Fysiksvammel med kontrollerad fusion som mål
Förord
[redigera]Jag hade en plan för inte så länge sen om att bygga mig en liten Tokamak iform av ett cirkulärt glasrör med typ luft i som man sen joniserade och fick ett rosa plasma där diametern hos plasmat kunde styras mha ett gäng elektromagneter placerade toroidalt runt glasröret, på det sättet skulle man kunna vrida på en vridtransformator och justera storleken på plasmat, jag har inte tänkt så mycket mer på alla praktiska detaljer men helt klart är att det är denna princip som t.ex JET (Joint European Touros) har använt, dvs magnetisk inneslutning av ett plasma.
Jag har börjat studera grundläggande fysik på högskolenivå, det första avsnittet härledde formeln för en ideal gas, det är här jag vill börja för man kan nämligen betrakta ett plasma på många sätt, ett seriöst sätt är som en gas.
Del I, TERMISK FYSIK
[redigera]Kapitel I, Introduktion till gaser och deras tryck
[redigera]En gas definieras av speciellt tre parametrar, PVT dvs tryck, volym och temperatur.
Jag har länge haft svårt för att förstå tryck samtidigt som jag för inte alltför längesen lärde mig förstå temperatur.
Temperatur tycks vara relaterat till hastigheten hos partiklarna och därmed deras rörelseenergi.
Ett vanligt försök till beskrivning är den Maxwellska fördelningsfunktionen
som beskriver hastighetsfördelningen i en gas dvs att de flesta partiklar har en Ek mindre än kT (ty funktionen är då 1/e).
Det här är diffust, jag skulle vilja definiera om den Maxwellska fördelningsfunktionen på följande sätt:
vilket åtminstone stämmer för två frihetsgrader, detta ger
Om vi nu gör ett variabelbyte i den Maxwellska fördelningsfunktionen så kan vi få
där fördelningsfunktionen istället är centrerad kring för ärligt, vadå centrerad kring v=0?
Speciellt om det handlar om hög temperatur är ju det rent utsagt absurt fast jag fattar inte riktigt detta.
Tänkt lite mer på det här idag och börjar tro att jag har rätt, med min approach så får man dock inte bara en "Gaussklocka" utan två dvs en likadan för dom negativa hastigheterna men denna konsekvens är aningen akademisk för det enda man behöver göra är att halvera sannolikheten för dom positiva hastigheterna, ändrar f.ö tecken när det gäller dom negativa hastigheterna men det är intressant att det finns negativa hastigheter även om det inte är så konstigt för hastighet är en vektor men att man måste ta hänsyn till negativa hastigheter är diffust.
Tryck däremot tror jag precis jag lärt mig vad det faktiskt är för nåt.
Man brukar alltid säga att tryck är kraft per ytenhet fast hur bra funkar den beskrivningen om det inte finns några väggar?
Jag har haft jättesvårt för att förstå det här men idag hände nåt, det fanns två bilder i mitt kompendium där det ena var två partiklar som kolliderade fullständigt elastiskt (idealt sett) och det andra var det mer lättförståeliga dvs samma typ av kollision men då av partikel i vägg.
Det är relativt lätt att inse att impulsändringen hos en partikel när den kolliderar med en vägg är 2P ty P=mv och för att partikeln ska studsa tillbaks med samma hastighet så måste hastigheten (som har riktning och är en vektor) ändras 2v dvs impulsändringen blir 2P.
Men hur var det nu med trycket när det inte finns några väggar?
Hör och häpna, trycket kommer från partikelkollisioner!
Eftersom vi vet att impulsändringen är 2mv och att kraftekvationen är
så har vi att kraften är
och här blir det lite intressant för trycket kan tecknas
där S skulle kunna vara tvärsnittsarean av partikeln (idealt sett), då fås
Så vi kommer fram till att trycket beror på kollisioner mellan partiklar, det finns alltså där även om det inte finns väggar.
För att gå händelserna lite i förväg kan vi teckna:
där n är partikeltätheten, k är Boltzmanns konstant och T temperaturen.
Om vi sedan gör experimentet med vad som händer med trycket högt upp i atmosfären där det på jordytan är
där rho är densiteten hos luft och h atmosfärens höjd (grovt räknat) så fås att lufttrycket teoretiskt går mot noll när atmosfären tar slut (för då är luftpelaren h noll) men alldeles i den randen är lufttrycket ändå inte noll samtidigt som kollisionerna partiklarna emellan är mycket få.
Av 1.9, som bara är min föredragna variant av den ideala gaslagen, ser man att när trycket går mot noll så går temperaturen eller partikeltätheten mot noll, i detta ytterläge vet vi att partikeltätheten faktiskt är noll men att temperaturen inte är 0K vilket är skumt för temperaturer skilt från noll innebär att partiklar finns och rör sig så vad kan det vara som rör sig men inte finns?
Jag har också svårt att förstå varför atmosfären överhuvudtaget tar slut, är det gravitationen eller?
Jag har mycket att lära mig :D
Numeriskt exempel
[redigera]Tryckformeln (p=nkT) gör att man kan beräkna molekyltätheten (n) i luft som ungefär 10^25st/m^3 vid 300K (+27C) med ett normalt lufttryck (p) på väldigt nära 10^5Pa eller 1atm eller 10000kg/m^2 eller 1kg/cm^2.
Kapitel II, Härledning av Boyle's lag
[redigera]Det kan visas att under konstant tryck så gäller
på samma sätt kan det visas att vid konstant volym så gäller
där beta och gamma faktiskt passande nog är samma (förmodligen vid små temperaturändringar, men vi kommer tillbaks till det) och tom såpass enkelt uttryckta som, vilket är experimentellt bevisat
Då Celsius är en ur fysikalisk synvinkel lite knölig enhet så kan man byta t mot T-273C och får då istället:
för en isobar och
för en isokor, där isobar betyder att trycket är konstant och isokor betyder att volymen är konstant.
Konstanten gamma har dock nu övergått i 1/273K för vid variabelbytet är det tydligt att t blir -273C när T=0 och detta är inget annat än Kelvinskalan dvs för t=0 fås t.ex P1=P2 medans för T=273K fås samma sak.
Sen finns det en lag som kallas Boyles lag som beskriver vad som händer med tryck och volym ur en isoterm betraktelse.
Jag har sett en enkel härledning av denna i mitt kompendium men jag köper det inte så vi får försöka härleda Boyle's lag att
för en isoterm (dvs samma temperatur i början som i slutet av en) process.
Vi kan tänka såhär, vi har från början P1V1T1, sen förändras trycket (dock inte volymen men temperaturen plussar vi tillfälligt på med ), då har vi
om sen volymen ändras men inte trycket så får vi
Men om processen totalt sett ska vara isoterm så krävs att
Om vi multiplicerar V2 med P2 fås
som kan skrivas om enligt
dvs
Observera nu att jag sätter in gamma=1/273K
dvs bara när den (kvadratiska) temperaturvariationen är liten i förhållande till 273K så är det relevant att
Dvs, Boyles's lag
Numeriskt exempel
[redigera]Uppblåsning av en ballong är en relativt snabb och därmed isoterm process, uppblåst ballong kan kanske tänkas klara 10kg/cm^2 som är lika med 10 atmosfärers tryck (där en atmosfär är normalt lufttryck)
Kapitel III, Härledning av ideala gaslagen
[redigera]Man kan teckna PVT i ett tredimensionellt rum, tänk Er att Ni har P uppåt och V till höger samt T in i pappret.
P går då linjärt med gamma som raka streck från origo, V går på samma sätt som raka streck från origo men T är hyperbolisk pga PV=konst (Boyle's Lag).
Då kan man vandra runt i det här rummet dvs om man tar en punkt P1V1T1 och går via t.ex en Isokor (V=konst) till en annan punkt så har vi tydligen P2V1T2 om vi sen går till en tredje punkt via en Isoterm (T=konst) så har vi att P3V3T2.
Nu är:
och pga isotermen T2
dvs
Om vi går en annan väg typ från P1V1T1 via en Isobar (P=konst) dvs P1V2T2 och sen via en Isoterm till P3V3T2 så har vi att
sen har vi att
dvs
På två olika sätt får man när man går i PVT-rummet tydligen
Som kan skrivas om enligt
så att
där To=1/gamma dvs 273K och P1 och V1 bara indikerar ursprungspunkten
Högerledet har dedikerats en konstant som kallas R för allmänna gaskonstanten och om slutliga PV-produkten är P3V3 kan man skriva om ekvationen enligt:
R gäller här för endast en mol, allmänt måste vi då skriva den allmänna gaslagen som
där n_m betecknar antal mol för PV-produkten är rimligen proportionerligt mot hur mycket gas det finns.
Ett sätt att eventuellt förstå det på är att det ju inte kan finnas nåt tryck om det inte finns partiklar, dock kan en enda partikel utöva tryck mot "virtuella" väggar även om jag börjat se gastryck mer som kollisioner av partiklar.
Fast om man vill mäta en enda partikels tryck antar jag att man kan köra ner en "spade" och bara mäta hur länge och ofta partikeln träffar spaden.
Numeriskt exempel
[redigera]PV=n_mRT ger att lufttrycket vid 300K är 100 000Pa eller 1kg/cm^2, formeln kan skrivas om som p=nkT och med känd partikeltäthet (n) enligt tidigare blir det så.
Fritänkande, tryck i en ballong
[redigera]Om man ökar med ett gäng med partiklar så måste fler per tidsenhet både krocka med varandra och med väggarna, det skulle eventuellt kunna tänkas vara som så att PV är linjärt med n_m (så läge T inte ändras), låter lite väl lämpligt men i alla fall en måttlig förhöjning av molmängden (n_m) borde ge nåt sånt.
Man kan tänka sig fallet där man blåser upp en ballong, om blåst lite och stannar så har vi en viss volym, temperturen är konstant inför nästa blås (och även efter nya blåset om än efter en liten stund kanske), så vi har att
som kan skrivas om enligt
Om nu n_m ökar lika mycket som V så att moldensiteten är konstant då är i så fall är trycket P också konstant.
Kan detta verkligen stämma?
Eventuellt för vad som händer är att ballongen bara fylls med normalt lufttryck för trycket utanför den klena ballongen är lika stort som trycket innanför annars skulle ballongen kollapsa, formeln säger således att ju mer "mol" du blåser in i ballongen desto mer V kommer ballongen ge.
Det enda vi har gjort är att vi blåst in fler mol och ballongen har reagerat med att utvidga sig för att ge samma tryck innanför som utanför.
Möjligtvis blir det ett litet övertryck precis när man blåser in luften men därefter måste trycket i ballongen vara konstant och lika med trycket utanför.
Så hur spränger man en ballong då?
Det är nog inte tryckets fel utan expansionsmöjligheten hos plasten (dvs hur mycket kraft den tål vid tänjning), gissar jag.
Om ballongen varit i en låda med stela väggar hade man kunna haft en tryckskillnad (fast då hade man ju inte kunnat blåsa upp den :) ).
Kapitel IV, Härledning av tryckets beroende av den kinetiska energin
[redigera]Låt oss anta att vi har en yta med gas där själva ytan betecknas S och den infinitesimala höjden av ytan betecknas vdt.
Gasmolekyler träffar sedan denna yta i en vinkel gentemot normalen kallad theta.
Eftersom det bara är impulser vinkelrätt mot ytan som har betydelse kan då volymen dV tecknas
där en molekyl med theta som infallsvinkel skall hinna flytta sig från ena S-lagret till andra S-lagret på tiden dt.
n betecknar antalet partiklar per volymsenhet, om man vill ta med antalet partiklar per volymsenhet, per hastighetsenhet och per vinkelenhet kan man teckna n som
då har man differentialen av molekyltätheten som funktion av hastighetsförändringen och infallsvinkelnsförändringen.
Antalet molekyler inom theta+d_theta och v+dv är då:
då har vi alltså antalet molekyler inom volymen V+dV enligt ovan.
Impulsändringen hos en molekyl med infallsvinkeln theta normalt mot ytan S kan sedan tecknas
så att alla molekylers impulser inom molekylantalet N+dN eller P+dP då kan tecknas som
eller
Om vi tecknar
dvs vi inser att nämnaren är hela rymdvinkeln och täljaren är ringarean hos rymdvinkelsegmentet som alltså är en kon med höjden d_theta och horisontella radien sin(theta) samt omkretsen 2PiSin(theta), då kan vi byta ut täljaren i vänsterledet mot
så att vi i vårt uttryck för dP får
Sen har vi att
vilket gör att dt kan "förkortas bort" och eftersom trycket definieras som
så kan S förkortas bort och vi har
Detta borde stämma även om jag är osäker på varför det blir cos^2 ty vi har ju redan inledningsvis bestämt att theta är infallsvinkeln gentemot normalen hos de infallande molekylerna, kan man då inte teckna en partikels impulsändring som P=2mv bara?
Men kanske beräkningen av den infinitesimala volymen och dess partiklars infallsvinklar är skild från impulsändringarnas infallsvinklar, just nu betraktas dom som oberoende dvs cos(theta) för vardera fall men jag är skeptisk.
Okej, vi behöver nu integrera upp trycket och vi har
vilket eventuellt är lika med
där
minst måste integreras och då är frågan inom vilka gränser?
Vi vet ju att theta är definierad som en infallsvinkel (relativt normalen till ytan) och i vår infinitesimala volym definieras infallsvinklarna mellan noll och 90 grader, detta är även vinkelspannet för en rymdvinkel över halva rummet ty konan kan bara gå från noll grader till 90 grader, vinklar över 90 grader ger ju en inverterad kon, dvs
Detta är ÄNTLIGEN rätt!
Man kan således konstatera att jag fått fram att
eller
Observera att hastighet är en vektor dvs det finns både positiv och negativ hastighet.
n(v) är en klockformad fördelningsfunktion som asymptotiskt går mot noll, därför kan den integreras med oändligheten som gränser.
Trycket är alltså 2/3 gånger totala antalet molekylers enskilda kinetiska energitäthet eller helt enkelt den totala kinetiska energitätheten ty
där N är antalet molekyler, V är volymen och Ekp står för varje molekyls kinetiska energi.
Eftersom jag har lite svårt att greppa det här med kinetisk energitäthet kommer här ett försök till förenkling:
dvs om varje molekyls kinetiska energi summeras upp och delas med volymen så fås trycket.
Det är dock rimligt att anta att ju fler molekyler per volymsenhet vi har desto större tryck har vi men vi har faktiskt inte kommit så långt i vårt härledande, dessutom funderar jag på varför man nyttjar sfärisk inneslutning av partiklarna när man härleder uttrycken, för är sfärisk inneslutning verkligen så relevant i praktiken?
Numeriskt exempel
[redigera]Rymdvinkel definieras som 4pi*sin^2(alfa/2) där alfa är halva vinkeln hos konens öppning, rymdvinkeln kan alltså max bli 4pi (rundstrålande, alfa=pi) men om det bara "strålas" i halva rymden (alfa=pi/2) så blir rymdvinkeln 2pi.
Kapitel V, Kinetiska energin och tryckets relation till temperaturen
[redigera]Ideala (obs) gaslagen säger oss att:
där n_m är molmängden och R allmänna gaskonstanten.
Men ovan hade vi ju att
som multiplicerat med V ger
dvs
och
där Na är Avogadros tal, så vi har
R/Na har sedan en egen konstant dvs k eller Boltzmans konstant vilket ger
och eftersom
så blir
Ekvation 5.7 är extra intressant för man kan visa att den kinetiska energin är uppdelad i tre komponenter där man har 1/2kT per komponent eller frihetsgrad, det är bara att tänka sig ett ortogonalt rum med tre dimensioner, extra intressant är också att den kinetiska energin är oberoende av massan dvs små molekyler rör sig snabbare än stora molekyler, deras kvadratiska hastighet är omvänt linjärt med massan, mv^2 är alltså konstant vid konstant N (pV är således konstant...humm)
Så om man har en behållare i, säg rumstemperatur, med molekyler av en viss molekylmassa och sen byter ut molekylerna mot en helt annan molekylmassa, som inte ens behöver vara av samma koncentration/täthet, så kommer linjärt sett endast molekylernas kvadratiska hastighet ändras och då till "förmån" för de lätta molekylerna.
Intressant.
Sen att trycket har att göra med koncentrationen/tätheten (nEkp) det är lite en annan sak för intressantast är vad som sker med själva molekylerna.
Numeriskt exempel
[redigera]Man kan visa att för fusion av en elektron med en proton så krävs det en hiskelig temperatur hos elektronen (10^10K) ty den kinetiska energin enligt Ek=mv^2/2=kT behöver vara på c.a 1MeV vilket innebär en hastighet hos elektronen på 600 miljoner m/s vilket alltså är över ljushastigheten på 300 miljoner m/s fast här kommer speciella relativitetsteorin (SR) in som reducerar hastigheten men helt klart behöver elektronen färdas med mycket hög (termisk) hastighet.
Fritänkande, ifrågasättande av ideala gaslagens giltighet
[redigera]Denna ekvation
säger att
men den är bara sann om dT<<273K, denna ekvation kallas också för Boyle's ekvation och är "sann" för en isoterm.
Men om dT inte är mycket mindre än 273K faller ju detta och hur ofta är temperaturvariationerna kring rumstemperatur?
En annan sak som är tveksam är gamma vs beta, gamma är nyttjat för volymens temperaturberoende och beta för tryckets temperaturberoende, dessa proportionalitetskonstanter sägs vara lika och det kanske dom är också men jag känner att det i så fall mest gäller temperaturer som inte avviker för mycket från 273K, vid flera tusen Kelvin är det inte alls lika säkert samma samband gäller.
Fast vad betyder det här egentligen?
Små avvikelser från 273K gör uppenbarligen så att PV=konst gäller, men vad är detta för avvikelser? Temperaturändringarna är ju netto noll för det är så vi räknat ut det, kanske man snarare skulle tolka Boyle's lag som sådan att så länge temperaturändringen under själva processen är liten i förhållande till 273K så gäller lagen?
Men varför skulle temperaturändringen, som vi är intresserad av, alltid vara så liten och hålla sig kring 273K?
Jag tycker att Boyle's lag inte gäller generellt utan bara i undantagsfall och om Boyle's lag inte gäller då gäller generellt sett inte allmänna gaslagen heller samtidigt som det är utifrån allmänna gaslagen man härlett mycket, först visar jag allmänna gaslagen:
och vi har enligt ovan att
sen har vi efter multiplikation med V
dvs
och ur detta faller (se ovan)
och
Men i genereringen av ekvationerna har vi nyttjat allmänna gaslagen, som inte verkar så allmän längre.
Igår fick jag användning för den sista ekvationen, när jag skulle lägga in en pilsner i frysen så gick dörren osedvanligt lätt upp samtidigt som jag såg en massa is, jag ville inte avfrosta för jag hade precis köpt 3kg ICA Basic pyttipanna så jag fick fatt i en stekspade av trä och körde mot isen likt isskrapa, lyckades få bort det mesta samtidigt som "suget" i dörren återkom, när jag sedan tänkte på detta sug och varför det uppstod kom jag så enkelt på att det ju är undertryck i skåpet pga att det enda som skiljer utanför och innanför är typ 40 grader vilket skapar ett undertryck, fysik är faktiskt mycket roligt :)
Fritänkande, tryck utan väggar
[redigera]Observerade en påse på ICA häromdan.
Den var först rätt luftfylld, sen tryckte personen ihop påsen och den blev mindre luftfylld.
Vad var det som hände?
Först måste vi inse att trycket inuti påsen är lika stort som trycket utanför, sen kan vi anta att tempereturen före ihoptryckandet och efter ihoptryckandet är samma, då gäller
där alltså både p och T är samma, vilket gör att tätheten (n) också måste vara konstant.
Detta är egentligen inte så akademiskt för vi har ju släppt ut en massa luftmolekyler samtidigt som volymen har minskat dvs tätheten är samma.
Blåser vi in fler luftmolekyler så ökar volymen av samma anledning dvs N/V är konstant eller tätheten är samma, dvs Volymen följer mängden.
Jag tycker det är lite svårt att greppa den här enkla biten, kanske den konstanta koncentrationen av molekyler är ett enklare betraktelsesätt?
Vi har ju liksom inget annat än luft där inne dvs samma typ av luft som utanför, så varför skulle då koncentrationen vara annorlunda?
En annan tanke jag har är att när nu tryck definieras via impulsändringar mot väggar, vad är då tryck utan väggar?
Säg att vi har en kubikmil med luft, sen tittar vi i en kubikdecimeter med luft inuti denna kubikmil.
Vi har då inga väggar för tiden för att molekyler ska återkomma vid träffar från kubikmilens väggar är så lång att vi kan försumma deras påverkan.
Vad är det då som bestämmer trycket?
Molekyler kan träffa varandra och på så sätt få en impulsändring men vad jag förstått räknas det inte med sånt, dessutom är molekylers tvärsnittsareor mycket små.
Men om man inför en liten testarea i form av en "spade" så kan man mäta trycket.
Detta påminner lite om Heisenbergs osäkerhetsrelation för trycket går tydligen bara att mäta om man inför en störning, utan spaden så går trycket ej att mäta.
Jag är samtidigt lite benägen att tro att trycket, utan väggar, visst beror på krockar mellan molekyler och att det är det som i själva verket är trycket.
För trycket kan inte bara finnas där när spaden finns där, trycket finns ju liksom där ändå.
Och trycket är faktiskt definierat (se ovan) utifrån impulsändringar dvs det MÅSTE finnas impulsändringar för att det skall finnas nåt tryck OCH den enda gången det kan finnas det utan väggar är mellan molekyler, annars finns det inget tryck.
Vi har ovan mött flera intressanta uttryck för trycket och ett av dom mer intressanta är att trycket är proportionellt mot kinetiska energitätheten (dvs antalet molekyler gånger deras enskilda kinetiska energi delat med volymen):
Sen har vi fått lära oss att den enskilda molekylens kinetiska energitäthet står i direkt proportion mot temperaturen:
Dvs trycket står i direkt proportion mot molekyltätheten och temperaturen:
vilket är samma formel vi började detta kapitel med att använda.
Till vardags verkar det trivialt, temperaturen efter är lika med temperaturen före (långsamma processer), så för olika "påsars" volym är koncentrationen (n) samma.
Det ska dock påpekas att de flesta av ovan ekvationer utgår från den Ideala Gaslagen, vilket är en MYCKET förenklad variant av verkligheten, jag ska ifrågasätta detta sätt att se på gaser i nästa kapitel.
Det är också intressant att även om vi är vana vid att enheten på tryck är N/m^2 så är den också i gasers fall J/m^3 dvs en mängd gas har helt enkelt (kinetisk) energi, detta tycker jag är en mycket diffus definition men faktum är att tryck är kinetisk energi per volymsenhet dvs inom en volymsenhet finns en mängd Joule där denna Joule har att göra med hur snabbt partiklarna rör sig.
Fritänkande, partiklars olika hastighet
[redigera]Jag börjar det här kapitlet med att förklara en liten aha-upplevelse, jag har alltid tyckt att täthetsbereppet är diffust sen räknade jag mha
där
ut att
dvs
där rho helt enkelt är densiteten.
Mycket intressant tycker jag för
ihop med
säger att v^2 är konstant under en isoterm process som gaser i vardagen i regel är dvs trycket har BARA med densiteten hos gasen att göra och densiteten bestäms av vilket yttre tryck vi tillför dvs en löst upplåst ballong har garanterat samma tryck inne som ute och detta pga att just densiteten är samma ty vi har ju samma luft (och temperatur) både innanför och utanför ballongen, skulle vi dock applicera ett yttre tryck modell ballong i en låda och pressa ihop lådans väggar, då skulle helt enkelt densiteten hos gasen öka ty volymen minskar ju samtidigt som mängden partiklar är precis samma.
Så man kan tänka sig att gasmassor som befinner sig i olika situationer men med samma temperatur att deras tryck är enbart beroende av deras densitet.
Ekv 9.6 säger samtidigt att den kinetiska energin per partikel är en halv kT/frihetsgrad dvs 3/2kT och ihop med ekv 9.5 kan man skriva
som tydligt visar på hur kvadratiska medelhastigheten är beroende av massa och temperatur.
När man tittar på den kinetiska energin (ekv 5.26) och jämför med den kinetiska energins temperaturberoende (ekv 5.27) så ser man tydligt hur temperatur hänger ihop med kvadratiska medelhastigheten OCH partiklarnas massa.
Om temperaturen stiger så ökar uppenbarligen partiklarnas kinetiska energi, partiklarnas kvadratiska medelhastighet ökar då också (naturligtvis) men vad som inte är så glasklart är kanske att den kvadratiska medelhastigheten hos tyngre partiklar ändras mindre än hos lättare partiklar.
Kort och gott, om temperaturen stiger så ökar hastigheten hos tyngre partiklar mindre än hos lättare vilket i sig är mycket fascinerande.
Fritänkande, uppskattat tryck hos luft
[redigera]Ekvation
är kortfattad men n är onekligen lite diffus så om man istället tecknar
så blir den mer begriplig.
Man kan se det som så att partikel-tätheten (n) i första fallet kan tecknas
där man rent praktiskt kan räkna ut n om man har temperaturen och trycket.
Men om man inte har trycket eller temperaturen samtidigt som man vet vilken typ av gas man har och därmed dess mass-densitet (rho) och molkylvikt (m) så är det lättare att räkna ut tryck eller temperatur enligt ekv 5.30.
För säg att du har temperaturen och du vet vilken typ av gas du har, vilket tryck har du då?
Ekv 10.1 säger bara förhållandet mellan temperatur och tryck när partikel-densiteten (n) är känd, det intressanta är egentligen att rho/m är precis samma som n men rho/m är lättare att förstå och beräkna.
Vi kan göra ett försök att uppskatta molekyl-densiteten (N/V=n) hos luft vid 20C (293K), om vi nyttjar ekv 5.31 så får vi
dvs så många luftmolekyler finns det inom en kubikmeter luft under normalt lufttryck och rumstemperatur.
Om vi istället räknar på mass-densitet och massan för en molekyl så får vi att trycket blir
där mp är massan för en proton och atomnumret för syre är 16 och atomnumret för kväve är 14 samtidigt som fördelningen i luft är 80% kväve.
Massan för en kubikmeter luft tror jag sedan är 1kg.
Sätter vi in detta tillsammans med rumstemperaturen (293K) så får vi normalt lufttryck som:
Rätt nära 101,3kPa faktiskt :)
Notering: Densiteten för luft vid 273K (0 grader Celsius) och 1atm tryck är snarare 1,293kg/m^3 vilket gör att mitt uppskattade tryck går upp till ungefär 273/293*1,293/1*84kPa=101,2kPa som är att jämföra med 101,3kPa dvs 1atm och normalt lufttryck.
Kapitel VI, Härledning av stöttal och fria medelvägslängden
[redigera]Med tanke på hur ekv 9.1 härleds så verkar det som om det inte kan finnas tryck utan impuls-ändringar, detta betyder att partiklarna måste krocka med varandra eller med nån slags vägg(ar).
Dvs finns det inga väggar, måste dom krocka med varandra.
Jag har nämnt att ett sätt att beräkna trycket är att nyttja det faktum som ekv 9.1 ger dvs att tryck är kinetisk energitäthet (härlett från impuls-ändringar, dock).
Personligen skulle jag föredra att kalkylera tryck utan väggar som en funktion av partikel-kollisioner med antagandet att det verkligen är mängder med kollisioner som pågår i en gas av "normal" partikeldensitet.
Låt oss försöka kalkylera stöttalet, n_s, som ger antalet kollisioner per tids och ytenhet:
Den infinitesimala volymen är
där theta är kollisionsvinkeln relativt normalen hos ytan S
Antalet partiklar inom denna volym är
men det har ovan visats att genom att jämföra ringarean hos rymdvinkelsegmentet med hela rymdens vinkel så är denna ekvation lika med
Så att antalet molekyler inom denna volym är
och delar man detta med dt och S så får man antalet partiklar per tids och ytenhet, dvs
där
där <v> är medelhastigheten och det kan även visas att vinkel-integralen blir 1/4 så att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet blir:
Låt oss nu försöka kalkylera fria medelvägslängden för en molekyl i en gas, volymen den upptar medans den "flyger" är
Alla molekyler inom diametern 2r+d (där 2d är cc-avståndet) berörs då av den första molekylen som innebär en volym
då är antalet molekyler inom dV som riskerar krock per tidsenhet
Sen har jag fått lära mig att detta skall korrigeras med sqrt(2) pga Maxwell, så vi gör det också
Eftersom detta är ett antal så blir det en kollisionssannolikhet per molekyl om man delar med antalet molekyler, antalet partiklar som upplever en kollision blir alltså
således är antalet kollisioner som medelvärde (pga sannolikheten)
Fria medelvägslängden är sedan medelhastigheten delat med ovanstående kollisionssannolikhet vilket beror på att ekv 11.10 är definierad per tidsenhet.
Nu har vi två ekvationer: 6.7 & 6.11.
Ekv 6.7 säger oss att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet är
så om vi känner n och v så kan vi räkna ut antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet
För vanlig luft i rumstemperatur kan man räkna ut n enligt
och använder man p=1,013E5 och T=293K får man E25 nånstans.
Hastigheten kan då räknas ut genom
eller
där m kan uppskattas som
där proportionerna för kväve och syre i luft är medtagna samtidigt som massan för protoner (m_p) är nära massan för neutroner (m_n), uppskattad massa blir 4,8E-26kg och därmed blir uppskattad hastighet E3m/s, detta ger ungefär stöttalet E28 per ytenhet och tidsenhet.
Så hur bred är en proton?
Jag har aldrig hört talas om den datan i en Physics Handbook men låt oss uppskatta:
Låt oss säga att densiteten motsvarar nåt nånstans i mitten av periodiska systemet, säg koppar, densiteten hos koppar är 900kg/m^3 vilket vi avrundar till 1ton/m^3.
Vi vet sen att protonen väger E-27 kg och dess volym är 4pi/3R^3~piR^3~R^3, då är
dvs
som ger R~E-10, dvs en tvärsnittsarea på runt E-20, multiplicerar vi ekv. 6.15 med detta så får vi ns=E7 som alltså är antalet partikel-partikel kollisioner per sekund i vanlig luft.
Notering: Denna uppskattning är fullständigt galen, radien hos en proton är 5 magnituder mindre, se nedan.
Fria medelvägslängden för luft är sedan
och om man använder d som approximativt antal protoner gånger R (i.e E-15), n=2,5E25 och (14+16) "protoner" hos luft så blir det 2,5m luftmolekylerna hinner färdas innan dom kolliderar (?, detta är korrigerat, tidigare hade jag 1um...).
Med andra ord sker det mängder med kollisioner i luft (och troligtvis även andra gaser med hyfsad täthet) dvs man kan i praktiken inte räkna med nåt sånt som Dalton's lag dvs
ty man kan uppenbarligen inte betrakta gaserna som isolerade och nyttjandes av hela volymen var för sig.
Radien hos atomkärnan är av storleksordningen E-15 och generellt kan radien pga masstalet tecknas
där A är masstalet (antalet protoner plus antalet neutroner).
Jag går lite händelserna i förväg och tecknar nåt skojigt efter att jag skrev ovan, man kan se tätheten av en atomkärna genom att betrakta
dvs tätheten är konstant och oberoende av antalet nukleoner (A) och man kallar detta för "kärnmateria" ty alla grundämnens kärnor är lika täta, dom väger alltså lika mycket per volymsenhet, luft har t.ex tätheten ~E25 och vatten har tätheten ~E28, kärnmateria är alltså hela 17 magnituder tätare än vatten!
Jag tycker detta är sanslöst fascinerande!
Vi går alltså omkring i en värld där precis alla atomkärnor har samma täthet, saker består alltså inte ens av grundämnen eller molekyler utan av kärnmateria, något förenklat :)
Jag känner för att elaborera lite till, densiteten hos ett grundämne kan skrivas
där A är masstalet och m_p är protonmassan som neutronmassan har avrundats till, dvs
så om något har densiteten rho så är det bara att dela med den molekylära massan så fås tätheten, till exempel kan vi återigen knyta ann till vatten och ungefär få
ty vatten innehåller ungefär (2*1+2*8) protonmassor per molekyl vilket bara ger en magnituds skillnad jämfört med en proton, dvs E-26.
Här ser man att vi har kvoten E45-E29=E16 vad beträffar kärnmaterians täthet jämfört med vattens täthet, nu är det emellertid extra intressant att dela dessa sexton i tre varvid vi får ungefär E5 som man pga r^3 kan relatera till hur pass långt ut från kärnan som elektronerna befinner sig där det är känt att Bohr-radien för den ensamma elektronen runt Väte är på typ 1Å och om vi från ovan accepterar E-15 som kärnradie så är kvoten elektronradie/kärnradie ungefär E5 som alltså upphöjt till tre blir E15 vilket är nära dom E16 vi redan räknat med.
Numeriskt exempel
[redigera]Densiteten hos en proton kan uppskattas till hiskeliga 10^18kg/m^3 liksom alla nukleoner har som densitet, jämför till exempel med guld som har en densitet på 10^4kg/m^3 bara. 10^18kg/m^3 ändras inte med atomnumret, alla grundämnen har således samma densitet. Man kallar detta för densiteten hos kärnmateria, all materia är alltså uppbyggda av kärnmateria (protoner/neutroner).
Kapitel VII, Molekylär diffusion
[redigera]Föreställ Er en rektangulär kub där mitten på längden motsvarar x, hitom x har vi sedan fria medelvägslängden dvs x-l, på andra sidan x har vi på samma sätt x+l, kortsidan av den rektangulära kuben antar vi sedan har arean S, en infinitesimal volym byggs då upp av Svdt i x-riktningen.
Vi antar sedan följande:
1) Alla molekyler är "medelmolekyler" med hastigheten <v>
2) Alla molekyler går sträckan l mellan kollisioner
3) Molekylerna är fria att röra sig i positiv och negativ x-, y- och z-led.
Vad händer vid tvärsnittet i x?
1/6 av alla molekyler som vid en tidpunkt t+dt lämnar volymselementet Svdt (vid x-l) passerar i tidsintervallet t+tao, t+dt+tao genom tvärsnittet vid x, detta antal är
På samma sätt passerar
som lämnade motsvarande volymselement Svdt vid x+l.
På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar således nettoantalet
i positiva x-riktningen.
Men
och
dvs
Nettotransporten genom tvärsnttet vid x - uttryckt i antal molekyler per tids och ytenhet - blir alltså (jfr 7.3)
Vi har alltså en partikelflux enligt
där
som kallas diffusionskoefficienten.
Numeriskt exempel
[redigera]Diffusionskonstanten är alltså 1/3lv så om temperaturen ger en termisk energi på 3/2kT och längden är 1dm så blir D vid 300K 3,7*10^3 m^2/s för elektroner.
Kapitel VIII, Impuls-diffusion (viskositet=inre friktion)
[redigera]Vi låter gasen strömma i x-led, strömningslamellernas ytnormal definierar då y-axeln.
1/6 av molekylerna som i tidsintervallet (t, t+dt) lämnar volymselementet Svdt vid y-l passerar i tidsintervallet (t+tau, t+dt+tau) genom tvärsnittet vid y, antalet är
pss passerar
uppifrån.
Netto i positiva y-riktningen är
men denna gång är molekyldensiteten konstant dvs
Vi har således inget nettoflöde av molekyler i y-led.
Men hastigheten
(strömningshastigheten) beror av y, varför vi istället för partikeltransporten är intresserade av impulstransporten genom S vid y.
Molekylerna från y-l medför impulsen
och molekylerna från y+l medför impulsen
Nettotransport av impuls genom S (vid y) på tiden dt är då
med
och
har vi
Vi har alltså en impulstransport per tidsenhet genom ytan S vid y enligt
alltså
Numeriskt exempel
[redigera]Om hastigheten hos en skiva i vatten ändras 1m/s och höjden från botten är 1m samt densiteten rho är 1000kg/m^3 och vi har en yta hos skivan på 1m^2 och en diffusionskonstant (D) på 1/3lv så fås en viskositetkraft på 333N som kan övrsättas till ungefär 30kg dvs skivan går knappt att rubba!
Kapitel IX, Termisk diffusion
[redigera]På samma sätt som vid molekylär diffusion så har vi att:
På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar nettoantalet
i positiva x-riktningen.
Nu är dock
men
är ej lika med
ty
och
som ger att v- ej är lika med v+ ty T- är inte lika med T+ (alpha är antalet frihetsgrader dvs >=3).
Vi är nu intresserade av den värmemängd som transporteras genom ytan S vid x:
från x-l, från volymen S<v_->dt, passeras S vid x av
molekyler, vardera med energin
Total passeras S vid x av energin
vilket ger
eller
med
med
kan vi alternativt skriva
Här är jag osäker för stora Cv är
där R är allmänna gaskonstanten och således relevant för gaser.
Lilla cv definieras som
och är värmekapacitiviteten för solida material
För gaser definieras stora Cv som
där n_m är mängden gas i mol och dQ pss den värmemängd som måste tillföras för att temperaturen skall öka.
I vilket fall definierar min lärare gamma som
Där den sista likheten för mig är något diffus.
Idag är den mindre diffus, man får dock ta till termodynamikens första huvudsats (som kommer senare i kompendiet) dvs
där dQ är tillförd vämemängd, dU ändringen av den inre energin och dW arbetet gasen uträttar (i just det här fallet är dV noll så inget arbete uträttas).
Den inre energin U kan skrivas
där vi tillfälligt struntar i sista liknelsen, 9.16 och 9.19 ger sedan att
därmed
dvs
Redan i allra första ledet ser man dock att lilla cv är stora n_m*Cv/m (jfr 9.17), mp står för partikelmassan ty lilla cv förutsätter egentligen en mängd partiklar modell solida material medans Ekp är en enskild partikel eller molekyls kinetiska energi.
Om vi tar oss en ny titt på 9.18 som jag repeterar
Så har vi från 9.23 att
och ekvationen går ut.
Indexeringen V hos 9.16 och 9.17 innebär att volymen hålls konstant dvs dV=0 och om dV=0 är arbetet dW=0.
Numeriskt exempel
[redigera]3/2kT termisk energi för en enkelatomig gas med bara elektroner vid 300K innebär en hastighet hos elektronerna på knappt 100000m/s, luftmolekyler har sedan hastigheten 300m/s, c.a (formel för enkelatomig gas har då används).
Fritänkande, förenklad syn på diffusion
[redigera]Föreställ er en rektangulär låda med ett membran på mitten som molekylerna fritt kan penetrera, då kan vi säga:
Molekylär diffusion: Om koncentrationen till vänster om membranet är större än koncentrationen till höger om membranet så kommer stöttalet
där n är molekylkoncentrationen och v den termiska hastigheten göra så att tätheten på höger sida om membranet till slut blir lika med tätheten på vänster sida.
Impuls-diffusion: Om det förutom "kaotisk" termisk hastighet finns en hastighetskomponent riktad längs med ett snitt och denna hastighetskomponent är olika över respektive under ett gränssnitt så bildas en nettokraft ty
detta kallas också viskositet.
Termisk diffusion: Här har molekylerna olika termisk hastighet och om v1, [T1], n1 gäller för första kammaren och v2, [T2], n1 för andra kammaren har vi samma täthet men olika termisk hastighet dvs nu handlar det alltså om skillnader i rörelseenergi och olika rörelseenergi kommer att utjämna sig liksom värmeenergi flödar från varmt till kallt (och inte tvärtom).
Kapitel X, Termodynamikens första huvudsats
[redigera]Termodynamikens första huvudsats lyder:
där dQ är tillförd värmemängd, dU ändringen av den interna energin och dW av gasen utfört arbete.
Ekvation 16.1 kan förenklas till
vilket enkelt inses om man har en gas i en cylinder och kolven med arean S rör sig dvs arbetet blir då Fdx vilket är samma som pSdx=pdV.
Inre energin är sen
där Ekp är den enskilda partikelns rörelseenergi, nm är molmängden, NA är avogadros tal, alfa är antalet frihetsgrader (tre för enkelatomiga gaser), R är allmänna gaskonstanten, T är temperaturen och Cv är specifika värmet.
Dvs den inre energin hos en konstant mängd molekyler är bara beroende av temperaturen.
Sen finns det nåt som för solida element kallas värmekapacitiviteten och kan tecknas
som för gaser istället kan tecknas
och
där Cv innebär att volymen hålls konstant och Cp innebär att trycket hålls konstant.
Numeriskt exempel
[redigera]Cp/Cv för luft är 1,4 enligt Physics Handbook.
Kapitel XI, Studier av sambandet mellan Cp och Cv
[redigera]Betrakta en gasbehållare vars "lock" utgörs av en friktionsfritt rörlig kolv och om trycket är konstant så ger detta en kraft F=pS på kolven, en förskjutning dx av kolven innebär sedan att gasen uträttar arbetet:
Första huvudsatsen
och sambandet dW=pdV ger
eller
och eftersom vi känner dQ/dT vid konstant tryck så innebär detta
och eftersom vi sedan förut känner U så kan vi också skriva
differentiering av allmänna gasekvationen
ger oss att
där dp=0 för konstant tryck, så vi får att ekv 11.6 blir
dvs
som brukar skrivas om enligt
som alltså fått en egen konstant, gamma.
Vi vet sedan tidigare att
så om en gas har 3 frihetsgrader (enatomig) så blir
vilket är vad man brukar räkna med men en tvåatomig gas har dessutom två rotationer och därmed fem frihetsgrader vilket bara nämns som kuriosa.
Numeriskt exempel
[redigera]R=8,31 så Cv för en enkelatomig gas med tre frihetsgrader (dvs alfa=3) är ungefär 13 och Cp är då ungefär 21, för en tvåatomig gas som luft (med fem frihetsgrader dvs alfa=5) så är Cv istället ungefär 21 och Cp blir då ungefär 29 varvid Cp/Cv blir 1,4.
Kapitel XII, Termiska delprocesser
[redigera]Det finns fyra olika delprocesser och dessa är:
1) Isokor, konstant volym (dV=0)
2) Isobar, konstant tryck (dp=0)
3) Isoterm, konstant temperatur (dT=0)
4) Adiabat, vanligtvis snabba förlopp där inget värmeutbyte sker med omgivningen (dQ=0)
Vi repeterar av lämplighetsskäl första huvusatsen:
Med hjälp av denna kan man teckna en isokor som
eller
vilket ger att ändringen av den inre energin blir lika med
Eftersom dV är noll så uträttar gasen inget arbete men förändringen av den inre energin
och därmed gasens termiska hastighet är proportinell mot temperaturförändringen.
Nästa process är en isobar, här är alltså dp=0 dvs vi får
här är arbetet gasen uträttar pdV enligt
som kan skrivas om enligt
dvs
med andra ord uträttar gasen arbetet
vid en isobar process.
Vid en isoterm process gäller (som alltid)
Denna gången är dock dT=0 dvs dU=0, således gäller istället
eller
dvs
som är arbetet gasen uträttar (lite skumt hur det blir C_v här för det är varken konstant tryck eller volym, bara konstant temperatur).
Slutligen har vi en adiabatisk process där inga parametrar är fixerad förutom det faktum att inget värmeutbyte sker med omgivningen dvs dQ=0, i fallet adiabatisk process får vi alltså först
som iom att dQ=0 kan skrivas om enligt
det här kan som vanligt skrivas om enligt
och eftersom
så får vi att
om vi sen differentierar allmänna gaslagen får vi
om vi löser ut dT så får vi
som insatt i 12.19 blir
som kan skrivas om enligt
eller
dvs
eller
så att
som ger att
dvs
eller
då fås
som kan skrivas om enligt
dvs
V.S.V
Numeriska exempel
[redigera]Tidigt i detta avsnitt sägs det att förändringen av den inre energin (dU) är lika med antal mol (n_m) gånger Cv gånger färändringen i temperatur (dT), om då temperaturen ökar med 100K och man har 1 mol atomer då ökar inre energin 1300J för en enkelatomig gas, för konstant volym (aka isokor) gäller dV=0 och då blir tillförd värmemängd (dQ) lika med dU.
Kapitel XIII, Carnotprocessen, kretsprocessen med den högsta verkningsgraden
[redigera]Carnotprocessen består av fyra delprocesser.
Först sker en isoterm expansion, sen sker en adiabatisk expansion, sen sker en isoterm kompression och slutligen sker en adiabatisk kompression.
Vi har alltså fyra delprocesser och de är:
1) Isoterm expansion dvs från T1, V1, p1 till T1, V2, p2, tillförd värmemängd=Q1, dU=0
2) Adiabatisk expansion dvs från T1, V2, p2 till T2, V3, p3, dQ=0
3) Isotem kompression dvs från T2, V3, p3 till T2, V4, p4, avgiven värmemängd=Q2, dU=0
4) Adiabatisk kompression dvs från T2, V4, p4 till T1, V1, p1, dQ=0
Allmänt gäller
dvs termodynamikens första huvudsats så:
För 1 gäller (dT=dU=0)
och genom att använda allmänna gaslagen
och lösa ut p fås
som uppintegrerat innebär
vilket är den värmemängd som upptas vid första delprocessen/isotermen.
För 2 gäller (dQ=0)
dvs
som uppintegrerat blir
som alltså är arbetet gasen utför.
för 3 gäller samma formler som för 1 dvs
och för 4 gäller samma formler som för 2 dvs
Totala arbetet blir sedan en summa av allt det här, där W1 och W2 tar ut varandra och arbetet blir en differens mellan Q1 och Q2 ty V3<V2 och V2>V1 vilket antyder en differens.
Om man definierar Q1 som tillförd värmemängd enligt
och bortförd värmemängd som Q2 dvs
då kan man definiera en verkningsgrad som
Ekvationerna för Q1 och Q2 är dock lite väl olika för att detta skall bli "snyggt"
För isosotemerna så kan vi emellertid skriva:
och
sen kan vi skriva adiabaterna enligt
och
och om vi multiplicerar alla vänsterled med varandra och sedan även alla högerled så fås
dvs
eller
dvs
eller
Och om vi nu tittar på Q1 och Q2 igen dvs
och
så kan vi alltså byta ut V4/V3 mot V2/V1 vilket ger Q2 som
Vilket ger verkningsgraden
eller
Denna formel kan sedan skrivas om enligt
där vi kan nyttja
eller
Man skall inte stirra sig blind på 19.26 vad gäller tecknet hos Q2, det viktiga är att Q1 och Q2 faktiskt har olika tecken ty det är ganska enkelt att inse att det är skillnaden mellan tillförd och avförd värmemängd som gäller.
Numeriskt exempel
[redigera]För första delprocessen (isoterm dvs dT=0) gäller att förändringen i värmemängd (dQ) motsvaras av arbetet gasen utför (pdV) så om trycket är 1atm och vi har en ändring (dV) av volym på 1dm^3 så tillförs en värmemängd på 100J.
Del II, VÅGRÖRELSELÄRA
[redigera]Vågrörelselära i samband med fusionsforskning kan tyckas lite onödigt men det finns mycket som oscillerar i en Tokamak, vi har till exempel laddade partiklar som girerar runt magnetfältet på ett oscillerande sätt, ett annat inte så uppenbart fall är när hela plasmat oscillerar i olika mer eller mindre instabila moder, jag vet från skolan att detta faktiskt är ett av dom största problemen med att försöka innesluta ett plasma mha magnetfält och att då förstå hur oscillationer bildas och hur man kan dämpa dom är mycket användbar kunskap.
Kapitel XIV, Svängningsrörelse
[redigera]Föreställ Er att Ni har en viktlös fjäder fastspänd i en vägg och att den kan röra sig i s-led (där s står för störning) och C är den så kallade fjäderkonstanten, då fås
dvs den återförande kraften är proportionerlig mod dels fjäderkonstanten C dels hur mycket man spänner fjädern från dess jämviktsläge dvs s=0.
En lösning till det här är
där phi är skild från noll om vi avser teckna rörelsen från en position skilt från s=0 vilket vi inte avser, phi är alltså noll.
Vi anstränger oss nu med att testa om lösningen stämmer:
och
detta leder till att 14.1 blir
där A och sin(wt) kan förkortas bort och kvar får vi
dvs
som är den (vinkel)frekvens fjädern ger när man spänner fjädern och släpper.
Sen tecknar vi rörelseenergin
dvs
och den potentiella energin (som alltid är arbetet motriktad kraften därav minustecknet)
och slutligen är den totala energin summan av Ek och Ep enligt
Eftersom jag är ingenjör inom elektroteknik så kan man dra en mycket intressant parallell till 14.1, om vi börjar med att kopiera ner den igen så har vi att
sen kikar vi på en ren LC-krets där L och C är i parallell.
Om vi då tecknar diff-ekavationen så kommer den av
och
och om man stoppar in 14.13 i 14.14 så fås
och om vi jämför med 14.12 så kan man kanske se att LC står för nån slags elektrisk massa samtidigt som den elektriska fjäderkonstanten är 1.
Jämför man sen med 14.7 så ser man att
där 1:an alltså kanske kan tolkas som fjäderkonstanten och LC som massan.
Annars verkar man alltså allmänt kunna teckna en svängning som
där minustecknet tycks stå för att det just finns en återfjädrande kraft och delar av w^2 kan då få vara fjäderkonstant, andra delar kan få vara massa.
Om vi tittar på differentialekvationen 14.1 igen och repeterar
samt tar till lite komplexa trick som
och deriverar detta enligt
samt
så att 14.18 blir
där det bara är att förkorta bort s varvid vi får
och detta på ett nästan löjligt enkelt sätt.
Man ska dock komma ihåg att detta bara fungerar för oscillerande system som jag brukar kalla "statoinära", det fungerar inte om man vill analysera saker i tidsplanet men ofta handlar det om svängningar och beräkning av vinkelfrekvenser och då tycker jag att denna komplexa metod är överlägsen, en del av överlägsenheten har att göra med att det är enkelt att visualisera saker, jag skall ta ett par exempel.
Säg att ni har en svajande bandspelare och inbillar er att ni vill kunna kalibrera bort svajet och börjar med att spela in en stabil ton för att sedan analysera resultatet, om man då föreställer sig att man har en enhetscirkel i det komplexa talplanet där tonen symboliseras med w och svajet symboliseras med w_s, eftersom störningen är längs periferin av cirkeln där wt löper moturs så ser man enkelt att den resulterande summan blir w+w_s, i teorin är det sedan "bara" att subtrahera bort w_s men detta låter sig inte göras så lätt analogt, åtgärden kräver FFT och DSP.
Om man sedan tittar på AM-modulation och visualiserar vad som händer i z-planet så är det ju så att amplituden moduleras dvs radien på cirkeln moduleras och när man förstår det kan man enkelt teckna vad som händer när meddelandet är en enkel ton med amplituden m
där c står för carrier och m för message.
Detta kan sedan förenklas till
där man direkt ser att man har en carrier-component och en message-komponent vid summan av frekvenserna.
Man ser dock inte att man även har ett nedre sidband (differensen) men iom att vi är i det komlexa talplanet så inbillar jag mig att även negativa frekvenser finns åtminstone så länge differensen är större än noll dvs vi kanske kan skriva
Där detta faktiskt är sant och kan bevisas mha vanliga trigonometriska formler t.ex
Där bara de imaginära delarna har använts ty vi är vi är bara intresserad av projektionen på en axel åt gången.
För att göra det komplett vad gäller analoga moduleringssätt tar vi med FM-modulation också där exemplet ovan angående svaj redan är ett exempel på FM-modulation men vi definierar ändå
Där första ledet är taget direkt från summationen perifert i enhetscirkeln, A visar sig sedan bli mc.
Numeriskt exempel
[redigera]Om en fjäder har fjäderkonstanten (C) lika med 1N/m och massan hos vikten (och den masslösa fjädern) är 0,1kg så blir frekvensen 0,5Hz.
Kapitel XV, Vågekvationen
[redigera]Man kan teckna en störning s som breder ut sig i x-led på följande sätt
Detta kan också tecknas
kanske man först kan se det som att vi har att funktionens nollgenomgång flyttas till x=vt dvs är fördröjd med vt, då är
då är
och
andraderivatorna blir då
respektive
som ger
Detta kallas vågekvationen.
v^2 faller alltså ut när man deriverar du/dt en andra gång och får då -v en gång till
Notering: Jag fattar inte riktigt det här till exempel hur en andraderivata av sträcka map på tid plötsligt kan bli v^2 när det egentligen är en klassisk formel för acceleration (v är dock inte konstant).
Numeriskt exempel
[redigera]Hastighet tycker jag inte är klockrent beskrivet i fysiken för vad är till exempel V/s för nåt? Om A är en amplitud i y, säger vi, då är det en hastiget det också, för en sinusformad svängning i rummet blir nämligen derivatan av funktionen som vi kan skriva x(t)=Asin(wt) wA som absolut är en hastighet, i fallet opampar brukar vi sedan kalla V/s för slewrate.
Kapitel XVI, Vågutbredning
[redigera]För en våg som breder ut sig gäller enligt ovan
jag skulle vilja betrakta detta som att vt är en fasförkjutning i positiv x-led dvs att störningen upprepas x=vt senare, ekvationen kan skrivas om enligt
Vi ser att vi har två olika tider, en som beror på tiden i sig en som beror på rummet och hur vågen brer ut sig.
Om funtionen är sinus så har vi två fasvinklar som ändras med tiden enligt
eller
Att det blir så har att göra med att rumsfasen ändrar sig med utbredningen, en våg är ju inte bara beroende av tiden utan även av dess position.
Emedan det är tämligen känt att
så kallas samtidigt
där
Numeriskt exempel
[redigera]För ljudvågor gäller enligt Leo L. Beranek "Acoustics" från 1954 att c=331,4 sqrt(T/273)m/s, vid 0C dvs 273K är således ljudhastigheten i luft 331,4m/s (vid normalt lufttryck), vid 20C blir det 343m/s.
Kapitel XVII, Longitudinell våg
[redigera]Det finns två typer av vågor, den ena kallas longitudinell och är riktad längs med utbredningen, den andra typen av våg är den så kallade transversella och är riktad vinkelrätt mot utbredningen.
Om man tittar vid ett visst x när man slår an på en stav så kommer det orsaka en störning dx som tänjer ut staven, nu har vi således att ett volymselement på dx som rör sig genom staven.
Med hjälp av implicit derivering kan vi teckna störningen enligt
störningsdifferensen är då
dvs den relativa töjningen är
Spänningen i staven kan fås via elesticitetsmodulen enligt
spänningen kan också tecknas
där Y är tvärsnittsarean och F kraften där kraften också kan tecknas
Kraften på ändytorna hos volymselementet är (där rho är densiteten samtidigt som Newtons andra lag nyttjas rakt av)
F1 blir enligt 17.6
och F2 bir galant pga implicit derivering
dvs
och kombineras detta med 17.7 så fås
eller
dvs
identifiering med vågekvationen enligt ovan dvs
ger slutligen att hastigheten ges av
Numeriskt Exempel
[redigera]Elasticitetsmodulen (E) för järn är 8,4*10^10Pa, densiteten (rho) för järn är sedan 7,9*10^3 kg/m^3, detta ger att hastigheten den longitudinella vågen rör sig i en järnvägsräls är över 3000m/s vilket nästan är Mach 10 (vi kommer återkomma till Mach's tal men det är ett tal relativt ljudhastigheten)
Kapitel XVIII, Transversell våg
[redigera]Anta att vi har en sträng utmed x-axeln, sen böjer vi i strängen utmed y-axeln då får vi två krafter i strängen som är motriktade tangentiellt med strängen, säg att kraften mot origo kallas F1 och kraften åt andra hållet kallas F2.
Eftersom krafterna utmed x-axeln också är lika kan vi teckna
men om vinklarna är små så gäller
och
därmed gäller
därför kan man teckna
ty vi har att störningen är vertikal dvs i y-led och infinitesimalerna i y och x är ds respektive dx, då har vi att
sen nyttjar vi Newton's andra lag och att Y är tvärsnittsarean
så att
identifiering med vågekvationen
ger sedan att
eller
med my=m/L 18.10 sägs sen vara den formel som gäller men det är oklart vad hastigheten betyder för vad är det som rör sig?
För det första vet vi alla att en sträng rör sig i y-led och den kan egentligen inte röra sig alls i x-led ty den är fäst i två punkter.
Nu har vi två saker att beakta:
1) Strängen kan inte svänga med andra frekvenser (läs våglängder) än n*lambda/2, detta pga att den ju är låst till i alla fall L=lamda/2 för lägsta tonen, denna "låsning" är sedan i x-led.
Notering: Här ska man passa sig för att säga frekvenser har jag lärt mig men snacket om våglängder gäller.
2) När man slår ann en sträng måste hastigheten i y-led vara beroende av hur hårt man slår ann strängen (ty strängen får olika lång väg att gå) för annars blir det olika frekvens/ton beroende på hur hårt man slår ann strängen, detta krav är dock i y-led.
Jag tror att det som skapar ljud i sammanhanget är strängens tvärsnittsarea, den luft den skyfflar undan och den rörelse den utför i y-led.
1&2 är tydligen krav som är i olika riktningar så om man räknar ut en hastighet i y-led så kan man inte nyttja våglängdskravet i x-led utan vidare, frågan är hur man gör det för jag är övertygad om att båda kraven gäller.
Numeriskt exempel
[redigera]Om my hos gitarrsträngen är 1g/m, och man spänner med F=1N (eller 0,1kg) och gitarrhalsen är 1m lång (L) så får man hastigheten 32m/s och frekvensen är då 16Hz vilket kommer att visa sig lite senare men baseras på att längsta våglängden är 2L (eller en puk över gitarrhalsen).
Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del I
[redigera]Ett alternativt sätt att betrakta problemet är om strängen helt enkelt bara vore en fjäder med vikt likt
där s är störningen och om vi nyttjar den suveränt simpla metoden med komplexa tal kan vi skriva
dvs
och
så att
dvs
där
enligt 24.14, rent allmänt är periferihastigheten w*radien och radien är i det här fallet amplituden (A), så vi får att
där C är fjäderkonstanten hos strängen, pga dess enhet [N/m] så kan 18.18 också skrivas
och om man inser att amplituden (A) egentligen också är en längd (L) så får man
som är samma som 18.10 dvs vi har inget enhetsfel här, dock anser jag det är viktigt att A nyttjas i enlighet med 18.18 för det visar på att hastigheten, som nu är obevekligen y-riktad, är beroende av amplituden på anslaget vilket jag tycker är rätt självklart för vi kan inte ha en sträng som låter med en annan frekvens beroende på hur hårt man slår ann den, det MÅSTE således finnas ett hastighetsberoende map anslagskraften/amplituden.
Min amatörmässiga bedömning är sedan att tiden det tar för strängen från det att man släpper den tills det att den kommer tillbaka är periodtiden dvs
Frekvensen är nu inversen av detta dvs
När det sedan gäller fjäderkonstanten (C) hos en sträng så gissar jag att ju hårdare spänd desto högre fjäderkonstant ty om strängen är löst spänd så är det enkelt att utöka dess längd men om den är hårt spänd är det inte det, eller?
Rörelsen här är som sagt i y-led och det finns inget beroende av hur hårt man slår ann strängen ty A utgår.
Problemet nu är min personliga övertygelse om
dvs det kan inte finnas några andra våglängder än dessa för strängen är fixerad i sina ändpunkter och då blir dom enda möjliga våglängderna ett kvantiserat antal pukar där den längsta puken (halv våglängd) alltså är stränglängden.
Men här har vi ett krav i x-led medans det jag precis innan räknade ut är en rörelse i y-led.
Jag får inte ihop det här.
Fast jag erkänner en sak och det är att hastigheten verkar kunna styras godtyckligt om man speciellt ser till massan på strängen, men hur denna hastighet kopplas till våglängdskravet och därmed frekvensen begriper jag inte (jag känner dock att 24.23 kan vara rätt men det rimmar inte med våglängskravet)
Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del II
[redigera]Jag har tänkt lite mer och eftersom detta är en svammel-bok så behåller jag eventuella felaktigheter ovan.
Vi kan börja med hur man tecknar en våg som rör sig i x-led (obs) genom att förfina 24.13 till
där vågtalet k (lambda/2pi) är infört.
Om nu nollgenomgångarna skall stämma (för vi kan inte ha en våg utan stimuli) så gäller
och om man då löser ut x så får man
derivatan av detta är den så kallade fashastigheten vf enligt
men observera att x här är deriverbar dvs skild från en konstant MEN det är ju precis det vi har dvs att x är konstant så vi har ingen fashastighet!
w/k kan för övrigt förenklas till
MEN detta avser en rörelse i x-led, vilket vi inte har varför vanligt vågtänk går bort.
Min analogi med hur en fjäder rör sig kan dock stämma för lösningen till diffekvationen blev ju
vad beträffar vinkelfrekvensen, ser man sedan på hastigheten så kan man dels kika på 24.14 eller tänka att man är ute efter en periferihastghet i enhetscirkeln som beskriver rörelsen dvs
Det här är dock inte riktigt nån fashastighet MEN det är en rörelse i rummet för systemet svänger ju!
Så vi har en hastighet i rummet som jag tolkar som vertikal likt hur ett fjädersystem svänger (med g=0).
Frekvensen kan fås av att
och att
dvs
där vi kan leka med de olika parametrarna enligt m=0,1kg, C=1kg/mm=10N/mm=10000N/m
Då blir skattad grundfrekvens för den tjocka E-strängen 50Hz.
Sen kan man ana att strängarnas massa inte är såvärst olika, borde inte skilja mer än en knapp faktor 3, roten ur tre kan vi då sätta som 1,5 och man får maximalt en frekvensskillnad mellan tunna E och tjocka E på 50%.
Fjäderkonstanten dom olika strängarna skiljer sig naturligtvis åt men jag antar att det inte skiljer så mycket, eventuellt är dock den tjocka E-strängen i grunden en nylonsträng med spunnen metalltråd utanpå så dess C kommer att vara mindre ty den är lättare att tänja, kanske en faktor 2 lättare, maximalt en faktor 3 lättare varvid vi då har en tre gånger (roten ur nio) så hög grundtonsfrekvens hos tunna E jämfört med tjocka E.
Vad vi således har är ett mycket enkelt uttryck på frekvensen och hastigheten där vågekvationen inte ens är nyttjad, dessa repeteras härmed
och
och faktiskt uppstår ett lambda i rummet ty grejerna rör sig i rummet enligt
Vilket är en nästan löjligt enkel ekvation men rörelsen, åtminstone matematiskt, är enligt enhetscirkeln och ett varv på enhetscirkeln är radien (läs A som amplituden) gånger 2pi i omkrets och därmed väg.
Här får jag lite flummigt möjligheten att införa min tvärsäkra ide' om att strängen innehåller ett antal lambda halva eller
Detta kan jag dock varken visa eller bevisa men jag tror bestämt att det är så (enda möjligheten för harmoniska vågor).
Så A ovan kan bytas ut mot
och insatt i 18.18 får man
där hastigheten alltså INTE är konstant men faktiskt bara beroende på hur många pukar vi har dvs i övrigt konstant, knepigt dock att fler pukar innebär lägre hastighet, kanske fel ändå?
Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del III
[redigera]Om vi antar att ordinarie uträknad formel ändå är rätt så lyder den alltså och jag repeterar
sen har vi att
Vad är nu lambda?
Jo, vi kan titta på randvillkoren till ovan ekvation som jag repeterar
Denna svänger ju inte i x=0 ty där är strängen fäst dvs
Eftersom allting börjar i noll kan vi studera {im} dvs sinus och får då
Samtidigt har vi att
Ty strängen svänger inte vid x=L heller, då fås
kombinerar vi 18.41 med 18.43 så fås
och eftersom
så blir 18.44
och därmed blir
som gör att 18.39 blir
Kapitel XIX, Elektromagnetism
[redigera]Coulombs lag kan tecknas
som är formeln för kraften mellan två olika laddningar i vakuum, man kan också skriva denna formel som
där
där epsilon_r är den relativa permittiviteten för ett dielektrikum skilt från vakuum (där epsilon_r är 1), med denna betraktelse blir det tydligt att när det finns ett dielektrikum så blir kraften mindre.
Man kan se 19.2 på ännu ett intressant sätt
där As är ytan hos en sfär, detta gäller faktiskt alla punktkällor där intensiteten blir effekten/As eller fältstyrkan/As, i det här fallet tycks vi alltså ha ett kraftfält som är sfäriskt.
Sen skulle jag vilja förenkla 19.1 till
där laddningarna bara råkar vara lika stora, elektrisk fältstyrka definieras sen som
vilket man kan tolka som den fältstyrka som multiplicerat med laddningen ger kraften mellan laddningarna, samtidigt som det också är den fältstyrka som finns i rummet utan att det finns mer än en samling laddningar, uttrycket för E blir således
eller mer korrekt
där rho_s är ytladdningstätheten dvs laddningen delat med arean, sen finns det en fältbeteckning som kallas förkjutningsfältet D dvs
vilket innebär att 19.8 kan tecknas
eller för att göra det mer allmängiltigt ty vi har en laddningsfördelning som måste summeras upp
kurvintegralen innebär mest att alla fältlinjer genom ytan skall tas med, annars ger detta ännu mer allmänt
ty vi är intresserade av själva laddningsmängden och den är normalt inom en viss volym, med andra har vi nu härlett en av Maxwell's ekvationer :)
Elektrisk potential härleds sedan lite speciellt, om vi har två laddningar av samma polaritet då är kraften repellerande, om man sedan tar en laddning och släpar den från oändligheten till punkten ifråga så utförs ett arbete (eftersom man går mot kraften liksom man släpar nåt mot friktion), arbetet kan skrivas
där Wp är den potentiella energin som laddningen får av släpandet (minustecknet indikerar att vi rör oss mot kraften), eftersom energi har enheten Joule eller Ws och laddning har enheten As så inses att
dvs den elektriska potentialen som Q ger upphov till är
eller mer korrekt
Numeriskt exempel
[redigera]En proton har en radie (R) på ungefär 10^-15m, dess potential är då 1,6MeV (där man kan stryka e om man vill).
Kapitel XX, Energiprincipen
[redigera]Energi kan aldrig uppstå och det kan heller inte försvinna, energi kan bara övergå från en form till en annan, en viktig konsekvens av detta är att energin i ett slutet system är konstant enligt
Jag har valt att beteckna energierna med W som i work för båda är faktiskt arbete, vi såg senast att den potentiella energin för en laddning bestog av det arbete som krävs för att flytta laddningen från oändligheten till punkten ifråga men faktiskt så gäller detta kinetisk energi också för den har ju liksom inte bara energi (eller hastighet) den har fått energin ifrån nånstans, jag tycker således man skall se energierna enligt:
här gäller det att kraften minst avtar som 1/R^2, om vi tittar på gravitation kan vi skriva
detta är med integrationsgränserna insatta lika med
som alltså är vår potentiella energi, denna ser dock lite konstig ut men vi kan skriva om den enligt
som ju är vår klassiska formel för lägesenergi, nedan formel vet jag sen inte riktigt vart jag fått ifrån (säkert 5 år sedan jag skrev den) men enheten stämmer och det mynnar ut i nåt intressant
där p=mv, med andra ord kan man se 20.6 som
som är den klassiska formeln för kinetisk energi men om vi nu utvecklar detta så fås
som kan skrivas om enligt
och eftersom kraft definieras enligt
så fås
och vi är tillbaka i fallet där energi definieras som det arbete som krävs för att flytta nåt till en viss punkt, i detta fallet till en viss hastighet.
Numeriskt exempel
[redigera]Om man kikar alldeles nedanför så har vi att gravitaionskvoten på månen är 0,16 dvs en människa på 100kg "väger" bara 16kg på månen, vad som nästan är mer intressant är den höjd (h) som månen ciklar kring jorden (informationen finns inte på Wikipedia), men med hjälp av gravitaionskvoten och jordradien (bj) har jag räknat ut höjden till 1,6E7m (1600 mil) som är lika med 2,5 jordradier dvs om man drar av en jordradie måste man färdas 1000mil ut i rymden för att komma till månen, när det sedan gäller vår energiuträkning så är det bara att stoppa in värdena, jag får Wp1=1,8E30J, Wk1=6,3E25J vilket ger w2/w1 som 58 som jag först fick vilket är omöjligt men utan att fatta kunde jag vända på vinkelfrekvensbråket för att få rätt (jämfört med en annan uträkning), en 20%-tig öknng av höjden verkar alltså innebära en ny vinkelfrekvens/hastighet på bara 1,7% av den gamla.
Fritänkande, exempel på energiprincipen
[redigera]Gravitationen på månen kan tecknas
efersom gravitationen är proportionerlig mot 1/h^2 och gravitationen är g vid jordytan (bj) kan man skriva
om vi då har
och
där w är 2pi genom omloppstiden, och om vi nu ökar h med 20%, då får vi
vilket påverkar Wp enligt
ty gravitationskonsten minskar med 1/1,2^2 samtidigt som höjden ökar med 1,2, den kintiska energin blir sen
men vi käner inte den nya omloppsvinkelfrekvensen/tiden (w_2), rent intuitivt kan man dock förstå att den minskar ju längre ut planeten ligger, här måste vi dock ta till energiprincipen enligt
och vi får
vilket ger
Lite måndata:
b=1737km
V=2,2E19m^2
m=7,3E22kg
T=28d
g'=0,16g
mj=6E24kg (jordmassan, finns inte i Physics handbook)
Kapitel XXI, Elektromagnetiska vågor
[redigera]Föreställ Er en våg som löper utmed x-axeln, en elektromagnetisk våg är transversell och ortogonal dvs har två vinkelräta fältkomponenter enligt
och
Man kan skriva två av Maxwells ekvationer på differentialform enligt
som också kallas Faraday's induktionslag, sen kan man skriva
som också kallas Ampere's lag (J går bort för här finns inga fria laddningar, bara en förkjutningsström), eftersom
och
så kan man skriva 21.4 som (osäker på tecknet, dock)
Nabla är för övrigt en deriveringsoperator enligt
Krysset betyder sedan kryssprodukt/rotation och intresserade uppmanas kolla upp Cirrus regel men i princip handlar det om att två vektorer ger upphov till en tredje ortogonal vektor när man "kryssar" dom, i vårt fall vet vi dock riktningarna så det enda man behöver tänka på är att en derivering sker, allmänt kan kryssprodukt annars skrivas
21.3 ger då att
där Ex=0 och 21.7 ger att
Där Bx=0, det är egentligen fel att nyttja indexering här men det förtydligar relativt 21.9
Om vi nu nyttjar 21.1 respektive 21.3 så fås
dvs
och om vi sen nyttjar 21.2 respektive 21.4 så fås
eller
dvs
vilket ger
Eller mer specifikt
där
är permeabiliteten för vakuum och
är permittiviteten för vakuum, suffixet r står för relativ och är alltid större än ett förutom för vakuum där de är ett, således kan man teckna
Vilket är ljushastigheten i vakuum.
Eftersom omagnetiska material har en permeabilitet ganska nära ett så blir permittiviten den enda kvarvarande egenskapen, man har tom infört en särskild benämning dvs
vilket kallas brytningsindex som pga 21.18 gör så att
dvs vågens utbredningshastighet minskar med brytningsindex.
Det här är relativt klockrent men sen snackas det om fashastighet modell
och varför kommer det in i spelet?
Jag kan tänka mig en härledning av ovanstående genom nyttjande av konstant fasskillnad enligt
där minustecknet bara underlättar algebran enligt
och om man stuvar om lite så får man
som deriverat ger fashastigheten enligt
Jag har lite svårt att förstå 21.25 så jag vill utveckla den lite, det enklaste sättet att förstå det är i det komplexa planet där man kan skriva 21.25 som
vars imaginär-del är 27.25, det intressanta händer dock om man skriver om detta enligt
där man faktiskt har att man kan separera tidsplanet med rummet ty de är oberoende funktioner, wt snurrar i tiden medans kx snurrar i rummet, här har man dessutom att vid s(0,0) så är dom i fas varför det blir som så att under den periodtid som det snurras i tidsplanet löps ett lambda igenom för det kan liksom inte bli nån våg i rummet om det inte händer nåt i tiden, nåt sånt tror jag man måste resonera.
Numeriskt exempel
[redigera]Hastigheten elektromagnetiska vågor såsom ljus breder ut sig med i vakuum är ljushastigheten (c) på 300 000 000 m/s, hastigheten i olika medium är sedan c/n där n är brytningsindex för mediumet.
Kapitel XXII, Grupphastighet
[redigera]Grupphastighet är egentligen den hastighet med vilken själva informationen utbreder sig, om man t.ex har en amplitudmodulerad våg och mediumet inte är dispersivt (dvs att olika frekvenser inte färdas olika snabbt genom mediet) så har man att fashastigheten är samma som grupphastigheten, annars kan man se det som så att bärvågen färdas med fashastigheten medans modulationen/informationen färdas med grupphastigheten, definitionerna är som följer:
Som alltså är fashastigheten medans grupphastigheten definieras
Om man då har att
och att
så blir
vilket ger
och därmed blir 22.2
Grupphastighet kan man bara prata om om man har fler än en våg samtidigt, låt oss säga att vi har följande störningar:
respektive
där vi förenklar med samma amplitud, summerar vi sedan dessa får vi
nu finns det en trigonometrisk formel som lyder
och om
och
så blir 28.9
eller
Här har vi alltså att
sen har vi att
sen har vi att
dessutom har vi att
vilket gör att man kan skriva 22.10 som
Personligen tycker jag trigonometriska formler är jobbiga och svåra att komma ihåg, jag börjar få känslan att z-planet direkt ger det man behöver, låt oss därför skriva om 22.8 respektive 22.9 enligt
respektive
22.10 kan då skrivas
detta kan skrivas om enligt
eller
dvs
tar man sedan hand om termerna kan man skriva
nu ser man tydligt att man har dessa termer
och
och
samt
och allt utan att en enda trigonometrisk formel har använts (fast Eulers formel är implicit använd)!
Det är intressant att göra jämförelsen med hur en blandare i en superheterodyn fungerar, i ovanstående fall skulle man kunna säga att vi har gjort en summering av två signaler i ett linjärt (och icke dispertivt) medium, en mixer jobbar emellertid med ett olinjärt medium och är "icke-dispersivt" på det sättet att den inte är frekvensberoende i sin blandningmekanism.
Vi skissar lite på detta och antar att:
och
om man nu multiplicerar dessa signaler får man
Här identifierar vi enkelt att det finns en frekvenskomponent på
men samtidigt vet vi att även differensen finns så i dessa fall föreslår jag att man löser saken genom en dubbel multiplikation enligt:
respektive
för om man tar transponatet av y och multiplicerar så får man just den differentiella termen.
Låt oss nu analysera hur själva multiplikationen av två signaler går till i verkligheten, alla vet att adderar man logaritmiskt så är det lika med multiplikation, vi kan således förenkla något och anta att
Enligt Maclaurin kan man skriva om detta ty vi vet att u är litet
f(u) har jag valt som busenkel att derivera (dvs man får alltid e^u) med andra ord så blir 22.39
Vilket ger
eller
där vi ser att vi har frekvenserna
1) 1: DC 2) x: w1 3) y: w2 4) x^2: w1^2 dvs 2*w1 (tänk multiplikation av två komplexa tal) 5) y^2: w2^2 dvs 2*w2 (egentligen även differensen läs 0) 6) xy: w1+w2 (fås av multiplikationen av de båda komplexa signalerna) 7) xy: w1-w2 (fås av transponatet vid multiplikation av samma signaler).
Om man nu jämför olinjär summering (mixer) med linjär summering (icke dispersivt medium) så ser vi speciellt att linjär summering ger halva summan respektive halva differensen medans olinjär summering ger summan respektive differensen.
Det finns ett annat sätt att bevisa 28.1, säg att vågen kan beskrivas enligt
där amplituden är normerad till 1 då kan vi nyttja vågekvationen enligt
på så sätt att vi först deriverar enligt
sen deriverar vi igen och får
på samma sätt kan man tidsderivera enligt