereringen av ekvationerna har vi nyttjat allmänna gaslagen, som inte verkar så allmän längre.

Igår fick jag användning för den sista ekvationen, när jag skulle lägga in en pilsner i frysen så gick dörren osedvanligt lätt upp samtidigt som jag såg en massa is, jag ville inte avfrosta för jag hade precis köpt 3kg ICA Basic pyttipanna så jag fick fatt i en stekspade av trä och körde mot isen likt isskrapa, lyckades få bort det mesta samtidigt som "suget" i dörren återkom, när jag sedan tänkte på detta sug och varför det uppstod kom jag så enkelt på att det ju är undertryck i skåpet pga att det enda som skiljer utanför och innanför är typ 40 grader vilket skapar ett undertryck, fysik är faktiskt mycket roligt :)

Fritänkande, tryck utan väggar

Observerade en påse på ICA häromdan.

Den var först rätt luftfylld, sen tryckte personen ihop påsen och den blev mindre luftfylld.

Vad var det som hände?

Först måste vi inse att trycket inuti påsen är lika stort som trycket utanför, sen kan vi anta att tempereturen före ihoptryckandet och efter ihoptryckandet är samma, då gäller

$p=nkT...5.18$

där alltså både p och T är samma, vilket gör att tätheten (n) också måste vara konstant.

Detta är egentligen inte så akademiskt för vi har ju släppt ut en massa luftmolekyler samtidigt som volymen har minskat dvs tätheten är samma.

Blåser vi in fler luftmolekyler så ökar volymen av samma anledning dvs N/V är konstant eller tätheten är samma, dvs Volymen följer mängden.

Jag tycker det är lite svårt att greppa den här enkla biten, kanske den konstanta koncentrationen av molekyler är ett enklare betraktelsesätt?

Vi har ju liksom inget annat än luft där inne dvs samma typ av luft som utanför, så varför skulle då koncentrationen vara annorlunda?

En annan tanke jag har är att när nu tryck definieras via impulsändringar mot väggar, vad är då tryck utan väggar?

Säg att vi har en kubikmil med luft, sen tittar vi i en kubikdecimeter med luft inuti denna kubikmil.

Vi har då inga väggar för tiden för att molekyler ska återkomma vid träffar från kubikmilens väggar är så lång att vi kan försumma deras påverkan.

Vad är det då som bestämmer trycket?

Molekyler kan träffa varandra och på så sätt få en impulsändring men vad jag förstått räknas det inte med sånt, dessutom är molekylers tvärsnittsareor mycket små.

Men om man inför en liten testarea i form av en "spade" så kan man mäta trycket.

Detta påminner lite om Heisenbergs osäkerhetsrelation för trycket går tydligen bara att mäta om man inför en störning, utan spaden så går trycket ej att mäta.

Jag är samtidigt lite benägen att tro att trycket, utan väggar, visst beror på krockar mellan molekyler och att det är det som i själva verket är trycket.

För trycket kan inte bara finnas där när spaden finns där, trycket finns ju liksom där ändå.

Och trycket är faktiskt definierat (se ovan) utifrån impulsändringar dvs det MÅSTE finnas impulsändringar för att det skall finnas nåt tryck OCH den enda gången det kan finnas det utan väggar är mellan molekyler, annars finns det inget tryck.

Vi har ovan mött flera intressanta uttryck för trycket och ett av dom mer intressanta är att trycket är proportionellt mot kinetiska energitätheten (dvs antalet molekyler gånger deras enskilda kinetiska energi delat med volymen):

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.19$

Sen har vi fått lära oss att den enskilda molekylens kinetiska energitäthet står i direkt proportion mot temperaturen:

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.20$

Dvs trycket står i direkt proportion mot molekyltätheten och temperaturen:

$p=nkT...5.21$

vilket är samma formel vi började detta kapitel med att använda.

Till vardags verkar det trivialt, temperaturen efter är lika med temperaturen före (långsamma processer), så för olika "påsars" volym är koncentrationen (n) samma.

Det ska dock påpekas att de flesta av ovan ekvationer utgår från den Ideala Gaslagen, vilket är en MYCKET förenklad variant av verkligheten, jag ska ifrågasätta detta sätt att se på gaser i nästa kapitel.

Det är också intressant att även om vi är vana vid att enheten på tryck är N/m^2 så är den också i gasers fall J/m^3 dvs en mängd gas har helt enkelt (kinetisk) energi, detta tycker jag är en mycket diffus definition men faktum är att tryck är kinetisk energi per volymsenhet dvs inom en volymsenhet finns en mängd Joule där denna Joule har att göra med hur snabbt partiklarna rör sig.

Fritänkande, partiklars olika hastighet

Jag börjar det här kapitlet med att förklara en liten aha-upplevelse, jag har alltid tyckt att täthetsbereppet är diffust sen räknade jag mha

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.22$

där

$Ek_{p}={\frac {mv^{2}}{2}}...5.23$

ut att

$p={\frac {1}{3}}{\frac {Nmv^{2}}{V}}...5.24$

dvs

$p\propto \rho v^{2}...5.25$

där rho helt enkelt är densiteten.

Mycket intressant tycker jag för

$Ek_{p}={\frac {mv^{2}}{2}}...5.26$

ihop med

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.27$

säger att v^2 är konstant under en isoterm process som gaser i vardagen i regel är dvs trycket har BARA med densiteten hos gasen att göra och densiteten bestäms av vilket yttre tryck vi tillför dvs en löst upplåst ballong har garanterat samma tryck inne som ute och detta pga att just densiteten är samma ty vi har ju samma luft (och temperatur) både innanför och utanför ballongen, skulle vi dock applicera ett yttre tryck modell ballong i en låda och pressa ihop lådans väggar, då skulle helt enkelt densiteten hos gasen öka ty volymen minskar ju samtidigt som mängden partiklar är precis samma.

Så man kan tänka sig att gasmassor som befinner sig i olika situationer men med samma temperatur att deras tryck är enbart beroende av deras densitet.

Ekv 9.6 säger samtidigt att den kinetiska energin per partikel är en halv kT/frihetsgrad dvs 3/2kT och ihop med ekv 9.5 kan man skriva

$v^{2}={\frac {3}{m}}kT...5.28$

som tydligt visar på hur kvadratiska medelhastigheten är beroende av massa och temperatur.

När man tittar på den kinetiska energin (ekv 5.26) och jämför med den kinetiska energins temperaturberoende (ekv 5.27) så ser man tydligt hur temperatur hänger ihop med kvadratiska medelhastigheten OCH partiklarnas massa.

Om temperaturen stiger så ökar uppenbarligen partiklarnas kinetiska energi, partiklarnas kvadratiska medelhastighet ökar då också (naturligtvis) men vad som inte är så glasklart är kanske att den kvadratiska medelhastigheten hos tyngre partiklar ändras mindre än hos lättare partiklar.

Kort och gott, om temperaturen stiger så ökar hastigheten hos tyngre partiklar mindre än hos lättare vilket i sig är mycket fascinerande.

Fritänkande, uppskattat tryck hos luft

Ekvation

$p=nkT...5.29$

är kortfattad men n är onekligen lite diffus så om man istället tecknar

$p={\frac {N\cdot m}{V}}\cdot {\frac {kT}{m}}={\frac {\rho }{m}}kT...5.30$

så blir den mer begriplig.

Man kan se det som så att partikel-tätheten (n) i första fallet kan tecknas

$n={\frac {p}{kT}}...5.31$

där man rent praktiskt kan räkna ut n om man har temperaturen och trycket.

Men om man inte har trycket eller temperaturen samtidigt som man vet vilken typ av gas man har och därmed dess mass-densitet (rho) och molkylvikt (m) så är det lättare att räkna ut tryck eller temperatur enligt ekv 5.30.

För säg att du har temperaturen och du vet vilken typ av gas du har, vilket tryck har du då?

Ekv 10.1 säger bara förhållandet mellan temperatur och tryck när partikel-densiteten (n) är känd, det intressanta är egentligen att rho/m är precis samma som n men rho/m är lättare att förstå och beräkna.

Vi kan göra ett försök att uppskatta molekyl-densiteten (N/V=n) hos luft vid 20C (293K), om vi nyttjar ekv 5.31 så får vi

$n={\frac {p}{kT}}={\frac {1,013E+5}{1,38E-23*293}}=2,5E25...5.32$

dvs så många luftmolekyler finns det inom en kubikmeter luft under normalt lufttryck och rumstemperatur.

Om vi istället räknar på mass-densitet och massan för en molekyl så får vi att trycket blir

$p={\frac {\rho }{m}}kT={\frac {1}{2/10X2X16m_{p}+8/10X2X14m_{p}}}kT...5.33$

där mp är massan för en proton och atomnumret för syre är 16 och atomnumret för kväve är 14 samtidigt som fördelningen i luft är 80% kväve.

Massan för en kubikmeter luft tror jag sedan är 1kg.

Sätter vi in detta tillsammans med rumstemperaturen (293K) så får vi normalt lufttryck som:

$p={\frac {\rho }{m}}kT={\frac {1}{2/10X2X16*1,67E-27+8/10X2X14*1,67E-27}}1,38*10^{-23}*293=84kPa...5.34$

Rätt nära 101,3kPa faktiskt :)

Notering: Densiteten för luft vid 273K (0 grader Celsius) och 1atm tryck är snarare 1,293kg/m^3 vilket gör att mitt uppskattade tryck går upp till ungefär 273/293*1,293/1*84kPa=101,2kPa som är att jämföra med 101,3kPa dvs 1atm och normalt lufttryck.

Kapitel VI, Härledning av stöttal och fria medelvägslängden

En visualisering av hur partiklar i en gas krockar med varandra

Med tanke på hur ekv 9.1 härleds så verkar det som om det inte kan finnas tryck utan impuls-ändringar, detta betyder att partiklarna måste krocka med varandra eller med nån slags vägg(ar).

Dvs finns det inga väggar, måste dom krocka med varandra.

Jag har nämnt att ett sätt att beräkna trycket är att nyttja det faktum som ekv 9.1 ger dvs att tryck är kinetisk energitäthet (härlett från impuls-ändringar, dock).

Personligen skulle jag föredra att kalkylera tryck utan väggar som en funktion av partikel-kollisioner med antagandet att det verkligen är mängder med kollisioner som pågår i en gas av "normal" partikeldensitet.

Låt oss försöka kalkylera stöttalet, n_s, som ger antalet kollisioner per tids och ytenhet:

Den infinitesimala volymen är

$dV=Svdt\cdot cos\theta ...6.1$

där theta är kollisionsvinkeln relativt normalen hos ytan S

Antalet partiklar inom denna volym är

$dn_{s}=n(v,\theta )dvd\theta dV...6.2$

men det har ovan visats att genom att jämföra ringarean hos rymdvinkelsegmentet med hela rymdens vinkel så är denna ekvation lika med

$dn_{s}=n(v)dv{\frac {1}{2}}sin\theta d\theta dV...6.3$

Så att antalet molekyler inom denna volym är

$dn_{s}=n(v)dv{\frac {1}{2}}sin\theta d\theta Svdt\cdot cos\theta ...6.4$

och delar man detta med dt och S så får man antalet partiklar per tids och ytenhet, dvs

$n_{s}=\int _{-\infty }^{\infty }n(v)vdv\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}sin\theta \cdot cos\theta d\theta ...6.5$

där

$\int _{-\infty }^{\infty }n(v)vdv=n<v>...6.6$

där <v> är medelhastigheten och det kan även visas att vinkel-integralen blir 1/4 så att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet blir:

$n_{s}={\frac {1}{4}}n<v>...6.7$

Låt oss nu försöka kalkylera fria medelvägslängden för en molekyl i en gas, volymen den upptar medans den "flyger" är

$dV={\frac {\pi }{4}}d^{2}vdt...6.8$

Alla molekyler inom diametern 2r+d (där 2d är cc-avståndet) berörs då av den första molekylen som innebär en volym

$dV=\pi d^{2}vdt...6.9$

då är antalet molekyler inom dV som riskerar krock per tidsenhet

$N_{ct}=n\cdot {\frac {dV}{dt}}=n\pi d^{2}v\approx nd^{2}v...6.10$

Sen har jag fått lära mig att detta skall korrigeras med sqrt(2) pga Maxwell, så vi gör det också

$N_{ct}={\sqrt {2}}\pi nd^{2}v...6.11$

Eftersom detta är ett antal så blir det en kollisionssannolikhet per molekyl om man delar med antalet molekyler, antalet partiklar som upplever en kollision blir alltså

$n\cdot N_{ct}={\sqrt {2}}\pi n^{2}d^{2}v...6.12$

således är antalet kollisioner som medelvärde (pga sannolikheten)

${\frac {1}{2}}n\cdot N_{ct}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\pi n^{2}d^{2}v...6.13$

Fria medelvägslängden är sedan medelhastigheten delat med ovanstående kollisionssannolikhet vilket beror på att ekv 11.10 är definierad per tidsenhet.

$l={\frac {v}{{\sqrt {2}}\pi nd^{2}v}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi nd^{2}}}...6.14$

Nu har vi två ekvationer: 6.7 & 6.11.

Ekv 6.7 säger oss att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet är

$n_{s}={\frac {1}{4}}n<v>...6.15$

så om vi känner n och v så kan vi räkna ut antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet

För vanlig luft i rumstemperatur kan man räkna ut n enligt

$n={\frac {p}{kT}}...6.16$

och använder man p=1,013E5 och T=293K får man E25 nånstans.

Hastigheten kan då räknas ut genom

$Ek={\frac {3}{2}}kT={\frac {mv^{2}}{2}}...6.17$

eller

$v={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}...6.18$

där m kan uppskattas som

$m\approx {\frac {2}{10}}*2*(8m_{n}+8m_{p})+{\frac {8}{10}}*2*(7m_{n}+7m_{p})\approx {\frac {2}{10}}*2*(16m_{p})+{\frac {8}{10}}*2*(14m_{p})\approx 30m_{p}...6.19$

där proportionerna för kväve och syre i luft är medtagna samtidigt som massan för protoner (m_p) är nära massan för neutroner (m_n), uppskattad massa blir 4,8E-26kg och därmed blir uppskattad hastighet E3m/s, detta ger ungefär stöttalet E28 per ytenhet och tidsenhet.

Så hur bred är en proton?

Jag har aldrig hört talas om den datan i en Physics Handbook men låt oss uppskatta:

Låt oss säga att densiteten motsvarar nåt nånstans i mitten av periodiska systemet, säg koppar, densiteten hos koppar är 900kg/m^3 vilket vi avrundar till 1ton/m^3.

Vi vet sen att protonen väger E-27 kg och dess volym är 4pi/3R^3~piR^3~R^3, då är

$\rho ={\frac {m}{V}}...6.20$

dvs

$V={\frac {m}{\rho }}...6.21$

som ger R~E-10, dvs en tvärsnittsarea på runt E-20, multiplicerar vi ekv. 6.15 med detta så får vi ns=E7 som alltså är antalet partikel-partikel kollisioner per sekund i vanlig luft.

Notering: Denna uppskattning är fullständigt galen, radien hos en proton är 5 magnituder mindre, se nedan.

Fria medelvägslängden för luft är sedan

$l={\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi nd^{2}}}...6.22$

och om man använder d som approximativt antal protoner gånger R (i.e E-15), n=2,5E25 och (14+16) "protoner" hos luft så blir det 2,5m luftmolekylerna hinner färdas innan dom kolliderar (?, detta är korrigerat, tidigare hade jag 1um...).

Med andra ord sker det mängder med kollisioner i luft (och troligtvis även andra gaser med hyfsad täthet) dvs man kan i praktiken inte räkna med nåt sånt som Dalton's lag dvs

$p=\sum n_{i}kT...6.23$

ty man kan uppenbarligen inte betrakta gaserna som isolerade och nyttjandes av hela volymen var för sig.

Radien $r_{0}$ hos atomkärnan är av storleksordningen E-15 och generellt kan radien pga masstalet tecknas

$R\approx r_{0}*A^{1/3}\approx 10^{-15}*A^{1/3}...6.24$

där A är masstalet (antalet protoner plus antalet neutroner).

Jag går lite händelserna i förväg och tecknar nåt skojigt efter att jag skrev ovan, man kan se tätheten av en atomkärna genom att betrakta

$n\approx {\frac {A}{R^{3}}}={\frac {A}{(r_{0}A^{1/3})^{3}}}={\frac {1}{r_{0}^{3}}}\approx 10^{45}...6.25$

dvs tätheten är konstant och oberoende av antalet nukleoner (A) och man kallar detta för "kärnmateria" ty alla grundämnens kärnor är lika täta, dom väger alltså lika mycket per volymsenhet, luft har t.ex tätheten ~E25 och vatten har tätheten ~E28, kärnmateria är alltså hela 17 magnituder tätare än vatten!

Jag tycker detta är sanslöst fascinerande!

Vi går alltså omkring i en värld där precis alla atomkärnor har samma täthet, saker består alltså inte ens av grundämnen eller molekyler utan av kärnmateria, något förenklat :)

Jag känner för att elaborera lite till, densiteten hos ett grundämne kan skrivas

$\rho ={\frac {NAm_{p}}{V}}=nAm_{p}...6.26$

där A är masstalet och m_p är protonmassan som neutronmassan har avrundats till, dvs

$n={\frac {\rho }{Am_{p}}}...6.27$

så om något har densiteten rho så är det bara att dela med den molekylära massan så fås tätheten, till exempel kan vi återigen knyta ann till vatten och ungefär få

$n\approx {\frac {1000}{10^{-26}}}=10^{29}...6.28$

ty vatten innehåller ungefär (2*1+2*8) protonmassor per molekyl vilket bara ger en magnituds skillnad jämfört med en proton, dvs E-26.

Här ser man att vi har kvoten E45-E29=E16 vad beträffar kärnmaterians täthet jämfört med vattens täthet, nu är det emellertid extra intressant att dela dessa sexton i tre varvid vi får ungefär E5 som man pga r^3 kan relatera till hur pass långt ut från kärnan som elektronerna befinner sig där det är känt att Bohr-radien för den ensamma elektronen runt Väte är på typ 1Å och om vi från ovan accepterar E-15 som kärnradie så är kvoten elektronradie/kärnradie ungefär E5 som alltså upphöjt till tre blir E15 vilket är nära dom E16 vi redan räknat med.

Numeriskt exempel

Densiteten hos en proton kan uppskattas till hiskeliga 10^18kg/m^3 liksom alla nukleoner har som densitet, jämför till exempel med guld som har en densitet på 10^4kg/m^3 bara. 10^18kg/m^3 ändras inte med atomnumret, alla grundämnen har således samma densitet. Man kallar detta för densiteten hos kärnmateria, all materia är alltså uppbyggda av kärnmateria (protoner/neutroner).

Kapitel VII, Molekylär diffusion

Molekylär diffusion

Föreställ Er en rektangulär kub där mitten på längden motsvarar x, hitom x har vi sedan fria medelvägslängden dvs x-l, på andra sidan x har vi på samma sätt x+l, kortsidan av den rektangulära kuben antar vi sedan har arean S, en infinitesimal volym byggs då upp av Svdt i x-riktningen.

Vi antar sedan följande:

1) Alla molekyler är "medelmolekyler" med hastigheten <v>

2) Alla molekyler går sträckan l mellan kollisioner

3) Molekylerna är fria att röra sig i positiv och negativ x-, y- och z-led.

Vad händer vid tvärsnittet i x?

1/6 av alla molekyler som vid en tidpunkt t+dt lämnar volymselementet Svdt (vid x-l) passerar i tidsintervallet t+tao, t+dt+tao genom tvärsnittet vid x, detta antal är

$N_{x-1}={\frac {1}{6}}n_{x-l}Svdt...7.1$

På samma sätt passerar

$N_{x+1}={\frac {1}{6}}n_{x+l}Svdt...7.2$

som lämnade motsvarande volymselement Svdt vid x+l.

På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar således nettoantalet

$\Delta N={\frac {1}{6}}n_{x-l}Svdt-{\frac {1}{6}}n_{x+l}Svdt...7.3$

i positiva x-riktningen.

Men

$n_{x-1}=n_{x}+dn=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(\Delta x)=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(-l)...7.4$

och

$n_{x+1}=n_{x}+dn=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(\Delta x)=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(+l)...7.5$

dvs

$n_{x-l}-n_{x+l}=-2l{\frac {dn}{dx}}...7.6$

Nettotransporten genom tvärsnttet vid x - uttryckt i antal molekyler per tids och ytenhet - blir alltså (jfr 7.3)

$j={\frac {1}{6}}v(n_{x-l}-n_{x+l})=-{\frac {1}{3}}lv{\frac {dn}{dx}}...7.7$

Vi har alltså en partikelflux enligt

$j=-D{\frac {dn}{dx}}...7.8$

där

$D={\frac {1}{3}}lv...7.9$

som kallas diffusionskoefficienten.

Numeriskt exempel

Diffusionskonstanten är alltså 1/3lv så om temperaturen ger en termisk energi på 3/2kT och längden är 1dm så blir D vid 300K 3,7*10^3 m^2/s för elektroner.

Kapitel VIII, Impuls-diffusion (viskositet=inre friktion)

Viskositetens inre struktur

Vi låter gasen strömma i x-led, strömningslamellernas ytnormal definierar då y-axeln.

1/6 av molekylerna som i tidsintervallet (t, t+dt) lämnar volymselementet Svdt vid y-l passerar i tidsintervallet (t+tau, t+dt+tau) genom tvärsnittet vid y, antalet är

${\frac {1}{6}}n_{y-1}Svdt...8.1$

pss passerar

${\frac {1}{6}}n_{y+1}Svdt...8.2$

uppifrån.

Netto i positiva y-riktningen är

${\frac {1}{6}}Svdt(n_{y-l}-n_{y+l})...8.3$

men denna gång är molekyldensiteten konstant dvs

$n_{y-l}-n_{y+l}=0...8.4$

Vi har således inget nettoflöde av molekyler i y-led.

Men hastigheten

$v_{x}...8.5$

(strömningshastigheten) beror av y, varför vi istället för partikeltransporten är intresserade av impulstransporten genom S vid y.

Molekylerna från y-l medför impulsen

$mv_{x,y-l}...8.6$

och molekylerna från y+l medför impulsen

$mv_{x,y+l}...8.7$

Nettotransport av impuls genom S (vid y) på tiden dt är då

${\frac {1}{6}}Svdt(nmv_{x,y-l}-nmv_{x,y+l})...8.8$

med

$v_{x,y-l}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(\Delta y)_{1}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(-l)...8.9$

och

$v_{x,y+l}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(\Delta y)_{1}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(+l)...8.10$

har vi

$v_{x,y-l}-v_{x,y+l}=-2l{\frac {dv_{x}}{dy}}...8.11$

Vi har alltså en impulstransport per tidsenhet genom ytan S vid y enligt

${\frac {dp_{x}}{dt}}={\frac {1}{6}}Svnm(-2l{\frac {dv_{x}}{dy}})={\frac {1}{6}}Sv\rho (-2l{\frac {dv_{x}}{dy}})...8.12$

alltså

${\frac {dp_{x}}{dt}}=-{\frac {1}{3}}Svl\rho {\frac {dv_{x}}{dy}}=-DS\rho {\frac {dv_{x}}{dy}}=F_{x}...8.13$

Numeriskt exempel

Om hastigheten hos en skiva i vatten ändras 1m/s och höjden från botten är 1m samt densiteten rho är 1000kg/m^3 och vi har en yta hos skivan på 1m^2 och en diffusionskonstant (D) på 1/3lv så fås en viskositetkraft på 333N som kan övrsättas till ungefär 30kg dvs skivan går knappt att rubba!

Kapitel IX, Termisk diffusion

Termiska diffusionens inre struktur

På samma sätt som vid molekylär diffusion så har vi att:

På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar nettoantalet

$\Delta N={\frac {1}{6}}n_{x-l}Svdt-{\frac {1}{6}}n_{x+l}Svdt...9.1$

i positiva x-riktningen.

Nu är dock

$n_{x-l}=n_{x+l}...9.2$

men

$v_{-}...9.3$

är ej lika med

$v_{+}...9.4$

ty

$Ekp={\frac {\alpha }{2}}kT...9.5$

och

$Ekp={\frac {1}{2}}m<v>^{2}...9.6$

som ger att v- ej är lika med v+ ty T- är inte lika med T+ (alpha är antalet frihetsgrader dvs >=3).

Vi är nu intresserade av den värmemängd som transporteras genom ytan S vid x:

från x-l, från volymen S<v_->dt, passeras S vid x av

${\frac {1}{6}}nS<v_{-}>dt...9.7$

molekyler, vardera med energin

${\frac {\alpha }{2}}k[T-{\frac {dT}{dx}}l]...9.8$

Total passeras S vid x av energin

$dQ={\frac {1}{6}}nS<v_{-}>dt[{\frac {\alpha }{2}}k(T-{\frac {dT}{dx}}l)]-{\frac {1}{6}}nS<v_{+}>dt[{\frac {\alpha }{2}}k(T+{\frac {dT}{dx}}l)]...9.9$

vilket ger

${\frac {dQ}{dt}}\approx {\frac {1}{6}}nS<v>{\frac {\alpha }{2}}k2(-{\frac {dT}{dx}}l)=-{\frac {nS<v>\alpha kl}{6}}{\frac {dT}{dx}}...9.10$

eller

${\frac {dQ}{dt}}=-\gamma S{\frac {dT}{dx}}...9.11$

med

$\gamma ={\frac {n<v>\alpha kl}{6}}...9.12$

med

$D={\frac {1}{3}}<v>l...9.13$

kan vi alternativt skriva

$\gamma =n{\frac {\alpha }{2}}kD...9.14$

Här är jag osäker för stora Cv är

$C_{V}={\frac {\alpha }{2}}R...9.15$

där R är allmänna gaskonstanten och således relevant för gaser.

Lilla cv definieras som

$c_{V}={\frac {1}{m}}({\frac {dQ}{dT}})_{V}...9.16$

och är värmekapacitiviteten för solida material

För gaser definieras stora Cv som

$C_{V}={\frac {1}{n_{m}}}({\frac {dQ}{dT}})_{V}...9.17$

där n_m är mängden gas i mol och dQ pss den värmemängd som måste tillföras för att temperaturen skall öka.

I vilket fall definierar min lärare gamma som

$\gamma =n{\frac {\alpha }{2}}kD=\rho c_{V}D...9.18$

Där den sista likheten för mig är något diffus.

Idag är den mindre diffus, man får dock ta till termodynamikens första huvudsats (som kommer senare i kompendiet) dvs

$dQ=dU+dW=dU+pdV...9.19$

där dQ är tillförd vämemängd, dU ändringen av den inre energin och dW arbetet gasen uträttar (i just det här fallet är dV noll så inget arbete uträttas).

Den inre energin U kan skrivas

$U=N*Ekp=n_{m}N_{A}Ekp=n_{m}N_{A}{\frac {\alpha }{2}}kT=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}RT=n_{m}C_{V}T...9.20$

där vi tillfälligt struntar i sista liknelsen, 9.16 och 9.19 ger sedan att

$mc_{V}dT=dQ=dU=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}RdT...9.21$

därmed

$mc_{V}=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}R...9.22$

dvs

$c_{V}={\frac {n_{m}}{m}}{\frac {\alpha }{2}}R={\frac {N}{N_{A}m}}{\frac {\alpha }{2}}R={\frac {N}{m}}{\frac {\alpha }{2}}k={\frac {1}{m_{p}}}{\frac {\alpha }{2}}k...9.23$

Redan i allra första ledet ser man dock att lilla cv är stora n_m*Cv/m (jfr 9.17), mp står för partikelmassan ty lilla cv förutsätter egentligen en mängd partiklar modell solida material medans Ekp är en enskild partikel eller molekyls kinetiska energi.

Om vi tar oss en ny titt på 9.18 som jag repeterar

$\gamma =n{\frac {\alpha }{2}}kD=\rho c_{V}D...9.24$

Så har vi från 9.23 att

${\frac {\alpha }{2}}k=m_{p}c_{V}...9.25$

och ekvationen går ut.

Indexeringen V hos 9.16 och 9.17 innebär att volymen hålls konstant dvs dV=0 och om dV=0 är arbetet dW=0.

Numeriskt exempel

3/2kT termisk energi för en enkelatomig gas med bara elektroner vid 300K innebär en hastighet hos elektronerna på knappt 100000m/s, luftmolekyler har sedan hastigheten 300m/s, c.a (formel för enkelatomig gas har då används).

Fritänkande, förenklad syn på diffusion

Föreställ er en rektangulär låda med ett membran på mitten som molekylerna fritt kan penetrera, då kan vi säga:

Molekylär diffusion: Om koncentrationen till vänster om membranet är större än koncentrationen till höger om membranet så kommer stöttalet

$n_{s}={\frac {1}{4}}nv...9.26$

där n är molekylkoncentrationen och v den termiska hastigheten göra så att tätheten på höger sida om membranet till slut blir lika med tätheten på vänster sida.

Impuls-diffusion: Om det förutom "kaotisk" termisk hastighet finns en hastighetskomponent riktad längs med ett snitt och denna hastighetskomponent är olika över respektive under ett gränssnitt så bildas en nettokraft ty

$F={\frac {dP}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}...9.27$

detta kallas också viskositet.

Termisk diffusion: Här har molekylerna olika termisk hastighet och om v1, [T1], n1 gäller för första kammaren och v2, [T2], n1 för andra kammaren har vi samma täthet men olika termisk hastighet dvs nu handlar det alltså om skillnader i rörelseenergi och olika rörelseenergi kommer att utjämna sig liksom värmeenergi flödar från varmt till kallt (och inte tvärtom).

Kapitel X, Termodynamikens första huvudsats

Hur gaser reagerar på värme

Termodynamikens första huvudsats lyder:

$dQ=dU+dW...10.1$

där dQ är tillförd värmemängd, dU ändringen av den interna energin och dW av gasen utfört arbete.

Ekvation 16.1 kan förenklas till

$dQ=dU+pdV...10.2$

vilket enkelt inses om man har en gas i en cylinder och kolven med arean S rör sig dvs arbetet blir då Fdx vilket är samma som pSdx=pdV.

Inre energin är sen

$U=NEk_{p}=n_{m}N_{A}Ek_{p}=n_{m}N_{A}{\frac {\alpha }{2}}kT=n_{m}R{\frac {\alpha }{2}}T=n_{m}C_{V}T...10.3$

där Ekp är den enskilda partikelns rörelseenergi, nm är molmängden, NA är avogadros tal, alfa är antalet frihetsgrader (tre för enkelatomiga gaser), R är allmänna gaskonstanten, T är temperaturen och Cv är specifika värmet.

Dvs den inre energin hos en konstant mängd molekyler är bara beroende av temperaturen.

Sen finns det nåt som för solida element kallas värmekapacitiviteten och kan tecknas

$c_{V}={\frac {1}{m}}{\frac {dQ}{dT}}...10.4$

som för gaser istället kan tecknas

$C_{V}={\frac {1}{n_{m}}}({\frac {dQ}{dT}})_{V}...10.5$

och

$C_{P}={\frac {1}{n_{m}}}({\frac {dQ}{dT}})_{P}...10.6$

där Cv innebär att volymen hålls konstant och Cp innebär att trycket hålls konstant.

Numeriskt exempel

Cp/Cv för luft är 1,4 enligt Physics Handbook.

Kapitel XI, Studier av sambandet mellan Cp och Cv

Stadiet för en gas när man tillför värme, förskjutningen är dx

Betrakta en gasbehållare vars "lock" utgörs av en friktionsfritt rörlig kolv och om trycket är konstant så ger detta en kraft F=pS på kolven, en förskjutning dx av kolven innebär sedan att gasen uträttar arbetet:

$dW=Fdx=pSdx=pdV...11.1$

Första huvudsatsen

$dQ=dU+dW...11.2$

och sambandet dW=pdV ger

$dU=dQ-pdV...11.3$

eller

${\frac {dU}{dT}}={\frac {dQ}{dT}}-p{\frac {dV}{dT}}...11.4$

och eftersom vi känner dQ/dT vid konstant tryck så innebär detta

${\frac {dU}{dT}}=n_{m}C_{P}-p{\frac {dV}{dT}}...11.5$

och eftersom vi sedan förut känner U så kan vi också skriva

$n_{m}C_{V}=n_{m}C_{P}-p{\frac {dV}{dT}}...11.6$

differentiering av allmänna gasekvationen

$pV=n_{m}RT...11.7$

ger oss att

$pdV+Vdp=n_{m}RdT...11.8$

där dp=0 för konstant tryck, så vi får att ekv 11.6 blir

$n_{m}C_{V}=n_{m}C_{P}-n_{m}R...11.7$

dvs

$C_{V}=C_{P}-R...11.8$

som brukar skrivas om enligt

${\frac {C_{P}}{C_{V}}}=1+{\frac {R}{C_{V}}}=\gamma ...11.9$

som alltså fått en egen konstant, gamma.

Vi vet sedan tidigare att

$C_{V}={\frac {\alpha }{2}}R...11.10$

så om en gas har 3 frihetsgrader (enatomig) så blir

$C_{V}={\frac {3}{2}}R...11.11$

vilket är vad man brukar räkna med men en tvåatomig gas har dessutom två rotationer och därmed fem frihetsgrader vilket bara nämns som kuriosa.

Numeriskt exempel

R=8,31 så Cv för en enkelatomig gas med tre frihetsgrader (dvs alfa=3) är ungefär 13 och Cp är då ungefär 21, för en tvåatomig gas som luft (med fem frihetsgrader dvs alfa=5) så är Cv istället ungefär 21 och Cp blir då ungefär 29 varvid Cp/Cv blir 1,4.

Kapitel XII, Termiska delprocesser

En hypotetisk termisk process som använder alla tillgängliga delprocesser

Det finns fyra olika delprocesser och dessa är:

1) Isokor, konstant volym (dV=0)

2) Isobar, konstant tryck (dp=0)

3) Isoterm, konstant temperatur (dT=0)

4) Adiabat, vanligtvis snabba förlopp där inget värmeutbyte sker med omgivningen (dQ=0)

Vi repeterar av lämplighetsskäl första huvusatsen:

$dQ=dU+pdV...12.1$

Med hjälp av denna kan man teckna en isokor som

$dQ=dU...12.2$

eller

$({\frac {dQ}{dT}})_{V}={\frac {dU}{dT}}=n_{m}C_{V}...12.3$

vilket ger att ändringen av den inre energin blir lika med

$dU=n_{m}C_{V}dT...12.4$

Eftersom dV är noll så uträttar gasen inget arbete men förändringen av den inre energin

$U=NEk_{p}=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}RT...12.5$

och därmed gasens termiska hastighet är proportinell mot temperaturförändringen.

Nästa process är en isobar, här är alltså dp=0 dvs vi får

$dQ=dU+pdV...12.6$

här är arbetet gasen uträttar pdV enligt

$pdV=dQ-dU...12.7$

som kan skrivas om enligt

${\frac {pdV}{dT}}=({\frac {dQ}{dT}})_{P}-{\frac {dU}{dT}}...12.8$

dvs

${\frac {pdV}{dT}}=n_{m}C_{P}-n_{m}C_{V}...12.9$

med andra ord uträttar gasen arbetet

$pdV=n_{m}(C_{P}-C_{V})dT...12.10$

vid en isobar process.

Vid en isoterm process gäller (som alltid)

$dQ=dU+pdV...12.11$

Denna gången är dock dT=0 dvs dU=0, således gäller istället

$dQ=pdV...12.12$

eller

${\frac {dQ}{dT}}={\frac {pdV}{dT}}...12.13$

dvs

$pdV=n_{m}C_{V}dT...12.14$

som är arbetet gasen uträttar (lite skumt hur det blir C_v här för det är varken konstant tryck eller volym, bara konstant temperatur).

Slutligen har vi en adiabatisk process där inga parametrar är fixerad förutom det faktum att inget värmeutbyte sker med omgivningen dvs dQ=0, i fallet adiabatisk process får vi alltså först

$dQ=dU+pdV...12.15$

som iom att dQ=0 kan skrivas om enligt

$dU=-pdV...12.16$

det här kan som vanligt skrivas om enligt

${\frac {dU}{dT}}=-{\frac {pdV}{dT}}...12.17$

och eftersom

$dU=n_{m}C_{V}dT...12.18$

så får vi att

$n_{m}C_{V}=-{\frac {pdV}{dT}}...12.19$

om vi sen differentierar allmänna gaslagen får vi

$pdV+Vdp=n_{m}RdT...12.20$

om vi löser ut dT så får vi

$dT={\frac {pdV+Vdp}{n_{m}R}}...12.21$

som insatt i 12.19 blir

$n_{m}C_{V}=-n_{m}R{\frac {pdV}{pdV+Vdp}}...12.22$

som kan skrivas om enligt

$R=-C_{V}*(1+{\frac {Vdp}{pdV}})...12.23$

eller

$-({\frac {R}{C_{V}}}+1)={\frac {Vdp}{pdV}}...12.24$

dvs

$-\gamma ={\frac {Vdp}{pdV}}...12.25$

eller

$-\gamma {\frac {dV}{V}}={\frac {dp}{p}}...12.26$

så att

$-\gamma \int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}=\int _{p_{1}}^{p_{2}}{\frac {dp}{p}}...12.27$

som ger att

$-\gamma (\ln {V_{2}}-\ln {V_{1}})=\ln {p_{2}}-\ln {p_{1}}...12.28$

dvs

$-\gamma \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.29$

eller

$\ln {({\frac {V_{2}}{V_{1}}})^{-\gamma }}=\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.30$

då fås

$({\frac {V_{2}}{V_{1}}})^{-\gamma }={\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.31$

som kan skrivas om enligt

$({\frac {V_{1}}{V_{2}}})^{\gamma }={\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.32$

dvs

$p_{1}V_{1}^{\gamma }=p_{2}V_{2}^{\gamma }=konstant...12.33$

V.S.V

Numeriska exempel

Tidigt i detta avsnitt sägs det att förändringen av den inre energin (dU) är lika med antal mol (n_m) gånger Cv gånger färändringen i temperatur (dT), om då temperaturen ökar med 100K och man har 1 mol atomer då ökar inre energin 1300J för en enkelatomig gas, för konstant volym (aka isokor) gäller dV=0 och då blir tillförd värmemängd (dQ) lika med dU.

Kapitel XIII, Carnotprocessen, kretsprocessen med den högsta verkningsgraden

Carnot-maskinen i praktiken

Carnotprocessen består av fyra delprocesser.

Först sker en isoterm expansion, sen sker en adiabatisk expansion, sen sker en isoterm kompression och slutligen sker en adiabatisk kompression.

Vi har alltså fyra delprocesser och de är:

1) Isoterm expansion dvs från T1, V1, p1 till T1, V2, p2, tillförd värmemängd=Q1, dU=0

2) Adiabatisk expansion dvs från T1, V2, p2 till T2, V3, p3, dQ=0

3) Isotem kompression dvs från T2, V3, p3 till T2, V4, p4, avgiven värmemängd=Q2, dU=0

4) Adiabatisk kompression dvs från T2, V4, p4 till T1, V1, p1, dQ=0

Allmänt gäller

$dQ=dU+dW=dU+pdV...13.1$

dvs termodynamikens första huvudsats så:

För 1 gäller (dT=dU=0)

$dQ=pdV...13.2$

och genom att använda allmänna gaslagen

$pV=n_{m}RT...13.3$

och lösa ut p fås

$dQ=n_{m}RT_{1}{\frac {dV}{V}}...13.4$

som uppintegrerat innebär

$Q_{1}=n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.5$

vilket är den värmemängd som upptas vid första delprocessen/isotermen.

För 2 gäller (dQ=0)

$pdV=-dU...13.6$

dvs

$pdV=-n_{m}C_{V}dT...13.7$

som uppintegrerat blir

$W_{2}=-n_{m}C_{V}(T_{2}-T_{1})...13.8$

som alltså är arbetet gasen utför.

för 3 gäller samma formler som för 1 dvs

$Q_{2}=n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}...13.9$

och för 4 gäller samma formler som för 2 dvs

$W_{4}=-n_{m}C_{V}(T_{1}-T_{2})=+n_{m}C_{V}(T_{2}-T_{1})...13.10$

Totala arbetet blir sedan en summa av allt det här, där W1 och W2 tar ut varandra och arbetet blir en differens mellan Q1 och Q2 ty V3<V2 och V2>V1 vilket antyder en differens.

Om man definierar Q1 som tillförd värmemängd enligt

$Q_{1}=n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.11$

och bortförd värmemängd som Q2 dvs

$Q_{2}=n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}...13.12$

då kan man definiera en verkningsgrad som

$\eta ={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {Q_{tillford}-Q_{bortford}}{Q_{tillford}}}...13.13$

Ekvationerna för Q1 och Q2 är dock lite väl olika för att detta skall bli "snyggt"

För isosotemerna så kan vi emellertid skriva:

$P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}...13.14$

och

$P_{3}V_{3}=P_{4}V_{4}...13.15$

sen kan vi skriva adiabaterna enligt

$P_{2}V_{2}^{\gamma }=P_{3}V_{3}^{\gamma }...13.16$

och

$P_{4}V_{4}^{\gamma }=P_{1}V_{1}^{\gamma }...13.17$

och om vi multiplicerar alla vänsterled med varandra och sedan även alla högerled så fås

$p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}V_{1}V_{3}V_{2}^{\gamma }V_{4}^{\gamma }=p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}V_{2}V_{4}V_{3}^{\gamma }V_{1}^{\gamma }...13.18$

dvs

$V_{1}V_{3}V_{2}^{\gamma }V_{4}^{\gamma }=V_{2}V_{4}V_{3}^{\gamma }V_{1}^{\gamma }...13.19$

eller

$V_{2}^{\gamma -1}V_{4}^{\gamma -1}=V_{3}^{\gamma -1}V_{1}^{\gamma -1}...13.20$

dvs

${\frac {V_{2}^{\gamma -1}}{V_{1}^{\gamma -1}}}={\frac {V_{3}^{\gamma -1}}{V_{4}^{\gamma -1}}}...13.21$

eller

${\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {V_{3}}{V_{4}}}...13.22$

Och om vi nu tittar på Q1 och Q2 igen dvs

$Q_{1}=n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.23$

och

$Q_{2}=n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}...13.24$

så kan vi alltså byta ut V4/V3 mot V2/V1 vilket ger Q2 som

$Q_{2}=-n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.25$

Vilket ger verkningsgraden

$\eta ={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}-n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}}{n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}}}...13.26$

eller

$\eta ={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}...13.27$

Denna formel kan sedan skrivas om enligt

$\eta =1-{\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}=1-{\frac {T_{1}}{T_{2}}}...13.28$

där vi kan nyttja

${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {T_{1}}{T_{2}}}...13.29$

eller

${\frac {Q_{1}}{T_{1}}}={\frac {Q_{2}}{T_{2}}}...13.30$

Man skall inte stirra sig blind på 19.26 vad gäller tecknet hos Q2, det viktiga är att Q1 och Q2 faktiskt har olika tecken ty det är ganska enkelt att inse att det är skillnaden mellan tillförd och avförd värmemängd som gäller.

Numeriskt exempel

För första delprocessen (isoterm dvs dT=0) gäller att förändringen i värmemängd (dQ) motsvaras av arbetet gasen utför (pdV) så om trycket är 1atm och vi har en ändring (dV) av volym på 1dm^3 så tillförs en värmemängd på 100J.

Del II, VÅGRÖRELSELÄRA

Vågrörelselära i samband med fusionsforskning kan tyckas lite onödigt men det finns mycket som oscillerar i en Tokamak, vi har till exempel laddade partiklar som girerar runt magnetfältet på ett oscillerande sätt, ett annat inte så uppenbart fall är när hela plasmat oscillerar i olika mer eller mindre instabila moder, jag vet från skolan att detta faktiskt är ett av dom största problemen med att försöka innesluta ett plasma mha magnetfält och att då förstå hur oscillationer bildas och hur man kan dämpa dom är mycket användbar kunskap.

Kapitel XIV, Svängningsrörelse

En belastad fjäder i rörelse

Föreställ Er att Ni har en viktlös fjäder fastspänd i en vägg och att den kan röra sig i s-led (där s står för störning) och C är den så kallade fjäderkonstanten, då fås

$F=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Cs...14.1$

dvs den återförande kraften är proportionerlig mod dels fjäderkonstanten C dels hur mycket man spänner fjädern från dess jämviktsläge dvs s=0.

En lösning till det här är

$s=Asin(wt+\phi )...14.2$

där phi är skild från noll om vi avser teckna rörelsen från en position skilt från s=0 vilket vi inte avser, phi är alltså noll.

Vi anstränger oss nu med att testa om lösningen stämmer:

${\frac {ds}{dt}}=Awcos(wt)...14.3$

och

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Aw^{2}sin(wt)...14.4$

detta leder till att 14.1 blir

$-mAw^{2}sin(wt)=-CAsin(wt)...14.5$

där A och sin(wt) kan förkortas bort och kvar får vi

$mw^{2}=C...14.6$

dvs

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...14.7$

som är den (vinkel)frekvens fjädern ger när man spänner fjädern och släpper.

Sen tecknar vi rörelseenergin

$E_{k}={\frac {1}{2}}m({\frac {ds}{dt}})^{2}={\frac {1}{2}}mA^{2}w^{2}cos^{2}(wt)={\frac {1}{2}}mA^{2}w^{2}(1-sin^{2}(wt))...14.8$

dvs

$E_{k}={\frac {1}{2}}mA^{2}w^{2}(1-{\frac {s^{2}}{A^{2}}})={\frac {1}{2}}mw^{2}(A^{2}-s^{2})...14.9$

och den potentiella energin (som alltid är arbetet motriktad kraften därav minustecknet)

$E_{p}=-\int Fds=\int Csds={\frac {1}{2}}Cs^{2}={\frac {1}{2}}mw^{2}s^{2}...14.10$

och slutligen är den totala energin summan av Ek och Ep enligt

$E_{tot}=E_{k}+E_{p}={\frac {1}{2}}mw^{2}A^{2}={\frac {1}{2}}CA^{2}...14.11$

Eftersom jag är ingenjör inom elektroteknik så kan man dra en mycket intressant parallell till 14.1, om vi börjar med att kopiera ner den igen så har vi att

$F=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Cs...14.12$

sen kikar vi på en ren LC-krets där L och C är i parallell.

Om vi då tecknar diff-ekavationen så kommer den av

$i=C{\frac {du}{dt}}...14.13$

och

$u=-L{\frac {di}{dt}}...14.14$

och om man stoppar in 14.13 i 14.14 så fås

$LC{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=-u...14.15$

och om vi jämför med 14.12 så kan man kanske se att LC står för nån slags elektrisk massa samtidigt som den elektriska fjäderkonstanten är 1.

Jämför man sen med 14.7 så ser man att

$w={\sqrt {\frac {1}{LC}}}...14.16$

där 1:an alltså kanske kan tolkas som fjäderkonstanten och LC som massan.

Annars verkar man alltså allmänt kunna teckna en svängning som

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-w^{2}x...14.17$

där minustecknet tycks stå för att det just finns en återfjädrande kraft och delar av w^2 kan då få vara fjäderkonstant, andra delar kan få vara massa.

Om vi tittar på differentialekvationen 14.1 igen och repeterar

$F=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Cs...14.18$

samt tar till lite komplexa trick som

$s=Ae^{jwt}...14.19$

och deriverar detta enligt

${\frac {ds}{dt}}=jwAe^{jwt}=jws...14.20$

samt

${\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}=-w^{2}Ae^{jwt}=-w^{2}s...14.21$

så att 14.18 blir

$F=-mw^{2}s=-Cs...14.22$

där det bara är att förkorta bort s varvid vi får

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...14.23$

och detta på ett nästan löjligt enkelt sätt.

Man ska dock komma ihåg att detta bara fungerar för oscillerande system som jag brukar kalla "statoinära", det fungerar inte om man vill analysera saker i tidsplanet men ofta handlar det om svängningar och beräkning av vinkelfrekvenser och då tycker jag att denna komplexa metod är överlägsen, en del av överlägsenheten har att göra med att det är enkelt att visualisera saker, jag skall ta ett par exempel.

Säg att ni har en svajande bandspelare och inbillar er att ni vill kunna kalibrera bort svajet och börjar med att spela in en stabil ton för att sedan analysera resultatet, om man då föreställer sig att man har en enhetscirkel i det komplexa talplanet där tonen symboliseras med w och svajet symboliseras med w_s, eftersom störningen är längs periferin av cirkeln där wt löper moturs så ser man enkelt att den resulterande summan blir w+w_s, i teorin är det sedan "bara" att subtrahera bort w_s men detta låter sig inte göras så lätt analogt, åtgärden kräver FFT och DSP.

Om man sedan tittar på AM-modulation och visualiserar vad som händer i z-planet så är det ju så att amplituden moduleras dvs radien på cirkeln moduleras och när man förstår det kan man enkelt teckna vad som händer när meddelandet är en enkel ton med amplituden m

$AM(t)=(c+me^{jw_{m}t})e^{jw_{c}t}...14.24$

där c står för carrier och m för message.

Detta kan sedan förenklas till

$AM(t)=ce^{jw_{c}t}+me^{jt(w_{c}+w_{m})}...14.25$

där man direkt ser att man har en carrier-component och en message-komponent vid summan av frekvenserna.

Man ser dock inte att man även har ett nedre sidband (differensen) men iom att vi är i det komlexa talplanet så inbillar jag mig att även negativa frekvenser finns åtminstone så länge differensen är större än noll dvs vi kanske kan skriva

$AM(t)=ce^{jw_{c}t}+me^{jt(w_{c}+/-w_{m})}...14.26$

Där detta faktiskt är sant och kan bevisas mha vanliga trigonometriska formler t.ex

$sin(w_{c}t)sin(w_{m}t)=sin(w_{c}t-w_{m}t)-sin(w_{c}t+w_{m}t)...14.27$

Där bara de imaginära delarna har använts ty vi är vi är bara intresserad av projektionen på en axel åt gången.

För att göra det komplett vad gäller analoga moduleringssätt tar vi med FM-modulation också där exemplet ovan angående svaj redan är ett exempel på FM-modulation men vi definierar ändå

$FM(t)=Ae^{jt(w_{c}+w_{m})}=ce^{jw_{c}t}\cdot me^{jw_{m}t}...14.28$

Där första ledet är taget direkt från summationen perifert i enhetscirkeln, A visar sig sedan bli mc.

Numeriskt exempel

Om en fjäder har fjäderkonstanten (C) lika med 1N/m och massan hos vikten (och den masslösa fjädern) är 0,1kg så blir frekvensen 0,5Hz.

Kapitel XV, Vågekvationen

En våg breder ut sig

Man kan teckna en störning s som breder ut sig i x-led på följande sätt

$s(x,t)=f(x-vt)...15.1$

Detta kan också tecknas

$x-vt=u...15.2$

kanske man först kan se det som att vi har att funktionens nollgenomgång flyttas till x=vt dvs är fördröjd med vt, då är

$s=f(u)...15.3$

då är

${\frac {\delta s}{\delta x}}={\frac {df}{du}}{\frac {\delta u}{\delta x}}={\frac {df}{du}}...15.4$

och

${\frac {\delta s}{\delta t}}={\frac {df}{du}}{\frac {\delta u}{\delta t}}=-v{\frac {df}{du}}...15.5$

andraderivatorna blir då

${\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {d^{2}f}{du^{2}}}...15.6$

respektive

${\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}={\frac {d^{2}f}{du^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}=v^{2}{\frac {d^{2}f}{du^{2}}}...15,7$

som ger

${\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}...15.8$

Detta kallas vågekvationen.

v^2 faller alltså ut när man deriverar du/dt en andra gång och får då -v en gång till

Notering: Jag fattar inte riktigt det här till exempel hur en andraderivata av sträcka map på tid plötsligt kan bli v^2 när det egentligen är en klassisk formel för acceleration (v är dock inte konstant).

Numeriskt exempel

Hastighet tycker jag inte är klockrent beskrivet i fysiken för vad är till exempel V/s för nåt? Om A är en amplitud i y, säger vi, då är det en hastiget det också, för en sinusformad svängning i rummet blir nämligen derivatan av funktionen som vi kan skriva x(t)=Asin(wt) wA som absolut är en hastighet, i fallet opampar brukar vi sedan kalla V/s för slewrate.

Kapitel XVI, Vågutbredning

Studie över hur en våg breder ut sig

För en våg som breder ut sig gäller enligt ovan

$s(x,t)=f(x-vt)...15.1$

jag skulle vilja betrakta detta som att vt är en fasförkjutning i positiv x-led dvs att störningen upprepas x=vt senare, ekvationen kan skrivas om enligt

$s(x,t)=f(t-{\frac {x}{v}})...16.1$

Vi ser att vi har två olika tider, en som beror på tiden i sig en som beror på rummet och hur vågen brer ut sig.

Om funtionen är sinus så har vi två fasvinklar som ändras med tiden enligt

$s(x,t)=sin(2\pi ft-2\pi f{\frac {x}{v}})...16.2$

eller

$s(x,t)=sin(2\pi {\frac {t}{T}}-2\pi {\frac {x}{\lambda }})...16.3$

Att det blir så har att göra med att rumsfasen ändrar sig med utbredningen, en våg är ju inte bara beroende av tiden utan även av dess position.

Emedan det är tämligen känt att

$w={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f...16.4$

så kallas samtidigt

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...16.5$

där

$\lambda ={\frac {v}{f}}...16.6$

Numeriskt exempel

För ljudvågor gäller enligt Leo L. Beranek "Acoustics" från 1954 att c=331,4 sqrt(T/273)m/s, vid 0C dvs 273K är således ljudhastigheten i luft 331,4m/s (vid normalt lufttryck), vid 20C blir det 343m/s.

Kapitel XVII, Longitudinell våg

Långitudinell våg i en stång

Det finns två typer av vågor, den ena kallas longitudinell och är riktad längs med utbredningen, den andra typen av våg är den så kallade transversella och är riktad vinkelrätt mot utbredningen.

Om man tittar vid ett visst x när man slår an på en stav så kommer det orsaka en störning dx som tänjer ut staven, nu har vi således att ett volymselement på dx som rör sig genom staven.

Med hjälp av implicit derivering kan vi teckna störningen enligt

$s(x+dx,t)=s(x,t)+{\frac {\delta s}{\delta x}}dx...17.1$

störningsdifferensen är då

$s(x+dx,t)-s(x,t)={\frac {\delta s}{\delta x}}dx...17.2$

dvs den relativa töjningen är

$e={\frac {{\frac {\delta s}{\delta x}}dx}{dx}}={\frac {\delta s}{\delta x}}...17.3$

Spänningen i staven kan fås via elesticitetsmodulen enligt

$\sigma =eE...17.4$

spänningen kan också tecknas

$\sigma ={\frac {F}{Y}}...17.5$

där Y är tvärsnittsarean och F kraften där kraften också kan tecknas

$F=\sigma Y=YEe=YE{\frac {\delta s}{\delta x}}...17.6$

Kraften på ändytorna hos volymselementet är (där rho är densiteten samtidigt som Newtons andra lag nyttjas rakt av)

$F2-F1=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\rho Ydx{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.7$

F1 blir enligt 17.6

$F1=F(x)=YE{\frac {\delta s}{\delta x}}...17.8$

och F2 bir galant pga implicit derivering

$F2=F(x+dx)=F(x)+YE{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}dx...17.9$

dvs

$F2-F1=YE{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}dx...17.10$

och kombineras detta med 17.7 så fås

$YE{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}dx=\rho Ydx{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.11$

eller

$E{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}=\rho {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.12$

dvs

${\frac {E}{\rho }}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.13$

identifiering med vågekvationen enligt ovan dvs

$v^{2}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}...15.8$

ger slutligen att hastigheten ges av

$v={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}...17.14$

Numeriskt Exempel

Elasticitetsmodulen (E) för järn är 8,4*10^10Pa, densiteten (rho) för järn är sedan 7,9*10^3 kg/m^3, detta ger att hastigheten den longitudinella vågen rör sig i en järnvägsräls är över 3000m/s vilket nästan är Mach 10 (vi kommer återkomma till Mach's tal men det är ett tal relativt ljudhastigheten)

Kapitel XVIII, Transversell våg

Visar krafterna på en sträng

Anta att vi har en sträng utmed x-axeln, sen böjer vi i strängen utmed y-axeln då får vi två krafter i strängen som är motriktade tangentiellt med strängen, säg att kraften mot origo kallas F1 och kraften åt andra hållet kallas F2.

Eftersom krafterna utmed x-axeln också är lika kan vi teckna

$F_{1}cos(\theta _{1})=F_{2}cos(\theta _{2})...18.1$

men om vinklarna är små så gäller

$sin(\theta )=tan(\theta )=\theta ...18.2$

och

$cos(\theta _{1})=cos(\theta _{2})18.3$

därmed gäller

$F_{1}=F_{2}=F...18.4$

därför kan man teckna

$F(x)=F\cdot sin(\theta )=F\cdot tan(\theta )=F{\frac {ds}{dx}}...18.5$

ty vi har att störningen är vertikal dvs i y-led och infinitesimalerna i y och x är ds respektive dx, då har vi att

$F(x+dx)-F(x)=F(x)+F{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}dx-F(x)=F{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}dx...18.6$

sen nyttjar vi Newton's andra lag och att Y är tvärsnittsarean

$F{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}dx=ma=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\rho Ydx{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...18.7$

så att

${\frac {F}{\rho Y}}{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...18.8$

identifiering med vågekvationen

$v^{2}{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...15.18$

ger sedan att

$v={\sqrt {\frac {F}{\rho Y}}}...18.9$

eller

$v={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.10$

med my=m/L 18.10 sägs sen vara den formel som gäller men det är oklart vad hastigheten betyder för vad är det som rör sig?

För det första vet vi alla att en sträng rör sig i y-led och den kan egentligen inte röra sig alls i x-led ty den är fäst i två punkter.

Nu har vi två saker att beakta:

1) Strängen kan inte svänga med andra frekvenser (läs våglängder) än n*lambda/2, detta pga att den ju är låst till i alla fall L=lamda/2 för lägsta tonen, denna "låsning" är sedan i x-led.

Notering: Här ska man passa sig för att säga frekvenser har jag lärt mig men snacket om våglängder gäller.

2) När man slår ann en sträng måste hastigheten i y-led vara beroende av hur hårt man slår ann strängen (ty strängen får olika lång väg att gå) för annars blir det olika frekvens/ton beroende på hur hårt man slår ann strängen, detta krav är dock i y-led.

Jag tror att det som skapar ljud i sammanhanget är strängens tvärsnittsarea, den luft den skyfflar undan och den rörelse den utför i y-led.

1&2 är tydligen krav som är i olika riktningar så om man räknar ut en hastighet i y-led så kan man inte nyttja våglängdskravet i x-led utan vidare, frågan är hur man gör det för jag är övertygad om att båda kraven gäller.

Numeriskt exempel

Om my hos gitarrsträngen är 1g/m, och man spänner med F=1N (eller 0,1kg) och gitarrhalsen är 1m lång (L) så får man hastigheten 32m/s och frekvensen är då 16Hz vilket kommer att visa sig lite senare men baseras på att längsta våglängden är 2L (eller en puk över gitarrhalsen).

Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del I

Ett alternativt sätt att betrakta problemet är om strängen helt enkelt bara vore en fjäder med vikt likt

$m{\frac {d^{2}s}{ds^{2}}}=-Cs...18.11$

där s är störningen och om vi nyttjar den suveränt simpla metoden med komplexa tal kan vi skriva

$s=Ae^{jwt}...18.12$

dvs

${\frac {ds}{dt}}=jwAe^{jwt}=jws...18.13$

och

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-w^{2}Ae^{jwt}=-w^{2}s...18.14$

så att

$-mw^{2}s=-Cs...18.15$

dvs

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.16$

där

$|v|=wA...18.17$

enligt 24.14, rent allmänt är periferihastigheten w*radien och radien är i det här fallet amplituden (A), så vi får att

$v=A*{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.18$

där C är fjäderkonstanten hos strängen, pga dess enhet [N/m] så kan 18.18 också skrivas

$v=A*{\sqrt {\frac {F}{Lm}}}...18.19$

och om man inser att amplituden (A) egentligen också är en längd (L) så får man

$v={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.20$

som är samma som 18.10 dvs vi har inget enhetsfel här, dock anser jag det är viktigt att A nyttjas i enlighet med 18.18 för det visar på att hastigheten, som nu är obevekligen y-riktad, är beroende av amplituden på anslaget vilket jag tycker är rätt självklart för vi kan inte ha en sträng som låter med en annan frekvens beroende på hur hårt man slår ann den, det MÅSTE således finnas ett hastighetsberoende map anslagskraften/amplituden.

Min amatörmässiga bedömning är sedan att tiden det tar för strängen från det att man släpper den tills det att den kommer tillbaka är periodtiden dvs

$T=2A/v...18.21$

Frekvensen är nu inversen av detta dvs

$f=v/2A={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.22$

När det sedan gäller fjäderkonstanten (C) hos en sträng så gissar jag att ju hårdare spänd desto högre fjäderkonstant ty om strängen är löst spänd så är det enkelt att utöka dess längd men om den är hårt spänd är det inte det, eller?

Rörelsen här är som sagt i y-led och det finns inget beroende av hur hårt man slår ann strängen ty A utgår.

Problemet nu är min personliga övertygelse om

$L=n*{\frac {\lambda }{2}}...18.23$

dvs det kan inte finnas några andra våglängder än dessa för strängen är fixerad i sina ändpunkter och då blir dom enda möjliga våglängderna ett kvantiserat antal pukar där den längsta puken (halv våglängd) alltså är stränglängden.

Men här har vi ett krav i x-led medans det jag precis innan räknade ut är en rörelse i y-led.

Jag får inte ihop det här.

Fast jag erkänner en sak och det är att hastigheten verkar kunna styras godtyckligt om man speciellt ser till massan på strängen, men hur denna hastighet kopplas till våglängdskravet och därmed frekvensen begriper jag inte (jag känner dock att 24.23 kan vara rätt men det rimmar inte med våglängskravet)

Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del II

Jag har tänkt lite mer och eftersom detta är en svammel-bok så behåller jag eventuella felaktigheter ovan.

Vi kan börja med hur man tecknar en våg som rör sig i x-led (obs) genom att förfina 24.13 till

$s=Ae^{j(wt-kx)}...18.24$

där vågtalet k (lambda/2pi) är infört.

Om nu nollgenomgångarna skall stämma (för vi kan inte ha en våg utan stimuli) så gäller

$wt=kx...18.25$

och om man då löser ut x så får man

$x={\frac {w}{k}}t...18.26$

derivatan av detta är den så kallade fashastigheten vf enligt

$v_{f}={\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{k}}...18.27$

men observera att x här är deriverbar dvs skild från en konstant MEN det är ju precis det vi har dvs att x är konstant så vi har ingen fashastighet!

w/k kan för övrigt förenklas till

${\frac {w}{k}}={\frac {2\pi f}{2\pi /\lambda }}=f*\lambda =v_{f}...18.28$

MEN detta avser en rörelse i x-led, vilket vi inte har varför vanligt vågtänk går bort.

Min analogi med hur en fjäder rör sig kan dock stämma för lösningen till diffekvationen blev ju

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.29$

vad beträffar vinkelfrekvensen, ser man sedan på hastigheten så kan man dels kika på 24.14 eller tänka att man är ute efter en periferihastghet i enhetscirkeln som beskriver rörelsen dvs

$v=wA...18.30$

Det här är dock inte riktigt nån fashastighet MEN det är en rörelse i rummet för systemet svänger ju!

Så vi har en hastighet i rummet som jag tolkar som vertikal likt hur ett fjädersystem svänger (med g=0).

Frekvensen kan fås av att

$w=2\pi f...18.31$

och att

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.32$

dvs

$f={\frac {1}{2\pi }}*{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.33$

där vi kan leka med de olika parametrarna enligt m=0,1kg, C=1kg/mm=10N/mm=10000N/m

Då blir skattad grundfrekvens för den tjocka E-strängen 50Hz.

Sen kan man ana att strängarnas massa inte är såvärst olika, borde inte skilja mer än en knapp faktor 3, roten ur tre kan vi då sätta som 1,5 och man får maximalt en frekvensskillnad mellan tunna E och tjocka E på 50%.

Fjäderkonstanten dom olika strängarna skiljer sig naturligtvis åt men jag antar att det inte skiljer så mycket, eventuellt är dock den tjocka E-strängen i grunden en nylonsträng med spunnen metalltråd utanpå så dess C kommer att vara mindre ty den är lättare att tänja, kanske en faktor 2 lättare, maximalt en faktor 3 lättare varvid vi då har en tre gånger (roten ur nio) så hög grundtonsfrekvens hos tunna E jämfört med tjocka E.

Vad vi således har är ett mycket enkelt uttryck på frekvensen och hastigheten där vågekvationen inte ens är nyttjad, dessa repeteras härmed

$v=Aw=A{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.18$

och

$f={\frac {w}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.34$

och faktiskt uppstår ett lambda i rummet ty grejerna rör sig i rummet enligt

$\lambda ={\frac {v}{f}}=2\pi A...18.35$

Vilket är en nästan löjligt enkel ekvation men rörelsen, åtminstone matematiskt, är enligt enhetscirkeln och ett varv på enhetscirkeln är radien (läs A som amplituden) gånger 2pi i omkrets och därmed väg.

Här får jag lite flummigt möjligheten att införa min tvärsäkra ide' om att strängen innehåller ett antal lambda halva eller

$\lambda ={\frac {v}{f}}=2\pi A=={\frac {2L}{n}}...18.36$

Detta kan jag dock varken visa eller bevisa men jag tror bestämt att det är så (enda möjligheten för harmoniska vågor).

Så A ovan kan bytas ut mot

$A={\frac {L}{n\pi }}...18.37$

och insatt i 18.18 får man

$v={\frac {L}{n\pi }}{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.38$

där hastigheten alltså INTE är konstant men faktiskt bara beroende på hur många pukar vi har dvs i övrigt konstant, knepigt dock att fler pukar innebär lägre hastighet, kanske fel ändå?

Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del III

Om vi antar att ordinarie uträknad formel ändå är rätt så lyder den alltså och jag repeterar

$v={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.10$

sen har vi att

$f={\frac {v}{\lambda }}...18.39$

Vad är nu lambda?

Jo, vi kan titta på randvillkoren till ovan ekvation som jag repeterar

$s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...18.24$

Denna svänger ju inte i x=0 ty där är strängen fäst dvs

$s(0,t)=Ae^{jwt}==0...18.40$

Eftersom allting börjar i noll kan vi studera {im} dvs sinus och får då

$wt=n*\pi ...18.41$

Samtidigt har vi att

$s(L,t)=Ae^{j(wt-kL)}==0...18.42$

Ty strängen svänger inte vid x=L heller, då fås

$wt=kL...18.43$

kombinerar vi 18.41 med 18.43 så fås

$n*\pi =kL...18.44$

och eftersom

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...18.45$

så blir 18.44

$L=n*{\frac {\lambda }{2}}...18.46$

och därmed blir

$\lambda ={\frac {2L}{n}}...18.47$

som gör att 18.39 blir

$f={\frac {n}{2L}}*{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.48$

Kapitel XIX, Elektromagnetism

En visualisering av Coulombs lag

Coulombs lag kan tecknas

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}...19.1$

som är formeln för kraften mellan två olika laddningar i vakuum, man kan också skriva denna formel som

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}...19.2$

där

$\epsilon =\epsilon _{r}\epsilon _{0}...19.3$

där epsilon_r är den relativa permittiviteten för ett dielektrikum skilt från vakuum (där epsilon_r är 1), med denna betraktelse blir det tydligt att när det finns ett dielektrikum så blir kraften mindre.

Man kan se 19.2 på ännu ett intressant sätt

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{A_{s}}}...19.4$

där As är ytan hos en sfär, detta gäller faktiskt alla punktkällor där intensiteten blir effekten/As eller fältstyrkan/As, i det här fallet tycks vi alltså ha ett kraftfält som är sfäriskt.

Sen skulle jag vilja förenkla 19.1 till

$F\propto {\frac {Q^{2}}{r^{2}}}...19.5$

där laddningarna bara råkar vara lika stora, elektrisk fältstyrka definieras sen som

$E={\frac {F}{Q}}...19.6$

vilket man kan tolka som den fältstyrka som multiplicerat med laddningen ger kraften mellan laddningarna, samtidigt som det också är den fältstyrka som finns i rummet utan att det finns mer än en samling laddningar, uttrycket för E blir således

$E\propto {\frac {Q}{r^{2}}}...19.7$

eller mer korrekt

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {Q}{r^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {Q}{A_{s}}}={\frac {1}{\epsilon }}\rho _{s}...19.8$

där rho_s är ytladdningstätheten dvs laddningen delat med arean, sen finns det en fältbeteckning som kallas förkjutningsfältet D dvs

$D=\epsilon E...19.9$

vilket innebär att 19.8 kan tecknas

$D=\rho _{s}...19.10$

eller för att göra det mer allmängiltigt ty vi har en laddningsfördelning som måste summeras upp

$\oint _{S}DdS=\int _{S}\rho _{s}dS=Q...19.11$

kurvintegralen innebär mest att alla fältlinjer genom ytan skall tas med, annars ger detta ännu mer allmänt

$\oint _{S}DdS=\int _{V}\rho _{v}dV=Q...19.12$

ty vi är intresserade av själva laddningsmängden och den är normalt inom en viss volym, med andra har vi nu härlett en av Maxwell's ekvationer :)

Elektrisk potential härleds sedan lite speciellt, om vi har två laddningar av samma polaritet då är kraften repellerande, om man sedan tar en laddning och släpar den från oändligheten till punkten ifråga så utförs ett arbete (eftersom man går mot kraften liksom man släpar nåt mot friktion), arbetet kan skrivas

$W_{p}=-\int _{\infty }^{r}Fdr...19.13$

där Wp är den potentiella energin som laddningen får av släpandet (minustecknet indikerar att vi rör oss mot kraften), eftersom energi har enheten Joule eller Ws och laddning har enheten As så inses att

$W_{p}=QV(r)=\int Fdr\propto \int {\frac {Q^{2}}{r^{2}}}dr={\frac {Q^{2}}{r}}...19.14$

dvs den elektriska potentialen som Q ger upphov till är

$V(r)\propto {\frac {Q}{r}}...19.15$

eller mer korrekt

$V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}..19.16$

Numeriskt exempel

En proton har en radie (R) på ungefär 10^-15m, dess potential är då 1,6MeV (där man kan stryka e om man vill).

Kapitel XX, Energiprincipen

Energiprincipen medels två olika månbanor runt jorden

Energi kan aldrig uppstå och det kan heller inte försvinna, energi kan bara övergå från en form till en annan, en viktig konsekvens av detta är att energin i ett slutet system är konstant enligt

$W_{p}+W_{k}=konstant...20.1$

Jag har valt att beteckna energierna med W som i work för båda är faktiskt arbete, vi såg senast att den potentiella energin för en laddning bestog av det arbete som krävs för att flytta laddningen från oändligheten till punkten ifråga men faktiskt så gäller detta kinetisk energi också för den har ju liksom inte bara energi (eller hastighet) den har fått energin ifrån nånstans, jag tycker således man skall se energierna enligt:

$W_{p}=-\int _{\infty }^{x}Fdx...20.2$

här gäller det att kraften minst avtar som 1/R^2, om vi tittar på gravitation kan vi skriva

$W_{p}=-\int _{\infty }^{R}m{\frac {GM}{R^{2}}}dx...20.3$

detta är med integrationsgränserna insatta lika med

$W_{p}=m{\frac {GM}{R}}...20.4$

som alltså är vår potentiella energi, denna ser dock lite konstig ut men vi kan skriva om den enligt

$W_{p}=m{\frac {GM}{R^{2}}}R=mgR=mgh...20.5$

som ju är vår klassiska formel för lägesenergi, nedan formel vet jag sen inte riktigt vart jag fått ifrån (säkert 5 år sedan jag skrev den) men enheten stämmer och det mynnar ut i nåt intressant

$W_{k}=\int _{0}^{v}pdv...20.6$

där p=mv, med andra ord kan man se 20.6 som

$W_{k}=\int _{0}^{v}mv\cdot dv=m{\frac {v^{2}}{2}}...20.7$

som är den klassiska formeln för kinetisk energi men om vi nu utvecklar detta så fås

$W_{k}=\int _{0}^{v}m{\frac {dx}{dt}}\cdot dv...20.8$

som kan skrivas om enligt

$W_{k}=\int _{0}^{x}m{\frac {dv}{dt}}\cdot dx...20.9$

och eftersom kraft definieras enligt

$F={\frac {dp}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}...20.10$

så fås

$W_{k}=\int _{0}^{x}Fdx...20.11$

och vi är tillbaka i fallet där energi definieras som det arbete som krävs för att flytta nåt till en viss punkt, i detta fallet till en viss hastighet.

Numeriskt exempel

Om man kikar alldeles nedanför så har vi att gravitaionskvoten på månen är 0,16 dvs en människa på 100kg "väger" bara 16kg på månen, vad som nästan är mer intressant är den höjd (h) som månen ciklar kring jorden (informationen finns inte på Wikipedia), men med hjälp av gravitaionskvoten och jordradien (bj) har jag räknat ut höjden till 1,6E7m (1600 mil) som är lika med 2,5 jordradier dvs om man drar av en jordradie måste man färdas 1000mil ut i rymden för att komma till månen, när det sedan gäller vår energiuträkning så är det bara att stoppa in värdena, jag får Wp1=1,8E30J, Wk1=6,3E25J vilket ger w2/w1 som 58 som jag först fick vilket är omöjligt men utan att fatta kunde jag vända på vinkelfrekvensbråket för att få rätt (jämfört med en annan uträkning), en 20%-tig öknng av höjden verkar alltså innebära en ny vinkelfrekvens/hastighet på bara 1,7% av den gamla.

Fritänkande, exempel på energiprincipen

Gravitationen på månen kan tecknas

$g'={\frac {GM_{j}}{h^{2}}}...20.12$

efersom gravitationen är proportionerlig mot 1/h^2 och gravitationen är g vid jordytan (bj) kan man skriva

$g'=({\frac {b_{j}}{h}})^{2}\cdot g...20.13$

om vi då har

$W_{p1}=m_{m}g'h...20.14$

och

$W_{k1}=m_{m}{\frac {v^{2}}{2}}=m_{m}{\frac {(w_{1}h)^{2}}{2}}...20.15$

där w är 2pi genom omloppstiden, och om vi nu ökar h med 20%, då får vi

$g''=g'{\frac {1}{(1,2)^{2}}}...20.16$

vilket påverkar Wp enligt

$W_{p2}={\frac {W_{p1}}{1,2}}...20.17$

ty gravitationskonsten minskar med 1/1,2^2 samtidigt som höjden ökar med 1,2, den kintiska energin blir sen

$W_{k2}=({\frac {w_{1}}{w_{2}}})^{2}\cdot (1,2)^{2}W_{k1}...20.18$

men vi käner inte den nya omloppsvinkelfrekvensen/tiden (w_2), rent intuitivt kan man dock förstå att den minskar ju längre ut planeten ligger, här måste vi dock ta till energiprincipen enligt

$W_{tot}=W_{p2}+W_{k2}={\frac {W_{p1}}{1,2}}+({\frac {w_{1}}{w_{2}}})^{2}\cdot (1,2)^{2}W_{k1}==W_{p1}+W_{k1}...20.19$

och vi får

$({\frac {w_{1}}{w_{2}}})^{2}={\frac {W_{p1}(1-1/1,2)+W_{k1}}{(1,2)^{2}W_{k1}}}...20.20$

vilket ger

${\frac {w_{2}}{w_{1}}}=1,7\%...20.21$

Lite måndata:

b=1737km

V=2,2E19m^2

m=7,3E22kg

T=28d

g'=0,16g

mj=6E24kg (jordmassan, finns inte i Physics handbook)

Kapitel XXI, Elektromagnetiska vågor

En bild på en transversell elektromagnetisk våg

Föreställ Er en våg som löper utmed x-axeln, en elektromagnetisk våg är transversell och ortogonal dvs har två vinkelräta fältkomponenter enligt

$E(x,t)=E_{y}sin(w(t-{\frac {x}{v}}))...21.1$

och

$B(x,t)=B_{z}sin(w(t-{\frac {x}{v}}))...21.2$

Man kan skriva två av Maxwells ekvationer på differentialform enligt

$\nabla XE=-{\frac {dB}{dt}}...21.3$

som också kallas Faraday's induktionslag, sen kan man skriva

$\nabla XH=J_{fri}+{\frac {dD}{dt}}...21.4$

som också kallas Ampere's lag (J går bort för här finns inga fria laddningar, bara en förkjutningsström), eftersom

$D=\epsilon E...21.5$

och

$B=\mu H...21.6$

så kan man skriva 21.4 som (osäker på tecknet, dock)

$\nabla XB=\mu \epsilon {\frac {dE}{dt}}...21.7$

Nabla är för övrigt en deriveringsoperator enligt

$\nabla =a_{x}{\frac {d}{dx}}+a_{y}{\frac {d}{dy}}+a_{z}{\frac {d}{dz}}...21.8$

Krysset betyder sedan kryssprodukt/rotation och intresserade uppmanas kolla upp Cirrus regel men i princip handlar det om att två vektorer ger upphov till en tredje ortogonal vektor när man "kryssar" dom, i vårt fall vet vi dock riktningarna så det enda man behöver tänka på är att en derivering sker, allmänt kan kryssprodukt annars skrivas

$\nabla XA=a_{x}({\frac {dA_{z}}{dy}}-{\frac {dA_{y}}{dz}})+a_{y}({\frac {dA_{x}}{dz}}-{\frac {dA_{z}}{dx}})+a_{z}({\frac {dA_{y}}{dx}}-{\frac {dA_{x}}{dy}})...21.9$

21.3 ger då att

${\frac {dE_{y}}{dx}}=-{\frac {dB}{dt}}...21.10$

där Ex=0 och 21.7 ger att

${\frac {dB_{z}}{dx}}=-\epsilon \mu {\frac {dE}{dt}}...21.11$

Där Bx=0, det är egentligen fel att nyttja indexering här men det förtydligar relativt 21.9

Om vi nu nyttjar 21.1 respektive 21.3 så fås

$E_{y}{\frac {w}{v}}\cos w(t-{\frac {x}{v}})=B_{z}w\cos w(t-{\frac {x}{v}})...21.12$

dvs

$E_{y}=vB_{z}...21.13$

och om vi sen nyttjar 21.2 respektive 21.4 så fås

$B_{z}{\frac {w}{v}}\cos w(t-{\frac {x}{v}})=\epsilon \mu E_{y}w\cos w(t-{\frac {x}{v}})...21.14$

eller

$B_{z}=v\epsilon \mu E_{y}...21.15$

dvs

$1=v^{2}\epsilon \mu ...21.16$

vilket ger

$v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}...21.17$

Eller mer specifikt

$v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}}...21.18$

där

$\mu _{0}...21.19$

är permeabiliteten för vakuum och

$\epsilon _{0}...21.20$

är permittiviteten för vakuum, suffixet r står för relativ och är alltid större än ett förutom för vakuum där de är ett, således kan man teckna

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}...21.21$

Vilket är ljushastigheten i vakuum.

Eftersom omagnetiska material har en permeabilitet ganska nära ett så blir permittiviten den enda kvarvarande egenskapen, man har tom infört en särskild benämning dvs

$n={\sqrt {\epsilon }}_{r}...21.22$

vilket kallas brytningsindex som pga 21.18 gör så att

$v={\frac {c}{n}}...21.23$

dvs vågens utbredningshastighet minskar med brytningsindex.

Det här är relativt klockrent men sen snackas det om fashastighet modell

$v_{f}={\frac {w}{k}}...21.24$

och varför kommer det in i spelet?

Jag kan tänka mig en härledning av ovanstående genom nyttjande av konstant fasskillnad enligt

$s(x,t)=Asin(wt-kx)=Asin(-\phi )...21.25$

där minustecknet bara underlättar algebran enligt

$kx=wt+\phi ...21.26$

och om man stuvar om lite så får man

$x={\frac {w}{k}}t+{\frac {\phi }{k}}...21.27$

som deriverat ger fashastigheten enligt

$v_{f}={\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{k}}...21.28$

Jag har lite svårt att förstå 21.25 så jag vill utveckla den lite, det enklaste sättet att förstå det är i det komplexa planet där man kan skriva 21.25 som

$s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...21.29$

vars imaginär-del är 27.25, det intressanta händer dock om man skriver om detta enligt

$s(x,t)=Ae^{jwt}e^{-jkx}...21.30$

där man faktiskt har att man kan separera tidsplanet med rummet ty de är oberoende funktioner, wt snurrar i tiden medans kx snurrar i rummet, här har man dessutom att vid s(0,0) så är dom i fas varför det blir som så att under den periodtid som det snurras i tidsplanet löps ett lambda igenom för det kan liksom inte bli nån våg i rummet om det inte händer nåt i tiden, nåt sånt tror jag man måste resonera.

Numeriskt exempel

Hastigheten elektromagnetiska vågor såsom ljus breder ut sig med i vakuum är ljushastigheten (c) på 300 000 000 m/s, hastigheten i olika medium är sedan c/n där n är brytningsindex för mediumet.

Kapitel XXII, Grupphastighet

Vektoriell addition

Grupphastighet är egentligen den hastighet med vilken själva informationen utbreder sig, om man t.ex har en amplitudmodulerad våg och mediumet inte är dispersivt (dvs att olika frekvenser inte färdas olika snabbt genom mediet) så har man att fashastigheten är samma som grupphastigheten, annars kan man se det som så att bärvågen färdas med fashastigheten medans modulationen/informationen färdas med grupphastigheten, definitionerna är som följer:

$v_{f}={\frac {w}{k}}...22.1$

Som alltså är fashastigheten medans grupphastigheten definieras

$v_{g}={\frac {dw}{dk}}...22.2$

Om man då har att

$w=v_{f}\cdot k...22.3$

och att

$v_{f}={\frac {c}{n}}...22.4$

så blir

$w=k{\frac {c}{n}}...22.5$

vilket ger

$v_{g}={\frac {dw}{dk}}={\frac {c}{n}}+k{\frac {d(c/n)}{dn}}{\frac {dn}{dk}}...22.6$

och därmed blir 22.2

$v_{g}={\frac {c}{n}}-k{\frac {c}{n^{2}}}{\frac {dn}{dk}}={\frac {c}{n}}(1-{\frac {k}{n}}{\frac {dn}{dk}})=v_{f}(1-{\frac {k}{n}}{\frac {dn}{dk}})...22.7$

Grupphastighet kan man bara prata om om man har fler än en våg samtidigt, låt oss säga att vi har följande störningar:

$s_{1}(x,t)=Acos(w_{1}t-k_{1}x)...22.8$

respektive

$s_{2}(x,t)=Acos(w_{2}t-k_{2}x)...22.9$

där vi förenklar med samma amplitud, summerar vi sedan dessa får vi

$s_{1}+s_{2}=Acos(w_{1}t-k_{1}x)+Acos(w_{2}t-k_{2}x)...22.10$

nu finns det en trigonometrisk formel som lyder

$cos(\alpha )+cos(\beta )=2cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})cos({\frac {\alpha -\beta }{2}})...22.11$

och om

$\alpha =w_{1}t-k_{1}x...22.12$

och

$\beta =w_{2}t-k_{2}x...22.13$

så blir 28.9

$s_{1}+s_{2}=2Acos({\frac {w_{1}t-k_{1}x+(w_{2}t-k_{2}x)}{2}})cos({\frac {w_{1}t-k_{1}x-(w_{2}t-k_{2}x)}{2}})...22.14$

eller

$2Acos({\frac {(w_{1}+w_{2})t-(k_{1}+k_{2})x}{2}})cos({\frac {(w_{1}-w_{2})t-(k_{1}-k_{2})x}{2}})...22.15$

Här har vi alltså att

$w={\frac {1}{2}}(w_{1}+w_{2})...22.16$

sen har vi att

$k={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})....22.17$

sen har vi att

$\Delta w={\frac {1}{2}}(w_{1}-w_{2})...22.18$

dessutom har vi att

$\Delta k={\frac {1}{2}}(k_{1}-k_{2})...22.19$

vilket gör att man kan skriva 22.10 som

$2Acos(wt-kx)cos(\Delta w\cdot t-\Delta k\cdot x)...22.20$

Personligen tycker jag trigonometriska formler är jobbiga och svåra att komma ihåg, jag börjar få känslan att z-planet direkt ger det man behöver, låt oss därför skriva om 22.8 respektive 22.9 enligt

$s_{1}(x,t)=Ae^{j(w_{1}t-k_{1}x)}...22.21$

respektive

$s_{2}(x,t)=Ae^{j(w_{2}t-k_{2}x)}...22.22$

22.10 kan då skrivas

$s_{1}+s_{2}=A(e^{j(w_{1}t-k_{1}x)}+e^{j(w_{2}t-k_{2}x)})...22.23$

detta kan skrivas om enligt

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j(w_{2}t-k_{2}x)}(e^{j((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}+1)...22.24$

eller

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j(w_{2}t-k_{2}x)}e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}\cdot$ $(e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}+e^{-j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))})...22.25$

dvs

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)+(w_{2}t-k_{2}x))}(e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}+e^{-j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))})...22.26$

tar man sedan hand om termerna kan man skriva

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}+w_{2})t-(k_{1}+k_{2})x)}(e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}-w_{2})t-(k_{1}-k_{2})x)}+e^{-j{\frac {1}{2}}((w_{1}-w_{2})t-(k_{1}-k_{2})x)})...22.27$

nu ser man tydligt att man har dessa termer

$w={\frac {1}{2}}(w_{1}+w_{2})...22.28$

och

$k={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})...22.29$

och

$\Delta w={\frac {1}{2}}(w_{1}-w_{2})...22.30$

samt

$\Delta k={\frac {1}{2}}(k_{1}-k_{2})...22.31$

och allt utan att en enda trigonometrisk formel har använts (fast Eulers formel är implicit använd)!

Det är intressant att göra jämförelsen med hur en blandare i en superheterodyn fungerar, i ovanstående fall skulle man kunna säga att vi har gjort en summering av två signaler i ett linjärt (och icke dispertivt) medium, en mixer jobbar emellertid med ett olinjärt medium och är "icke-dispersivt" på det sättet att den inte är frekvensberoende i sin blandningmekanism.

Vi skissar lite på detta och antar att:

$x(t)=Xe^{jw_{1}t}...22.32$

och

$y(t)=Ye^{jw_{2}t}...22.33$

om man nu multiplicerar dessa signaler får man

$xy=Xe^{jw_{1}t}Ye^{jw_{2}t}=XYe^{j(w_{1}+w_{2})t}...22.34$

Här identifierar vi enkelt att det finns en frekvenskomponent på

$w=w_{1}+w_{2}...22.35$

men samtidigt vet vi att även differensen finns så i dessa fall föreslår jag att man löser saken genom en dubbel multiplikation enligt:

$xy=xy...22.36$

respektive

$xy=xy^{*}...22.37$

för om man tar transponatet av y och multiplicerar så får man just den differentiella termen.

Låt oss nu analysera hur själva multiplikationen av två signaler går till i verkligheten, alla vet att adderar man logaritmiskt så är det lika med multiplikation, vi kan således förenkla något och anta att

$f(u)=e^{u}=e^{(x+y)}...22.38$

Enligt Maclaurin kan man skriva om detta ty vi vet att u är litet

$f(u)=f(0)+f'(0)u+{\frac {1}{2}}f''(0)u^{2}+H.O.T...22.39$

f(u) har jag valt som busenkel att derivera (dvs man får alltid e^u) med andra ord så blir 22.39

$1+u+{\frac {1}{2}}u^{2}...22.40$

Vilket ger

$1+x+y+{\frac {1}{2}}(x+y)^{2}...22.41$

eller

$1+x+y+{\frac {1}{2}}(x^{2}+2xy+y^{2})...22.42$

där vi ser att vi har frekvenserna

1) 1: DC 2) x: w1 3) y: w2 4) x^2: w1^2 dvs 2*w1 (tänk multiplikation av två komplexa tal) 5) y^2: w2^2 dvs 2*w2 (egentligen även differensen läs 0) 6) xy: w1+w2 (fås av multiplikationen av de båda komplexa signalerna) 7) xy: w1-w2 (fås av transponatet vid multiplikation av samma signaler).

Om man nu jämför olinjär summering (mixer) med linjär summering (icke dispersivt medium) så ser vi speciellt att linjär summering ger halva summan respektive halva differensen medans olinjär summering ger summan respektive differensen.

Det finns ett annat sätt att bevisa 28.1, säg att vågen kan beskrivas enligt

$s(x,t)=sin(wt-kx)...22.43$

där amplituden är normerad till 1 då kan vi nyttja vågekvationen enligt

$v^{2}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}...15.18$

på så sätt att vi först deriverar enligt

${\frac {ds}{dx}}=-kcos(wt-kx)...22.44$

sen deriverar vi igen och får

${\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}=-k^{2}sin(wt-kx)...22.45$

på samma sätt kan man tidsderivera enligt

$\frac{ds}{dt}=wcos(wt-<!--\; -\; -->kx)...22.46$