Hoppa till innehållet

Fysiksvammel del II (Cheng)

Från Wikibooks

Inledning[redigera]

Denna del av min fysiksvammelbok uppkommer pga att det är så många kapitel i ordinarie bok (Fysiksvammel med kontrollerad fusion som mål), och med mina ynka 1Mb/s tar den också en del tid att ladda. Samtidigt gillar jag elektromagnetisk fältteori (Cheng) bäst så jag vill köra lite parallellt här ty optik anser jag inte har så mycket med fusionsforskning att göra även om det är (måttligt) intressant i sig. Jag skapade alltså textmassan till min ordinarie bok för flera år sedan men nu är jag mer intresserad av andra delar av fysiken.

Del VI, VEKTORLÄRA[redigera]

Vektorer är sådana som har både riktning och storlek, ett exempel på en vektor är kraft.

Kapitel LXXVIII, Skalärprodukt[redigera]

Skalärprodukt, cosinusteorem och kryssprodukt

Skalärprukt definieras enligt

där A och B är två vektorer med samma angripspunkt (kan alltid parallellförflyttas) och med vinkeln alpha emellan.

Jag har hittat på en egen tolkning av skalärprudukt där man eventuellt kan se skalärprodukt som ett mått på hur två vektorer samverkar, om svaret är negativt så motverkar dom varandra och om svaret är positivt så samverkar dom.

Om vi säger att ena vektorn (A) ligger horisontellt och andra vektorn (B) mindre än 90 grader därifrån, då är cosinus för vinkeln positiv och projektionen Bcos(a) ligger parallellt med A, om vinkeln är större än 90 grader så är cosinus för vinkeln negativ och projektionen är antiparallell med A

Bevis av cosinusteoremet[redigera]

Med hjälp av skalärprodukt kan man bevisa cosinusteoremet.

Föreställ Er att vi har två vektorer där den ena (A) pekar horisontellt åt höger och den andra (B) i första kvadranten dvs också åt höger men med en vinkel som är större än noll men mindre än 90 grader, denna skillnadsvinkel kallar vi alpha.

Adderar man vektoriellt A med B får man helt enkelt resultanten C och denna i kvadrat kan tecknas

Nu är alltså mellanliggande vinkel alpha MEN cosinusteoremet avser mellanliggande vinkel vid förskjutning av vektorerna så att dom biter varandra i svansen (inte "normal" mellanliggande vinkel alltså), detta gör så att cosinusteoremet blir riktigt dvs

där beta är inre vinkeln

Jag skulle vilja säga att vinklarna vad beträffar kryssprodukt och skalärprukt ALLTID avser mellanliggande vinkel MEN det som då också gäller är att vektorerna alltid är tail-to-tail dvs börjar i samma angripspunkt.

Exempel på användning av skalärprodukt[redigera]

Säg att du har en vektor A enligt

Om vi nu vill ha fram en vektor B som är vinkelrät mot denna så gäller ju

ty cosinus är noll.

Jag var skeprtisk till detta idag och försökte klura ut det för hela rummet men det blir svårt att tänka då så om man bara nyttjar ett plan så blir det lättare dvs vi droppar Az, då blir skalärprodukten av A och B följande

och om

vilket är ett privat sätt att skriva (cartesiska vektorer) så gäller att B kan vara typ

för då blir skalärprodukten

Vinkeln mellan y-axeln och vektorn A är

vinkeln mellan y-axeln och vektorn B är

och

V.S.V

Kapitel LXXIX, Kryssprodukt[redigera]

Den andra varianten av vektoriell multiplikation kallas kryssprodukt.

Kryssprodukt är inte helt lätt att förstå tycker jag men den grundar sig på att två vektorer multipliceras på ett speciellt sätt så att produkten bygger upp ett parallellogram samtidigt som den skapar en ny enhetsvektor (n) normal till parallellogrammet.

Riktningen på den nya vektorn (n) följer "skruvregeln" dvs om ena vektorn kallas A och andra kallas B och man kryssar A med B då roteras A i riktning mot B, sett underifrån blir det som en högergängad skruv och n kommer peka ur pappret.

Man kan också se det som så att man om man nyttjar högra handens pekfinger för säg A och dess långfinger för B så kommer tummen peka i n-riktning (kallas också högerhandsregeln).

Vi kommer återkomma till kryssprodukt när det gäller nåt som kallas rot eller curl men här nöjer jag mig med att konstatera

där alpha är vinkeln mellan vektorerna, högerledet är alltså inget annat än arean hos ett parallellogram vars "höjd" ju är ~sin(alpha) med en enhetsvektor (n tak) vilkelrätt mot parallellogrammets yta.

Exempel på användning av kryssprodukt[redigera]

Om vi vill räkna ut en parallell vektor till A så kan vi sätta att

ty vi har sinus mellan vektorerna, med andra ord gäller

Om nu

så ger det att

1 ger att By=Bz som insatt i 3 ger Bz=Bx (2 behövs inte, överbestämt ekvationssystem) så vi har att Bx=Bz=By dvs vektorn B kan skrivas

där b bara är ett tal vars alla varianter genererar en vektor som är parallellt med A, trivialt svar men tricket är användbart.

Kapitel LXXX, Vektordefinitioner[redigera]

Definition av två vektorer

Om vi definierar en vektor på följande sätt

så har vi genast nyttjat det mest vanliga koordinatsystemet dvs de Cartesiska, sen kan vi definiera

där i båda fallen "hattarna" är enhetsvektorer som bara har riktning men "inget" belopp (nåväl, 1 har dom i belopp)

Nyttjar vi nu skalärprodukt enligt ovan så får vi att

ty bara komponeter i samma rikting multipliceras vilket är samma som att alpha ovan är 0 grader (ty koordinatsystemet är ortogonalt dvs vinkelrätt).

Kryssprodukt är lurigare för enligt ovan är det sinus för mellanliggande vinkel som gäller men det gör ju att

ty vinkeln mellan dom är 0, bara vinkelräta komponenter kommer alltså med dvs

samtidigt som

till exempel.

Kryssprodukten

blir alltså, när man betänker att högerhandsregeln gäller

Som faktiskt är rätt lätt att räkna ut ty efter xy kommer positivt z enligt högerhandsregeln och efter zx så kommer positivt y medans efter xz kommer negativt y för nu går vi runt åt andra hållet, typ

Refererat till ovanstående bild kan man teckna

och

cosinus för mellanliggande vinkel b-a blir sedan

som är samma som

dvs

eller

vilket ger

om vi nu tittar på att vi har

så kan vi teckna

ty A och B är beloppet av vektorerna, detta ger

V.S.V

Personligen tycker jag komplexa tal är en härligt smidig genväg till att härleda, och komma ihåg, trigonometriska formler som jag i alla fall aldrig lyckats lära mig, sen tror jag att samma resonemang kan användas för bevis av kryssprodukt men jag avstår från det och säger bara att härledningen av skalärprodukten av godtyckligt vinklade vektorer ger ett nästan trivialt svar som lite är bortanför teorin modell att skalärprodukten är produkten av längderna hos vektorerna gånger cosinus av mellanliggande vinkel, tycker faktiskt att det är lite svårt att se att det allmänt mynnar ut i ovanstående typ AxBx bara osv.

Känner plötsligt för att bevisa kryssprodukt också för vi kan använda samma bild, nu gäller dock sinus dvs

vilket ger

där vi samlar ihop de imaginära bitarna och får

dvs

vilket ger

vilket är helt riktigt förutom att kryssprodukt definieras enligt

där n-tak är den ortogonala riktingen jämför med det plan vektorerna A och B ligger i, i detta fallet gäller

V.S.V

Kapitel LXXXI, Koordinatsystem[redigera]

Olika koordinatsystem

Jag har fått lära mig av Cheng att tre olika koordinatsystem räcker för de flesta fall, dessa tre är:

1) Cartesiska koordinater (x, y, z)

2) Cylindriska koordinater (r, phi, z)

3) Sfäriska koordinater (R, theta, phi)

De cartesiska koordinaterna känner vi igen, cylindriska koordinater innebär att rymden antas cylindrisk där r är radien, phi är vinkeln mellan x och r och z är höjden, sfäriska koordinater innebär att rymden antas sfärisk där R är en rymd-radie, theta är vinkeln mellan z och dit rymd-radien pekar ovanifrån och ner och phi är vinkeln mellan x och positionen för R.

Man kan teckna de olika koordinatsystemens differentiella längdelement i samma ordning som ovan:

Ett godtyckligt längdelement kan alltså allmänt tecknas

där h-parametrarna kallas metriska koefficienter som för Cartesiska koordinater enligt ovan är

och för cylindriska coordinater är

samt för sfäriska koordinater är


Den första är enkel att förstå för om man vill göra en integrering i hela rummet måste man göra den längs alla koordinater, samma princip kan dock tilldelas de andra koordinatsystemen.

Jag är mycket dålig på att rita mer komplexa saker, det är lite sorgligt men jag vill ändå gå vidare och måste försöka beskriva med ord åtminstone så länge dvs ett ytelement hos de olika koordinatsystemen kan tecknas (observera sedan att en normalkomponent till ytan används som alltid pelkar ut från ytan).

detta är alltså ett ytelement i xy-planet vars normal pekar enligt z-axeln (samma princip gäller övriga koordinater), sen har vi för det cylindriska koordinatsystemet

rdphi är det metriska vinkelsegmentet som blir av vinkeldifferentialen, och för det sfäriska koordinatsystemet där Rsin(theta) kan projiseras som lilla r

de olika volymselementen blir sedan

Kapitel LXXXII, Skalär trippelprodukt[redigera]

Skälär trippelprodukt kan tecknas

Observera rotationen åt höger, man kan tänka sig en variant, om man gillar determinanter, genom att hänvisa till Sarrus regel enligt nedan för då har man att alla tre vektorerna A, B, C ingår och ordningen på vektorerna kommer bara innebära att rader kastas om enligt högerhandsregeln.

A skalärt med BXC kan alltså tecknas:

Där jag precis kommit på ett enkelt sätt att beräkna determinanten nästan utan Sarrus regel.

Om man är ute efter komponenterna i "Ax-riktning" kan man stryka dess rad och dess kolumn samt körra Sarrus på "komplementet" samma gäller till exempel "Ay-riktning", då ser man genast att determinaten blir

dvs skalärprodukten av A med BXC, där dock Ay har fel tecken men det återkommer jag till.

Kapitel LXXXIII, Vektoriell trippelprodukt[redigera]

Denna är svårare att bevisa men jag hänvisar till Cheng (s18), beviset går lite ut på att man delar upp A i en parallell och vinkelrät komponent gentemot BXC-arean, i vilket fall blir svaret

Kallas också för "The BAC-CAB Rule".

Spontant känns det lite knepigt hur man kan kryssa en vektor A med en annan vektor (BXC blir en annan vektor) så att alltihopa blir en skalär.

Kapitel LXXXIV, Gradient[redigera]

Gradienten hos ett skalärt fält

Gradienten hos ett vektorfält innebär en vektor som pekar ut maximala "rate of change" ihop med riktningen hos en skalär förändring, gradienten definieras

där dV är ändringen av V längs en normalvektor till "potentialplanet", man kan skriva om detta enligt

dvs man kan skriva

där dl är en vektor som inte nödvändigtmässigt måste vara vinkelrät mot planet och nabla definieras som

i Cartesiska koordinater och är en deriveringsoperator där till exempel

kan skrivas

Det är viktigt att inse att gradienter bara finns för skalärer, inte för vektorer alltså, allmänt kan man teckna gradienten för de olika koordinatsystemen enligt

Jag laddar upp en bild på en potential enligt

som har en gradient enligt definitionen ovan dvs

där alltså gradienten är längs x-axeln och jag köper inte det för Gaussklockan har en gradient i y-led anser jag ty potentialen närmar sig ett maxima där och den gör det ganska fort (även om derivatan är noll där).

Jag sparar detta korkade uttalande som refeferens för idag tror jag att jag kom på vad gradient faktiskt är, gradient verkar visa på hur funktionen/skalären växer som mest och i vilken riktning I bifogad bild ser man hur jag räknat ut gradienten som ALLTID går längs med x-axeln (för det är det enda som går att derivera...), för mig känns detta fortfarande inte riktigt men man kan konstatera att gradienten i alla fall visar åt vilket "håll" i kurvan det verkligen händer nåt i y-led, rör man sig utmed x-axeln på detta sättet händer det en massa med potentialen när man närmar sig x=0.

Kapitel LXXXV, Divergens[redigera]

Visar hur vektorfält kan divergera

Divergens definieras genom att man sätter en liten låda vinkelrätt mot vektorfältet, om då antalet flödeslinjer ut ur lådan är färre än antalet flödeslinger in så har man en "sink" där inne och därmed divergens, om antalet flödeslinjer ut ur lådan är större än in i lådan så har vi uppenbarligen en "source" där inne, är antalet flödeslinjer samma så är det ett divergensfritt eller så kallat "soloidalt" fält vi har [denna förklaring var vad jag först trodde på, se nedan]

Ett typexempel på divergens är

vilket innebär att E-fältet divergerar i laddningar (rho=laddningsdensitet) som man kan se som att fältlinjerna landar i laddningar som ju finns diskret modell till exempel elektroner, samtidigt gäller

vilket visar att det inte finns några magnetiska laddningar för B-fältet biter alltid sig själ i svansen, så B är soloidalt.

Divergens är en skalär, den har ingen riktning men är positiv för intern "source" (dvs skillnaden mellan nåt slags tryck in och nåt slags tryck ut) och negativ för intern "sink", den är måttet på styrkan hos dessa källor (dp/dx, typ).

För Cartesiska koordinater kan man skriva

Allmänt kan man teckna divergensen map de olika koordinatsystemen enligt

Fritänkande, förenklad syn på divergens[redigera]

Divergens definieras i princip enligt

Det viktiga här, för att kolla om det finns divergens, är egentligen vad som händer i täljaren där täljaren motsvarar ett nettoflöde av "trycket" p genom ytan S.

Detta nettoflöde blir på formen F (kraft) och för att kolla om det blir nåt nettoflöde kan man kolla om p varierar med ett litet avstånd som vi kan kalla x.

Finns det således ett dp så finns det divergens (och divergensen kan lite slarvigt tecknas dp/dx).

Att det blir så beror på att divergensen ger ett svar på formen F/v vilket är samma som p/x.

Divergensen är positiv för tryck som minskar med avståndet och man kallar då detta för att det finns en källa (jag blandade länge ihop detta med flödeskällan men det är tryckdifferensen inuti testlådan som avses som källa), om trycket minskar med avståndet kallar man det för att det finns en "source", jag tror man kan se det som så att om man har ett D-fält från en positiv laddning så minskar D-fältets styrka med avståndet men om laddningen är negativ så går flödeslinjerna åt andra hållet.

För att det ska bli nån divergens måste vi alltså ha nåt slags tryck mot ytan, trycket kan till exempel vara ett D-fält från en punktladdning enligt

eller effekttryck/intensitet från t.ex solen eller nån explosion enligt

När det gäller D-fältet har vi då ett flöde som stavas Q, när det gäller I-fältet har vi ett flöde som stavas P, nettoflödet är samma men den vektoriella differensen skiljer (gäller bara om vektorstyrkan varierar), den vektoriella differensen hos D-fältet är en ytladdninstäthet enligt

som naturligtvis också är ett slags tryck som jag kallar dp, sen gäller

som alltså är divergensen för ett D-fält, man kan också se detta mer allmänt som

vilket alltid blir på formen av nån slags "densitet".

Kapitel LXXXVI, Rotation[redigera]

Anoddiagram för en rördiod

Cirkulation är en linjeintegral av ett vektorfält runt en sluten kontur. Man kan nog se det som ett arbete där dock arbetet runt en sluten kontur är 0 för om man kommer tillbaka till punkten man började med så har man inte uträttat nåt arbete ty lägeenergin är samma. Rotation är cirkulationen per ytenhet när ytan går mot noll, jag hittar inget riktigt enkelt sätt att förklara detta annat är att riktningen hos rotationen följer högerhansdsregeln dvs normalvektorerna är riktade ut från ytan.

Rotation följer kryssproduktregeln ovan men är nu lite mera lurig pga nabla, men om vi i xx.xx byter A mot typ d/dx och B mot A så får vi

Finns det rotation så finns det ett virvelfält i vektorfältet, exempelvis gäller i statiska fall

där virvelkällan verkar utläsas B (magnetfältet runt till exempel en ledare) medans det i själva verket är I som ger B så den så kallade "virveln" motsvarande strömmen I ger alltså magnetfältet.

Fast samma gäller egentligen för Gauss lag sprungen ur

dvs

som innebär flödet av E genom den slutna ytan S där man ser att det naturligtvis är laddningen som ger E-fältet och inte tvärtom.

Allmänt kan man räkna ut rotationen på följande sätt

Kom annars på ett roligt exempel, om Ni tittar på bilden på rördioden ovan så kan man teckna ett vektorfält A enligt

och tar vi rot på detta får vi

dvs

dvs vi har fått en vektor i z-riktning (ut från pappret i detta fallet) på

vilket är samma som konduktansen ty vi har deriverat Ia med avseende på Ua, vänder man sedan på uttrycket får man nåt välkänt dvs rp.

Fritänkande, förenklad syn på rotation[redigera]

Rotation definieras i princip enligt

För att kolla om vi har rotation eller inte räcker det att kolla täljaren, täljaren kan tolkas som ett nettoarbete i en sluten slinga modell vad som händer om vi går från en bergstopp och ner i dalen samt runt till andra bergstoppar och kommer tillbaka till samma bergstopp.

Hur mycket har lägesenergin ändrat sig? Jo, ingenting.

Så i "normala" fall finns det ingen netto cirkulation eller nettoarbete och därmed ingen rotation.

Men det finns fall där det finns, jag kan ha klurat ut ett trivialt fall som handlar om vad som händer i ett fjädersystem där en tyngd hänger i en fjäder, när man lyfter fjädern manuellt så utför man ett visst arbete åt ena hållet men när man släpper fjädern så utför gravitationen det andra arbetet och dessa krafter är i regel olika.

Man ser på täljaren att det krävs att arbetet åt ena hållet måste vara skilt från arbetet åt andra hållet för att det ska bli nåt nettoarbete, jag tolkar det som att det måste finnas ett dF.

Det är också intressant att cirkulationen av en kraft enligt

ger en enhet modell Nm vilket ju är ett moment, detta ger en fingervisning om åt vilket håll momentet pekar för drar man åt en bult och är nära där det varierar i kraft på slutet så har man riktningen på rotationen samtidigt som man inser att kraften man behöver dra bulten med varierar med vinkeln och då tror jag att alltihopa kan sägas ha rotation.

I verkligheten finns

där N är antalet varv runt en transformator och H-fältet har enheten A/m, iom definitionen får vi då enheten A/m^2 som brukar tecknas J och är alltså vad rotationen får för enhet, rotationen för H-fältet bör alltså ha enheten J.

Sen blir enheten för "normal" rotation av typen F/x dvs en fjäderkonstant, finns det en fjäderkonstant så finns det i regel rotation.

Om det finns en fjäderkonstant så är det dock fortfarande inte säkert att det finns nån rotation för man kan för z-riktningen teckna

som är noll om dessa båda derivator är samma, observera sedan att deriveringen sker "korsvis".

Kapitel LXXXVII, Vektoriell derivering[redigera]

Vektoriell derivering följer i princip vanlig produktderivering enligt

Fast i vektorform skriver vi

där A är en vektor och f en skalär.

Kapitel LXXXVIII, Gauss's teorem (aka divergensteoremet)[redigera]

Vattenflöde runt en sten

Teoremet säger

Jag brukar se det som att det minskar med en dimension, teoremet kan skrivas om enligt

där delta vj är en liten volym bunden av sj och avses gå mot noll (kan inte teckna limes snyggt) och när det gör det övergår uttrycket i divergensteoremet, man kan se det som att volymsintegralen över en divergens motsvaras av flödet av samma vektor genom en sluten yta. Eftersom jag har svårt att fatta vad detta verkligen innebär så har jag tänkt så det knakar idag, först kan vi börja med något känt dvs jag går händelserna i förväg lite igen och tecknar

där rho är laddningsdensiteten och D kallas för den elektriska flödestätheten [C/m^2]. Volymsintegralen av denna blir alltså laddningen Q vilket enligt teoremet är samma som

som man eventuellt kan tolka som att en innesluten laddning Q ger ett fält vinkelrätt mot den slutna yttre ytan motsvarande D. Fast detta var inte så mycket vad jag tänkte på idag, jag tänkte snarare på vad divergens eventuellt verkligen är så jag blev att tänka på en sten i en liten bäck, ta bort stenen och vattnet bara flödar rakt fram, sätt dit stenen och vattnet "divergerar" runt stenen, eller hur? Detta kan mycket eventuellt tecknas

där u är vattnets hastighet eller

dvs hastigheten av vattnet är samma som flödestätheten per sekund, om vi nu stipulerar nåt roligt här dvs

där rho_m helt enkelt är densiteten hos stenen, då får vi

tittar man på denna formel och jämför med D-formeln ovan så inser man att i det förra fallet så ger nåt som kallas laddning (Q) ett D-fält, här ger nåt som kallas massa ett u-fält samtidigt som enheten blir Vol/s dvs flöde, dock har vi beräknat en sluten ytintegral som inte är samma som nåt som bara flöder genom en yta.

Om kg (eller rho) ger upphov till ett fält och vi avlägnsnar oss en bit ifrån klumpen då kan man se klumpen som en punktkälla och en punktkälla ger på samma sätt som Q upphov till ett fält som är vinkelrätt ytan där man beräknar fältet, men andra ord kan man eventuellt nyttja formeln på lite längre avstånd och säga att

vilket påminner om nåt som är sant för en punktkälla av laddning dvs

under förutsättning att det finns nåt som kg/m^2 :D

Det slog mig idag att stenen förmodligen inte orsakar nån divergens för divergens, som jag har förstått det, innebär att det finns en källa (source) eller sänka (sink) i vektorfältet och ovanstående teoretiserande behandlar mest hur vektrorfältet "styrs om" vilket ju innebär att det inte varken försvinner u eller tillkommer u men jag tror faktiskt att det gör det för innan stenen har vi en viss flödestäthet (eller hastighet), vid/runt stenen har vi en högre hastighet för vattnet passerar nu i en trängre passage samtidigt som mängden vatten per tidsenhet måste vara samma för att inte ån skall flöda över.

Då har vi i alla fall en förändring av u motsvarande en hastighetsökning hos vattnet som är beroende av hur mycket åns tvärssnittsarea har minskat pga stenen.

u divergerar då, eller?

Jag tycker det för det har faktiskt tillkommit u pga att stenen gjort passagen smalare och divergens handlar ju om en påverkan på ett vekttorfält motsvarande source/sink så om u ökar så har vektorfältet u onekligen påverkats.

Ett annat sätt att se på speciellt source/sink i å-fallet kan eventuellt vara att vi har två fall där source består av en liten tillströmmande bäck och sink består av ett hål helt enkelt i ån där vatten bara försvinner. Tydligare source/sink hos en divergens kan jag inte komma på. Men hur blir det med divergensen i det här fallet? Divergensen enligt ovan måste ju nästan vara av typen x-densitet (jag kallar alla /m^3-enheter för densiteter, /m¨2-enheter blir då tätheter och /m-enheter blir intensiteter vilket jag tycker är käckt) ty den integreras ju upp volymmässigt för att ge nåt. Fast kanske mass-densitet fortfarande funkar? Det kluriga är dock fortfarande oint-biten som ju ger massa/m^2.

Det är kul att spekulera när man inte förstår nåt :) Och nu har jag precis lagt till en bild ovan där vår sten är kilformad likt ett cirkelsegment. Detta får till följd att hastighetsvektorn u är vinkelrät mot normalvektorn från stenens kanter (bortanför ändan), detta gör eventuellt sedan att den slutna integralen blir öppen för runt alla sidor utom baksidan är normalkomponenten av hastighetsvektorn noll, den enda gången det finns en normalkomponent hos hastighetsvektorn relativt stenens yta är på baksidan av stenen där det dessutom skapas turbulens.

Man kan eventuellt teckna systemet enligt följande:

där h är djupet hos ån, sen är

skalärprukten blir då

här ser man också att den självklara komponenten längs med phi går bort pga skalärproduktens inneboende egenskap, integrering ger

för bara på baksidan av stenen finns en hastighetskomponent som är vinkelrät mot stenens yta, detta ser sen enkelt ut om det inte vore för att

för strömningshastigheten är naturligtvis beroende av phi[0;a] som jag skrivit i bilden och en lekfull approximation kan vara

dar man kan se att om phi är "a" så är ur=ur (ingen hastighet går alltså förlorad) men om phi är 0 så går hastighet förlorad på ett sätt där om a är stor (bred sten) så är hastigheten bakom stenen ännu mindre (förmodligen faktiskt noll vid phi=0), så vi har att

där Phi nu är flödet för den slutna integralen har "öppnat upp sig" :)

Detta kan skrivas om enligt

eller

vilket är samma som

fast vad jag egentligen ville räkna ut var u_r alldeles innan stenens baksida, vi kan ta en annan falang ur fysiken för detta och nyttja den så kallade kontinuitetsekvationen som för inkompressibel vätska och icke-turbulent strömning ger om vi kallar strömningshastigheten in mot stenen för u0 och åns bredd utan sten för areamässigt S0 samt Sr för arean hos stenen alldeles innan vattnet passrar baksidan, då får vi

dvs ur är då

Jag propsar inte på att jag har rätt för jag tycker mest det är kul att spekulera amatörmässigt, MEN jag tror vi kan vara överens om att flödet [Vol/s] i en å med konstant bredd är "opåverkbart" dvs oberoende av om det ligger en större sten där i ån eller inte, med andra ord blir strömningshastigheten runt stenen högre än innan stenen där alltså strömningshastighet är samma som flödestäthet vilket kan ses som att (flödes)tätheten runt själva stenen blir högre om samma mängd vatten per sekund skall kunna ta sig fram trots stenen.

Kapitel LXXXIX, Stoke's teorem[redigera]

Visar en kurvintegral runt en kvartcirkel

Teoremet säger

Även här brukar jag se det som att det minskar med en dimension, teoremet kan skrivas om enligt

där delta sj är en liten yta bunden av Cj och avses gå mot noll (kan inte teckna limes snyggt) och när det gör det övergår uttrycket i Stoke's teorem, man kan se det som att ytintegralen över en rotation motsvaras av cirkulationen (eller eventuellt "arbetet") av samma vektor runt en sluten kontur.

Här fattar jag dåligt för om arbetet mellan två punkter kan skrivas

och om P2=P1 så har vi bara gått ett helt varv från typ toppen av ett berg ner och upp igen i dalen samtidigt som vinsten i lägesenergi då är exakt noll, dvs

men teoremet stipulerar att cirkulationen naturligtvis inte alltid är noll men varför inte ty netto arbete jag beskriver är uppenbarligen noll, jag får inte riktigt ihop det här men vi kan leka lite med ett fält som har rotation modell

för om vi tar rotationen på detta så får vi att det bara blir en z-komponent modell

ty F ligger i xy-planetvars normal är hat z, om vi sen stoppar in detta i arbetsintegralen ovan så får vi

där x2=x1 ty vi går ju runt vilket alltså fortfarande ger en integral som är noll, nej jag fattar fortfarande inte det här även om jag fattar att netto arbete om man släpar runt på nåt och kommer tillbaka till samma punkt är exakt noll.

Vi får titta på ett exempel av Cheng dvs exempel 2.14:

Om vi har vektorfältet

och önskar beräkna den öppna linjeintegralen

längs periferin hos en kvartcirkel enligt

så kan man göra det på följande sätt där vi först visar

vilket gör att

själva integreringen går sedan till på följande sätt (och jag skriver bara av Cheng)

eller

dvs

Nu är det här den öppna delen av cirkulationen men man kan visa att resten kring kvartcirkeln blir noll. Så om man släpar nåt helt runt en kvartcirkel med vektorfältet enlig ovan så blir tydligen inte arbetet noll, varför det? Hur kan ett arbete från en punkt, längs nån krokig väg tillbaka till samma punkt, INTE bli lägesenergi-förändringsmässigt lika med noll? Vad betyder vektorfältet enligt senast? Självklart kan man slänga in vilka variabelkombinationer man vill MEN vad betyder dom? Vi räknar nu på hela den slutna konturen enligt ovan bild, då blir

till att börja med

och för sträckan OA så är y=0, så "arbetet" för denna sträcka blir noll (ty dy är också noll), för sträckan BO är sedan x=0 så här blir arbetet också noll. Tycks alltså vara som så att kurvan man "arbetar" igenom måste vara krökt för att det skall finnas cirkulation och därmed ett arbete skillt från noll. Jag har ingen aning om detta är sant eller ej samtidigt som exemplets vektorfält egentligen inte säger mig nånting. Men vi tycks kunna konstatera att ett arbete från punkt A längs godtycklig väg tillbaka till A INTE alltid är noll. Kirschoffs spänningslag är dock alltid noll men man kan nog konstatera att vi inte har några komplexa vektorfält ivägen då :)

Kapitel XC, Två nollidentiteter[redigera]

Det finns två fall där vektormanipulationen blir noll, det ena är en rotation av en gradient, det andra är en divergens av en rotation.

Nollidentitet I[redigera]

Här har vi alltså en rotation av en gradient, enligt ovan kan vi dock skriva

och enligt Stoke's så har vi

eller

och detta är i princip Kirschoff spänningslag som alltså är noll runt en sluten kontur, pga ovan vektoridentidet så kan man byta ut gradienten av ett skalärt fält mot ett vektorfält t.ex enligt

där E råkar vara den elektriska fältstyrkan som en potential V sätter upp.

Nollidentitet II[redigera]

Här har vi alltså att divergensen av en rotation är noll, enligt Gauss kan vi skriva

den slutna ytintegralen kan sedan delas upp i två ytot enligt

varje yttintegral kan då konverteras enligt Stoke och vi får

där nu C1 och C2 löper åt olika håll varför

pga identiteten kan man byta ut rotationen av ett vektrorfält mot en vektorpotential enligt till exempel

där B råkar vara den magnetiska flödestätheten och A är dess vektorpotential.

Kapitel XCI, Helmholtz teorem[redigera]

Jag skriver lite ur huvet som vanligt och säger då att ett vektorfält är beskrivet, intill en konstant, om både divergensen och rotationen av vektorvältet är känt, som ni vet kallas ett divergensfritt vektorfält för soloniadal och ett rotationsfritt vektorfält för irrotational, detta gör att ett godtyckligt vektorfält kan tecknas

där man alltså får

Nu leker vi att F blir

respektive

fast här ser vi väl att vektorfältet F faktiskt är bestämt intill två konstanter?

sedan gäller följande:

om F är isotropt modell D-fältet från en punktladdning så kan vi se g som rho och få att

sen får man även

om G är strömätätheten J så är den sidan strömmen I, om sen F är homogen runt ett varv så kan vi döpa om den till H och vi får

där lm är den magnetiska längden, dvs ett helt varv.

Allmänt skulle jag vilja se g som nån typ av densitet och G som nån typ av flödestäthet (eller tryck).

XCII, Diverse fritänkande[redigera]

Här har jag tänkt fritt på alla plan, avsnitten är inte avsedda att vara faktamässiga och innehåller en mängd fel.

Fritänkande, hur en automover styrs upp mha kabel[redigera]

Jag har precis fått ett intressant elektromagnetiskt problem av en vän som lite ligger i fas med mina studier, han undrar hur en robotgräsklippare kan känna av ledningar i marken, utan att jag anser mig förstå så mycket hävdar jag att ledningarna är kopplade till AC-fas på nätet dvs de svänger med +/-325V peak (och 50Hz).

Enligt ovan har vi för statiska elektriska fält från ledningar att E fältet fås som

ur detta får man enligt ovan potentialen som

eller

dvs ju större avstånd (d) desto större potentialskillnad (relativt spänningen vid ledningens radie (a) men eftersom potentialen är logaritmisk så planar den ut för större avstånd, samtidigt gäller tydligen

I uttrycket för V ovan ser vi sen att potentialen är proportionerlig mot laddningen.

Med andra ord pumpas eventuellt laddningar (elektroner) både ut och dras hem till nätet kring ett medelvärde som inte är noll Coulomb.

Jordpotentialen kan således inte vara 0 Volt!

Jordpotentialen måste ha ett värde högre än noll Volt för att det skall kunna bli en negativ spänning ty allt är relativt som han sa och när man bara besitter möjligheten med att "sätta" potential med endast en typ av laddfning så måste antalet elektroner/laddningar pendla kring ett medelvärde som är skilt från "0st".

Men jag ser inga problem med att det eventuellt är så för vi vet ju att till exempel spetsiga byggnader attraherar laddningar och "tigger" om blixtnedslag pga stort E-fält (~Q/S, där S är spetsens yta) och dom gör det för att laddningar finns på jordytan och därmed är jordpotentialen inte noll!

Nästa steg i frågan är hur Automovern kan känna av ledningarna i marken.

Jag tror att eftersom det slussas laddningar in och ut på ledningarna för att följa nätets potentialförändring så skapas det faktiskt ett magnetfält trots att det inte går nån ström i egentlig mening.

Magnetfält skapas alltså alltid av laddningar i rörelse och har man magnetfält så kan man enkelt kalibrera sin Automover till att känna av en viss inducerad potential enligt Faraday's induktionslag i en spole med x antal varv.

Jag vet inte om jag har rätt i detta men det känns ganska bra, det som inte känns bra är ström i öppen ledning.

Fritänkande, potential vid näsan[redigera]

Jag kommer senare visa att följande gäller för punktkällor (och vad jag tror, sfärer av homogen laddningsdensitet).

Luft bryter ihop vid ungefär 3kV/mm.

Jordens radie är 6370km.

Hur många Q kan jorden härbärja innan det sker ett (blixt)genombrott?

dvs

så maximal mängd laddning är alltså nånstans

som jorden kan härbärja innan genomslag, man kan sedan räkna ut Jordens potential relativt oändligheten som

vilket ger en potential på ungefär 10^13V.

Denna spänning är dock relaterad till spänningen i oändligheten, i själva verket har vi ju typ näsan en meter ovanför jorden och då blir potentialen

som man kan skriva om som

vilket resulterar i en maximal potential vid näsan på runt 1V :)

Just nu får jag dock typiskt 22kV :D

Fritänkande, hur en automover vet vilken sida om kabeln den befinner sig på[redigera]

Jag har precis fått veta att den legendariska automovern faktiskt kan känna av på vilken sida om ledningen den befinner sig, detta gör att teorin om ren Faraday's induktion inte räcker.

På bussen idag kom jag dock på att det finns en manick som kallas Hall-Effect:Sensor (HES), den här rackaren kan alltså tom indikera statiska magnetfält.

Om vi nu lägger till min mycket amatörmässiga idé om att antalet laddningar på ledningen aldrig är noll utan potentialen fås som en variation kring ett medelvärde så kan detta eventuellt ge nåt.

För automovern är ju "galvaniskt" isolerad från ledningen varför den kanske upplever "bara" plus vad gäller potential, typ.

Detta gör i sin tur att magnetfältet från de elektroner som rusar ut och dras in på ledningen kan vara av typ stadig "nord" eller nåt, i vilket fall kanske den aldrig byter polaritet och med en HES ombord kan man då få automoverna att fatta på vilken sida om ledningen man kör.

Ett lekfullt exempel är att om man lägger en ledning med "230V-fas" i ett U och låter automovern löpa fritt inom U då kan det alltså bli som så att automovern typ alltid riktar höger sida mot ledningen för HES är inställd på det tecknet hos potentialen ut från HES.

Snacka om svammel-bok jag håller på och skriver!

Fritänkande, hur åska och åskledare fungerar[redigera]

Jag håller ju på och läser elektrostatik, i ett kapitel talas det om hur åskledare fungerar.

E-fältet vid övergång från luft till ledare kan tecknas

dvs normalkomponenten av E-fältet är inom en proportionskonstant lika med laddningarna delat med arean.

Så om arean S i form av en spets är mycket liten så blir E-fältet mycket stort.

Sen har jag förstått det som att det attraheras laddningar till åskledarspetsar men av MOTSATT tecken, vad nu det betyder.

Dvs innehåller åskmoln bara elektroner?

I det ideala fallet attraheras således "protoner" från marken för kraften är

Jag tror att även om åskledaren är av ledande material så innebär detta nödvändigtvis inte att det måste vara elektroner som klättrar på åskledaren utan det kan eventuellt även vara joner.

Detta för att på båda sidor hos en ledare i ett homogent E-fält så skapas det så kallade inducerade laddningar som i vissa formella fall faktiskt totalt motverkar E-fältet från säg en positron.

Jag får intrycket att laddningarna här inte behöver vara av nån speciell typ eller tecken utan laddningar (joner/elektroner) kan eventuellt klättra på åskledaren.

Detta om denna sida av problemet, men hur är det i molnet?

Jag har generaliserat med att det finns elektroner i molnet, endast.

Men det måste vara fel för plasmor finns inte naturligt på jorden eller i universum (annat än i stjärnor).

Så hur kan det finnas fria elektroner i molnet?

Och vilka är jonernas atomnummer?

Dvs vad är det för joner som finns i molnen, rimligvis borde det vara väte och syre från vatten.

För eventuellt är det som så att kosmisk strålning joniserar vattenmolekyler som ju avdunstar uppåt.

Men varför är molnet "polariserat"?

Om kosmisk strålning joniserat vattenånga, vad får elektroner och joner att hållas isär?

Märk att Coulombs lag säger att lika laddning repellerar och olika laddningar attraherar.

Så hur kan det finnas ett överskott på laddningar (av ett visst tecken) överhuvudtaget i ett moln?

Jag fattar inte det här.

Fritänkande, allt har kapacitans[redigera]

Man kan räkna ut kapacitans för saker genom att först teckna E-fältet som rätt allmänt ändå kan tecknas

sen kan man räkna ut potentialskillnaden hos en sfär med en inre dielektrisk sköld av dielektrika där Ri är inre radien och Ro yttre där man alltså går MOT fältet.

vilket ger

och eftersom

så får man kapacitansen genom att helt enkelt vända på uttrycket för potentialen och ta bort Q.

Om nu dielektrikat är vakuum och vi har en stor yttre radie så går potentialen mot

som alltså innebär att

dvs allt har kapacitans!

Till exempel så är kapacitansen för en proton -25F (testa Ri=-15m)

Jag har beslutat mig för att börja räkna på ett annat sätt dvs bara 10-potenser, precisionen blir då inte jättebra men jag kan tycka att en halv tiopotens (3,16ggr) är tolerans nog när man ändå inte vet vad man snackar om :)

Fritänkande, fält-emission[redigera]

Eftersom E-fältet är stort kring spetsiga saker så är också kraften enligt

stor.

Om man flyttar in detta resonemang till en situation där man typ har en plattkondensator med luft mellan plattorna och anoden kopplad till en spets av blyerts som föres nära katoden så borde man kunna få en ström utan att anodspetsen rör katoden.

Det som måste överbryggas är elektronens utträdesarbete ur metallen.

Elektronrör nyttjar värme men nu är katoden kall.

Jag har försökt fatta hur E-fältet spelar teoretisk roll i det här sammanhanget men fattar inte riktigt fast eventuellt gäller att spänning är energi dvs

dvs arbetet utgörs av att E-fältet jobbar på en laddning under en viss sträcka, man kan kanske även se detta som

sen har vi att

och arbete i ett homogent fält är

dvs

utträdesarbetet ur koppar är sedan 5eV och detta ger att d/S~1E8, om nu S=0,1mm^2 så räcker det med 1cm.

Frågan är sen vad dl är?

Arbete sker ju alltså över en sträcka, så vad är dl?

Jag har lite fattat det som att ledningselektroner finns i så kallade ledningsband (energiband) i metaller.

Och till skillnad från varm katod så finns inte elektronerna på ytan av metallen, dom finns en (fysisk) bit in.

Är det det som är dl?

Fritänkande, energi hos en klump laddningar[redigera]

Jag har nu fått lära mig tre sätt att teckna energin hos en klump laddningar och de är

och

och om man sätter in

så får man

där V' är den volym där laddningarna finns.

Den första ekvationen speglar tydligen bara "mutual energy" för man kan skriva

där Q2 har bringats flytta från oändligheten till punkten i fråga.

Eftersom vi antar att vi minst har en laddning till som inducerar så kan skriva om denna ekvation enligt

men denna kan samtidigt skrivas som

vilket innebär att för två laddningar så blir energin

Vk kan sedan tecknas

Jag har försökt koda att j inte får vara lika med k, därav de krångliga krumelurerna.

Det intressanta med uppgiften där man från början kanske har bara två laddningar är att dessa laddningar alltså inducerar spänning hos varandra dvs Q1 inducerar V2 och Q2 inducerar V1.

En annan intressant aspekt är att det alltid kommer att handla om inbördes avstånd dvs "R12" samtidigt som jag fått lära mig att energin hos en sfärisk jämn laddningsfördelning är (och jag anser lite försiktigt att detta är self-energin)

ty det är inte annat än potentialen i eV egentligen men multiplicerat med e blir det i Joule.

För att förenkla kan man säga att potential är energi.

Energin för en proton blir på detta sätt ungefär +6eV.

Om man leker med tanken att Q1=Q2=e och V1=V2 (dvs på typ samma avstånd från oändligheten) så har man att

där R12 är avståndet mellan laddning 1 och 2, och om man tittar på vad jag skulle vilja kalla "self-energy" så har man

där alltså radien är b och kvoten mellan energierna således

med fördel för self för att atomer kommer helt enkelt inte så nära varandra som den energi kärnan hos en atom har på randen.

Jag skulle vilja påstå att den här kvoten är minst +5 för elektronerna susar omkring på ett rejält avstånd från kärnan (Bohr-radien är typ 100000ggr större än kärnans radie) vilket i praktiken gör att den enda energi man behöver ta hänsyn för hos en atom är self

Fritänkande, bygge av E-kanon[redigera]

Jag har haft funderingar på att bygga en E-kanon :)

Jag har fått lära mig att E-fält faktiskt strålar genom allt.

Det får påverkan medans det strålar genom olika typer av material men på andra sidan fortsätter det bara.

E-fältet från en "strålande" punktformad laddning är

dvs den går som

och den gör det genom alla material.

Det intressanta är sedan vad som verkligen händer när ett E-fält möter en bit metall där alltså E-fältet i metallen är noll bland annat för att det inte finns några fria laddningar inuti metallen.

Eftersom E inuti metallen är noll så blir netto strålad E noll på ett sådant sätt att E-fältet från laddningen visst har E vid plåten MEN plåten vänder fullständigt på dess E-fält modell induktion och E-fältet vid metallen blir noll.

Lite hafsigt kan jag sedan säga att detta lite även gäller dielektrika för även om E-fältet i dielektrikat inte kompenseras bort fullständigt så blir det de facto en kompensation som gör att E-fältet genom ett dielektrika sjunker rätt rejält, hur mycket beror på permitiviteten och därmed polarisationen.

Så oavsett vad man har för material i vägen för E-fältet så dels sjunker E-fältet i mediat, dels fortsätter det på andra sidan.

Har man en metall i vägen så innebär det alltså att det induceras laddningar på dess yta och det är det jag säger ovan.

Med andra ord kan man kanske fånga elektroner genom att "bestråla" en metall med E-fält och bara mäta potentalskillnaden mellan "front" och "bakstycke".

Det låter absurt för plåten har noll resistans :)

Men enligt vad jag har lärt mig så verkar det ändå gå (dock inget sagt om voltmeterns resistans).

Återstår då att bygga en E-kanon.

Om det nu är möjligt men jag lurar på om inte två platta metallbitar modell en plattkondensator med ett litet hål i katoden kan utgöra en "E-kanon".

Elektrostatik är noga med att vinkeln mellan "E-fältstrålarna" och de ekvipotentiala metallytorna är 90 grader.

Om man då tänker ett hål i en plåt...

Vad händer?

Jag tror att E-fält kommer sippra igenom hålet men vända tillbaka efter en "stund".

Frågan är hur långt "E-fältstrålen" kommer innan den tvingas vända?

Det är den första frågan. Den andra är om jag kan lyckas detektera den på det sätt jag tror.

Fritänkande, hur seriekopplade kondensatorer får samma Q[redigera]

Om man säg har ett torn med dielektrika och metallplattor med jämna mellanrum så har man ju i praktiken seriekopplade kondensatorer.

Jag har fått lära mig att när man seriekopplar kondensatorer så får alla plattor samma Q.

Hur går det till när "plast" inte leder ström?

Jag har tänkt en hel del på detta och tror mig kommit fram till nåt.

Säg att du har en isolerad laddning Q, och det lite längre bort finns ett metallskal, i metallen kan inga E-fält finnas (och inte fria laddningar) varvid E=0 i metallen.

Inte jättesvårt att förstå men det intressanta är att det induceras laddningar på metallen som skapar ett såpass stort motriktat E-fält att E=0 i metallen!

På ytan av metallen finns alltså +/-:laddningar där alltså minus är överskott på elektroner och plus är underskott.

Metallen motverkar alltså fullständigt E-fältet.

Om man istället tittar på ett dielektrika så uppför det sig faktiskt rätt snarlikt, om permittiviteten är hög så blir kompensationen pga polarisationen stor och kompenserar nästan helt laddningens E-fält.

Det intressanta är dock att dielektrika innehåller dipoler och alltså inga fria ladddningar.

En tanke jag har vad beträffar vad som händer när man först slår på en spänning över en serikopplad kondensator är att dipolerna vänder arslet mot E-fältet, dom vill helt enkelt inte vara med!

Jag har fått denna idé pga ett enkelt exempel av Cheng där det riktas ett externt E-fält mot ett dielektrika och alla dipoler riktar in sig med fältets riktning.

Vilket håll tänker man lätt.

Men svaret är faktiskt väldigt enkelt för eftersom man inte tillför nån energi så kan inte E-fältet förstärkas utan det måste försvagas.

Samma gäller vår kondensator tänker jag.

Och om dipolerna ligger huller om buller innan tillslag så är det rimligt att tänka sig att under det "transienta" tillslaget så rättar dom in sig så att dom motverkar E-fältet (som i detta fallet är enkelt dvs V/d) och iom att E-riktningen internt hos dipolerna är från plus till minus och dom vill motverka fältet, då måste dom vända arslet uppåt!

Vilket man kanske kan se som att dielektrikat "gräver" upp elektroner från katoden och dumpar det på anoden?

På den översta plattan får vi då elektroner trots att plast inte leder ström och dessa kommer accelereraras med den sugande kraften av batteriets Emk till katoden där allt stabiliserar sig.

Men med noll Ohm som seriemotstånd vid spänningstillslaget lär det bli adjöss med både batteri och kondensator :D

Polarisationen är sedan

och man kan visa att polarisationsytladdningstätheten är

vilket, eftersom P följer E's riktning, ger vid handen att uppifrån i vår kondensator så är ytladdninstätheten på toppen

och på botten

riktningen för n är alltid in i mediat.

Vilket bevisar att +Q/S är på de övre plattorna och -Q/S på de nedre och eftersom P är proportionerligt mot E som är konstant här, så får alla plattor samma ytladdningstäthet.

När man seriekopplar kondensatorer brukar man säga att Q är konstant men ovan visar att det rent strikt inte är Q som är konstant utan ytladdningstätheten, Q/S.

Fritänkande, den energi som går åt att bygga en klump laddning[redigera]

Jag var igår mycket osäker på det här och började skriva om det men internet gick ner så jag tappade allt.

Nu har jag fått tänka om och faktiskt blivit lite klokare, tror jag.

Man kan räkna ut energiåtgången för att bygga en klump laddning på minst två sätt, båda genererar

där V(b) är den "klassiska" egen-energin enligt mig för det är den energi laddningsklumpen har när man ser till det arbete som krävs för att flytta en enhetsladdning från oändligheten till punkten ifråga, jag kallar det för "bias-energi".

V(b) kan man sedan teckna som linje-integralen av E-fältet från oändligheten till punkten i fråga (alltså, mot fältet)

där E för en punktladdningsformad sak blir enligt Gauss's lag

varför

som med radien b insatt blir

detta kallar jag alltså bias-energi hos vår sfäriska laddningsfördelning, differentialen av V(R) blir sedan

där alltså

vilket verkar innebära att integrering skall ske utifrån och in för att få ett positivt resultat samtidigt som detta inte är hela sanningen för potential ökar alltså när man närmar sig en laddning, nu till det intressanta, ett korrekt sätt att räkna ut energin för skapandet av en laddningsklump som vi kan kalla kärna ger alltså

Om vi annars tittar lite på vad som händer så händer följande (2/5 försvinner från V(b)):

Vi befinner oss i två regioner där Q måste definieras olika dvs för första regionen UTANFÖR laddningarna får vi

och för andra regionen INNANFÖR laddningarna får vi

Jag vill sedan alltså se det som att detta alltid gäller

vilket ger för V_1

vilket ger

sen har vi

och

differentialen av energin blir sedan

här tänker jag

detta kan dock integreras på lite olika sätt, om vi börjar utanför laddningarna så fås

som egentligen kommer av att potential skapas av att man släpar laddningen mot fältet, integrerad blir denna

som man också kan se som

Detta kallar jag alltså bias-energi för den laddade kärnan har energi pga att den helt enkelt finns, jag kommer visa att det går åt 2/5V(b) för att också bygga kärnan (så det förloras alltså energi pga detta), om vi bara bygger kärnan kan man på grund av differentialen av potentialen skriva

och detta blir enligt ovan

eller

som blir

och om vi nyttjar definitionen av laddningstätheten rho så får vi

vilket blir till

vilket gör att

vilket skulle visas.

Dom här 2/5 tycks alltså gå åt för att bygga en klump laddning, om energin är V(b) eV så tycks det vara den energi som typ "brutto" en klump laddning har i kosmos och det är faktiskt inte så svårt att föreställa sig att det går åt energi för att bygga laddningsklumpen så dess totala energi måsta vara mindre än den på randen (som jag kallar bias-energi, V(b)).

Jag är på hal is här men jag tror att man beräknar energin som V(b) när man termiskt försöker penetrera en kärna, om jag är i närheten av ha rätt så tjänar man faktiskt nästan en halv magnitud på att inse att man bara behöver komma upp i 2/5 V(b), ekvationen för en proton kan bli att se ut

dvs

som faktiskt är mer är en halv magnitud mindre än eV(b), fast vad hjälper det när

och detta är alltså lite grovt lika med kT vilket ger

Fritänkande, differentialekvationsträning medels en högtalares konutslag[redigera]

Jag har tänkt tokigt mycket på detta under min bussresa idag.

Tänker mig gummiupphängningen som en fjäderkonstant (ju större desto mer kraft krävs för att röra den).

Sen tänker jag att det eventuellt finns två scenarion där det ena är att elementchassit är bom stilla och det andra är att membranet är bom stilla.

Detta kan kanske ge två olika förflyttningar för membran respektive chassie.

Klassisk fysik säger att en fjäder fäst i vägg med en vikt svänger enligt följande diffekvation

och det finns ett par sätt att lösa denna på där jag börjar med min favorit dvs komplexa tal (som dock inte ger nån amplitudinformation utan mest att det svänger och vid vilken vinkelfrekvens)

Säg att

derivering en första gång ger då

derivering en andra gång ger

och detta är lika med

ur detta får man

som alltså bara ger svar angående att det svänger och med vilken frekvens det svänger.

För att få svar på hur mycket det svänger krävs andra trick, dvs rena diffekvationer, följande gäller nog

denna integrerar vi en första gång och får

v(0)=0 vilket ger att C1=0, integrerar vi en gång till får vi

x(0)=0 vilket ger att C2=0, alltså

och således den kompletta ekvationen

Slutligen tror jag på att t skall väljas som T/2 ty vi avser repetitiva signaler här och efter T/2 vänder godtycklig periodisk funktion vilket gör att om man föreställer sig att accellerationen är ett steg så blir första integreringen en ramp och andra integreringen en parabel, parabeln liknar sen en sinus.

Så genom att sätta in t=T/2 får man

jag hade alltså en trevlig diskusion med en vän om hur man skulle kunna få elementchassit att vibrera mer, han föreslog att man skulle hänga på en vikt på konen och jag tror mig anse att formeln ovan gäller för ANTINGEN membranet ELLER elementchassit så det är bara att sätta in respektive massa.

Det här nog fullständigt fel :D

Ja, det är fel för båda x är x(t) som återigen kan förkortas bort dvs vi får inget svar på amplitud, ett lite mer seriöst försök är att komma med en ansats, går diffekvationen ut så är ansatsen riktig och efter en hel del trevanden så har jag kommit fram till att följande ansats fungerar

för se vad som händer vid första derivering

som för

ger att

vilket ger att

som vi deriverar igen och får

och

vilket ger

med andra ord är

så att

Vilket är lösningen, dock vill vi hellre se på vårt utslag x(t) och med ovan randvillkor insatta får man

Jag kan inte riktigt motivera det här men överst får vi en stationär (som jag kallar det) lösning vad gäller vinkelfrekvensen för systemet och jag repeterar pga lämplighet (som engelsmän säger)

vilket jag tror d skall ersättas med för vi har antagit en avklingande funktion och då klingar t alltid av relativt en periodtid modell 1/w, jag kan sen gissa att t=T/2 ty konen är driven av en periodisk funktion som vänder vid T/2.

Jag vet som vanligt inte vad jag snackar om men om mitt antagande är riktigt fås istället (nyttjar f=1/T)

Min Tangband subbas har ungefär dessa data:

k=1/300u N/m

m=30g

=>ws=300rad/s eller fs~50Hz

då kan vi skriva

Blir inget klokare :)

Fast för lite lägre frekvenser fås (den sista termen är så liten så den kan man räkna bort)

Hur låga? 1/300f måste alltså vara mindre än 1/4f^2 för min subbas, detta ger f<75Hz

Så för frekvenser under 75Hz så rör sig min subbas kon som ovan dvs inverst relativt frekvens^2.

Fick lära mig nåt intressant av min E-fältguro David K. Cheng idag dvs har man hittat en lösning till en diffekvation så är det den ENDA lösningen så eftersom "patiensen" gick ut ovan så har jag löst diffekvationen, hur man sen tolkar den är en annan sak.

Fritänkande, brumanalys[redigera]

Tycker PCB vad gäller rörförstärkare suger rent allmänt men när det gäller så små strömmar och spänningar som hos försteg så kan det eventuellt funka.

Slutsteg komer jag dock alltid bygga i luften ty PCB är kasst på höga strömmar och höga spänningar.

Nåväl, jag är på G med två RIAA-förstärkare som alltså luftbyggs.

Vad är nu problemet?

Jo, signalnivån är ynkligt liten och man riskerar lätt brum.

Så hur ska man göra då?

Jag kan inte säga att jag vet men jag har idèer modell Maxwell's ekvationer där två av dom fyra eventuellt kan skrivas:

som också kallas för Faraday's induktionslag, andra ekvationen blir

som jag tror kallas Ampere's lag, jag tror sen att Ifri typ är DC vilket vi alltså kan strunta i vad gäller brumaanalys, sen kan man förenkla ekvationerna på ett nästan barnsligt sätt (som dock är giltigt om B och D är homogena genom hela ytan S):

Med andra ord induceras en spänning i en slinga (S) om det finns en tidsvarierande magnetisk flödestäthet (B) i närheten samtidigt som det induceras en ström i en ledares area (S) om det finns en tidvarierande elektrisk flödestäthet (D) i närheten.

Detta kan eventuellt ses som om man har en slinga och den terminerar i ett motstånd typ ingångsmotståndet till röret och motståndet är av lite storlek, då blir den inducerade strömmen inte så stor och bara 92.104 gäller.

Om slingan terminerar i ett litet motstånd så borde dock även 92.105 behöva komma med i beräkningarna ty det kan då gå ström.

D är förresten epsilon gånger E där E är den elektriska intensiteten med enheten V/m, intensitet när det gäller "saker" per sträcka har jag hittat på, utöver x/m som intensitet kallar jag x/m^2 som täthet och x/m^3 som densitet (även om densitet lite är reserverat för kilo/m^3)

Fritänkande, divergens hos tryck-fält[redigera]

Häromdan blev jag att tänka på en eventuell analogi till postulatet

där jag kallar D för laddningstryckfältet, rho är sen volymsladdningstätheten som jag skulle vilja kalla laddningstätheten, således borde man kunna skriva

där p är det gravitationella tryckfältet från en massa och rho är densiteten (eller masstätheten) för vi kan ju normalt skriva

och vi kan det för

Men vi skulle kanske även kunna skriva

där p är trycket modell ett tryckfält som strålar från en massa likt ett gravitaionsfält.

Gauss lag säger oss att en liten punktladdning (Q) ger upphov till ett laddningstryckfält (D) som strålar isotropiskt och innebär att om man kan hitta en Gaussisk area som hela tiden är vinkelrät mot D-fältet, så kan man räkna ut D-fältet helt enkelt genom att dela laddningen med den sfäriska ytans area vilket resulterar i laddningstryckfältet (aka D-fältet).

Jag tror man kan göra på samma satt med en massa (m) men då har man istället ett gravitationellt tryckfält (p) som massan gett upphov till ty p från en liten punktmassa är isotropiskt, uträkningarna verka kunna fungera på samma sätt som enligt Gauss lag ovan med det enda förbehållet att svaret blir en något udda enhet modell masstryck dvs massa per ytenhet.

Jag tror faktiskt att man kan räkna på det här sättet, kruxet kan dock i praktiken vara att det gravitationella tryckfältet fältet p inte strålar isotropiskt ty planeten jorden håller ju kvar oss på ytan...

Man kan skriva ovan på ett annat sätt genom att anta att

då får man

om nu tryckfältet p är isotropt och vinkelrätt mot ytan så blir

enhetsmässigt står det alltså här a*masstrycket, dvs om

så är a*masstrycket lika med den gravitationella kraftfältet F mellan två massor.

Här är det rätt viktigt att notera att a också måste vara isotrop, linjär och homogen för det är bara då man kan integrera upp masstätheten som jag gjort.

Del VII, ELEKTROMAGNETISK FÄLTTEORI[redigera]

Detta kapitel behandlar laddningar som dels är stilla (elektrostatik) dels är i rörelse (elektrodynamik).

Jag har efter noga övervägande kommit på att jag vill ändra nomenklaturen lite, jag har alltid ojjat mig över hur olika lektorer inom typ samma ämne nödvändigtvis måste ha olika beteckningar på saker men nu gör jag lite likadant.

Jag kommer således köra med följande:

1) E (Electric Field Intensity) Elektrisk Fältstyrka får ha kvar sitt svenska namn [V/m=N/C]

2) D (Electric Flux Density) Elektrisk Flödestäthet döps om till Laddningstryckfält [C/m^2=As/m^2].

3) H (Magnetic Field Intensity) Magnetisk Fältstyrka får ha kvar sitt svenska namn [A/m]

4) B (Magnetic Flux Density) Magnetisk Flödestäthet döps om till Magnetiskt tryckfält [T=Vs/m^2]

5) rho_v (Volume Charge Density) Volymladdningstäthet döps om till Laddningstäthet [C/m^3]

6) rho_s (Surface Charge Density) Ytladdningstäthet döps om till Laddningstryck [C/m^2]

7) rho_l (Line Charge Density) Linjeladdningstäthet döps om till Laddningstyrka [C/m]

8) rho (Mass Density) Densitet döps om till Masstäthet [kg/m^3]

9) Q (Charge) laddning får ha kvar sitt svenska namn [C]

10) Phi (Magnetic Flux) Magnetiskt flöde döps om till Magnetism [Vs=Weber]

11) U (Voltage) Spänning får ha kvar sitt svenska namn [V=J/C]

12) I (Current) Ström får ha kvar sitt svenska namn [A]

13) J (Current Density) Strömtäthet döps om till Strömtryck [A/m^2]

14) Js (Surface Current Density) Ytströmtäthet döps om till Ytströmstyrka [A/m]

Kort och gott, x/m kallar jag Styrka, x/m^2 kallar jag Tryck och x/m^3 kallar jag Täthet, när det gäller vektorer lägger jag dock till ordet fält.

Introduktion till elektromagnetiska formler och enheter[redigera]

Här tänker jag raljera över Maxwell's ekvationer utan att egentligen ha nån egen koll annat än att jag tänker på vad storheterna står för

...[Gauss Lag]

...[Weber's Lag]

...[Ampere's Lag]

...[Faraday's Lag]

Det är intressant med dimensionsanalys när man försöker förstå, dessa dimensioner får man om man tänker efter:

...[permittivitet]

...[permeabilitet]

...[laddningstryckfält]

...[magnetiskt tryckfält]

...[elektrisk fältstyrka]

...[magnetisk fältstyrka]

När man räknar på spolar kan man skriva:

För kondensatorer kan man skriva:

Kapitel XCIII, Definition av Elektrisk Fältstyrka och Gauss Lag[redigera]

Visar E-fältet från en punktladdning.

Elektrisk fälstyrka definieras

som alltså har enheten N/C även om dess enhet är mer allmänt känd som V/m, vi kan leka lite med enheter och får

Det här var ett trivialt exempel men jag har fått lära mig att enhetskontroll på grejerna bidrar till högre sannolikhet att man klarar tentan, en variant av definitionen är

Som alltså innebär kraft i Newton per laddning och fältstyrka, sen visar jag två fundamentala postulat hos E-fältläran, dessa är

för E-fält i vakuum, det andra postulatet är

och det är dessa två postulat som bygger hela elektrostatiken.

Det första postulatet visar alltså att E-fältet divergerar i rho med en proportionalitetskonstant, detta betyder att E-fältet typ "landar" eller utgår från laddade kroppar.

Det andra postulatet visar att E-fältet är "virvelfritt" dvs det finns inga virvlar, det bara landar normalt till laddade kroppars ytor.

En punktladdning strålar lika mycket E-fält åt precis alla håll (rimligen), om laddningen är Q så är laddningstrycket

dvs den laddning man har per areaenhet vid ett visst avstånd R, enligt tidigare vet vi att

eller

integrerar man upp det här mha Gauss Teorem så får man

som bär namnet Gauss Lag, för enklare symmetrier som vår punktladdning får man således

eller

Här ser man att D-fältet helt enkelt är laddningsdtrycket rho_s, delar man med epsilon får man E-fältet

Jag brukar lite lekfullt skriva Gauss lag som

där Qt står för "sändande Q" och Sg står för "Gaussian Surface" dvs den yta som ligger vinkelrätt mot E-fältets utbredning, kan man således hitta en sån area så funkar formel rakt av, MEN det gäller att arean hela tiden är vinkelrät mot fältet.

Kapitel XCIV, Coulombs Lag och potential[redigera]

Arbete runt en sluten kontur

Eftersom definitionen av E-fält innebär

och E-fältet för en punktladdning kan skrivas

så blir kraften

som också kallas Coulombs Lag vilken visar kraften mellan två punktladdningar.

Potential kan sedan härledas från det arbete som krävs för att flytta en laddning från oändligheten till punkten ifråga, man kan skriva detta som

där arbetet alltså sker mot fältet, i själva verket ska allt multipliceras med q för att få Joule men om man skippar det får man energin i eV istället vilket är lite mer vedertaget, minustecknet visar att arbetet sker mot fältet.

Arbetet runt en sluten kontur är alltid noll vilket innebär att om man står på en höjd bland berg och dalar och går ner och upp i dalarna varvid man kommer tillbaks till samma plats så är (netto)arbetet noll.

Man kan se det som att lägesenergin är samma i slutet som i början vilket är upprinnelsen till Kirschoffs spänningslag där ett varv i den elektriska slingan innebär att potentialen i början är samma som i slutet, detta kan tecknas

det sista uttrycket kan sedan tecknas över två skarvade konturer som

eller

vilket ger

eller

V.S.V

Kom dock ihåg att detta bara gäller vektorer, för funktioner eller skalärer gäller inte detta vilket jag bevisar i nästa kapitel.

Kapitel XCV, Vektoriellt arbete vs skalär linjeintegral[redigera]

En väg att integrera efter

Om vi börjar med skalär linjeintegral runt den slutna kvartcirkel-konturen OAB så får vi om vi nyttjar att r=3

man får detta t.ex pga att

som är lika med r i x-led ty phi är noll, jag har förenklat en aning av tydlighetsskäl, det är sedan enkelt att se att integrationen i y-led är negationen av integrationen i x-led så dessa två tar ut varandra, kvar har vi

denna är lite lurig att integrera men den primitiva funktionen till

är enligt Beta

med b=9 och integrationsgränsena insatta får vi

Om vi nu istället tittar på arbete runt vår slutna kontur modell

och tittar på

som är likamed

Det är enkelt att se att den första och den sista integralen tar ut varandra, kvar blir

Här räcker det sedan att titta på skalärprodukten av

som är ortogonala och därmed noll.

Med andra ord är arbetet runt en sluten kontur när det finns nåt slags fält noll, man kan se det lite såhär att säg att du släpar på en stenbumling på friktionsfri is, för minsta hastighetsökning krävs en kraft som i vårt fall är riktad radiellt för man kan se ovan exempel som

Och då har man en kraft i radiell led, men vad händer om hantaget vinklas?

Jo, ingenting annat än att man kanske lyfter stenbumligen mer men det är i alla fall inget arbete att vinkla handtaget.

Kapitel XCVI, E-fält från ett gäng diskreta laddningar[redigera]

E-fält från en punktladdning i rymden

Jag anammar härmed Cheng's notation att källkoordinater är primmade medans fältkoordinater är oprimmade.

Man kan skriva E-fältet från en punktladdning "off-axis" enligt figur som

På detta sätt får man nämligen med enhetsvektorn som normalt är

Superposition funkar i dessa kretsar också så för ett antal qk kan man skriva

Alla R är här alltså vektorer.

Kapitel XCVII, Potential från en dipol[redigera]

E-fält från en dipol

Använder vi vektorbeteckningarna enligt bild och nyttjar att potentialen från en ponktladdning kan skrivas

så kan vi med hjälp av identideterna

och

teckna potentialen i godtycklig punkt P enligt superpositionsprincipen (och jag kör theta=0 för enklare formler) dvs

ty laddningarna är av olika tecken, om vi utvecklar vidare så innebär detta att potentialen går som

eller

som kan arrangeras om enligt

som på lite längre avstånd övergår i

dvs potentialen från en dipol kan skrivas

eller

där p kallas det elektriska dipolmomentet (p=qd), nu snackar vi dock vektorer och dom har speciellt rktning, det är lätt att inse att vektorn d har riktningen i z-led, dvs det är vad som finns i z-led som bygger potentialen, den delen av potentialen som finns i z-led kan man teckna som en skalärprodukt enligt

så att formeln ovan egentligen ska vara

Observera att nettodimensionen fortfarande är 1/R ty p har dimensionen "R".

Jag borde egentligen visat detta för E-fält eftersom vi inte kommit till potential än men dels är det lite knöligare att visa detta för E-fält från ett par punktladdningar dels är det i regel enklare att derivera saker än att integrera saker då E-fältet kan fås från ovan genom vektoridentiteteten

där nabla är en deriveringsoperator i tre dimensioner som jag kommer återkomma till.

Kapitel XCVIII, Strålning från en dipol[redigera]

Strålningsdiagram från en dipol

Denna ekvation enligt ovan

kan skrivas om som

där theta räknas uppifrån och ner, detta ger alltså potentialen som proportionell mot cos(theta), definitionen av det elektriska fältet är sedan också enligt ovan

där vi bara är intresserade av vad som händer för vinkeln theta dvs

vilket ger vidstående strålningsdiagram, normalt betyder annars deriveringsoperatorn nabla för sfäriska koordinater

Observera att E-fältet alltid är vinkelrätt mot potentialen

Kapitel XCIX, E-fält från en laddningsmängd[redigera]

E-fältet från en klump med laddning

E-fält från en punktladdning kan skrivas

Potentialen hos en sån punktladdning kan sedan beräknas enligt

genom att föreställa sig släpandet av en enhetsladdning från oändligheten mot fältet (därav minustecknet) till punkten ifråga, med andra ord har vi

som differential i ena fallet och

i andra fallet där det i båda fallen alltså handlar om en en rymdladdningstäthet (rho) som kan integreras upp till en laddning Q, primmade koordinater anger alltså källan så att man kan skriva

för E-fältet på lite avstånd och

för potetialen på lite avstånd.

Utöver rho finns två varianter till nämligen rho_s som är en ytladdningstäthet och rho_l som är en längdladdningstäthet, totalt genererar detta alltså sex stycken integralformler men skillnaden är principiellt så liten så jag listar dom inte här.

Det behöver sedan inte vara så stora avstånd men för till exempel E-fältet från en större klump med laddning på nära håll så skulle både enhetsvektorn och R variera under integreringen, dessutom kan rho variera.

Kapitel C, E-fält från en stång med homogen längdladdningstäthet[redigera]

E-fält från en laddad stång

Med hjälp av ovanstående formler kan vi teckna potentialen som

där rho_l lyfts ur integralen ty den är konstant och sträckan R är z-z' där primmade koordinater alltså reprensenterar källan, vi får då uttrycket

eller

så att potentialen blir

eller

där z>L/2 och eftersom vi bara kan derivera i z-dimensionen kan man skriva

och när vi gör deriveringen får vi

vilket ger

gemensam nämmnare modell

ger

eller

alltså är E-fältet

Kapitel CI, E-fält från en oändligt lång stång[redigera]

E-fält från en lång stång

Vi börjar från andra hållet här, E-fältet kan enligt ovan tecknas

som man kan skriva som

och eftersom det råder symmetri i z-led (ganska nyttigt att tänka på sånt) så behöver det bara integreras i r-led enligt

där R^3 kan utvecklas som

ty R är hypotenusan, då får vi

Jag kommer just nu inte ihåg hur man löser den här integralen, nu har jag listat ut det

bara för att det är skoj och nyttigt att verifiera kan vi derivera ovan där vi skippar prefix, då får vi

om vi nu förlänger första termen med

så får vi

där man ser att bara r^2 blir kvar som vi delat bort i vårt prefix, integralen blir alltså

som blir

ty z' ändrar tecken så att integralen blir 2, lite smått meningslöst så kan man sedan teckna potentialen enligt

där vi alltså integrerar mot E-fältet (därav minustecknet) som då genererar uttrycket

där aktuell potential i praktiken är en potentialskillnad hos t.ex en koaxialkabel (som har två gränser) men vi har nu gått åt andra "hållet" när det gäller skapandet av uttryck för E-fält och potential (V).

Kapitel CII, E-fält från en oändligt lång stång medels Gauss lag[redigera]

E-fält från en laddad stång enligt Gauss lag

Gauss lag enligt ovan lyder

där normalvektorn n alltså är vinkelrät mot ytan, man kan lite lekfullt skriva om denna som

om E inte ändrar sig under integreringen och man har symmetrier där ytan alltid är vinkelrät mot E-fältet där då arean kallas Gaussisk Area (SG) samtidigt som jag hittat på att E-fältet ju skapas av laddningen som man kan betrakta som en sändare eller QT där T står för transmitter, om detta gäller får man en rätt universiell formel för E-fältet enligt

I detta fallet har vi pga symmetriskäl att Ez går bort då integration ovanifrån ger ett lika stort negativt bidrag (riktningsmässigt) som integration nerifrån, kvar har vi Er där min bild visar på just den symmetri som gör att vi kan nyttja den enklare formeln direkt, vi får alltså att

och eftersom

så kan man skriva

vilket är bra mycket enklare sätt att få fatt i E-fältet än ovanstående komplexa integrering, men kom ihåg att man måste finna en Gaussisk area varje gång.

Kapitel CIII, E-fält från en laddad skiva[redigera]

E-fält från en laddad skiva

Man kan enligt bild skriva E-fältet som

där

som gör att man kan skriva integralen som

sen kan man skriva "sändande yta" som

så att allt blir

där man av symmetriskäl (om man roterar runt) ser i bilden att det inte blir nåt bidrag i r-led dvs vi får

och integralen, när man integrerar runt ett varv, blir

eller

som kan integreras enligt

där b är radien hos skivan, dvs svaret blir

eller

Ser nu i min litteratur (Cheng) att detta faktiskt inte är helt fel, dock är det ett teckenfel men bara för att uttrycket för normala z blir mindre än noll, dock är den primitiva funktionen fel vad beträffar tecken, detta kan man åtgätda genom att kasta om integrationsgränserna, då får man

sen är E-fältet lika positivt neråt som uppåt för laddningen (rho_s) är positiv dvs rätt svar blir kanske

fast jag tror ändå inte man kan skriva så för E-fältet är visserligen positivt både uppåt och neråt men neråt är riktningen i minus z-led så jag tror faktiskt man måste skriva att för positiva z blir lösningen

medans E-fältet för negativa z måste skrivas

ty E-fältet är då riktat i negativ z-led samtidigt som det har samma belopp.

Kapitel CIV, E-fält från en laddad loop[redigera]

E-fält från en laddad loop

Man kan teckna E-fältet såhär

där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs

och

av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss att integrering bara behöver göras enligt

vilket vi kan skriva som

detta ger alltså

där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att om z=0 så är E-fältet noll (vilket vi nog kan tolka som en r-symmetri) sen är E-fältet för negativa z negativt vilket vi nog kan tolka som att E-fältet är positivt fast i negativ z-led, E-fältet bör nämligen, för positiv laddning, vara positivt åt båda hållen anser jag lite försiktigt.

Kapitel CV, E-fält från ett spetsigt objekt[redigera]

E-fält från ett spetsigt objekt

Om vi applicerar totalt Q på båda kloten så får vi potentialen på det lilla klotet som

och på det stora klotet

nu är potentialerna lika för vi har ju förbundit dom enligt figur varför gäller

pga laddningskonservering är sedan

eller

dvs

eller

eller

och det är rätt enkelt att se att för Q2 gäller

nu kan vi teckna E-fälten modell

tar vi sedan vardera E-fält relativt varandra får vi

eller

dvs den minsta (kröknings)radien får det största E-fältet.

Kapitel CVI, E-fält från ett moln av positroner[redigera]

E-fält från ett laddat moln

Ett E-fält från en punktladdning kan enligt ovan skrivas

eller

detta kan också skrivas

för det är bara variationen av Q(R) vi är intresserade av, för det interna E-fältet kan man då skriva

eller

om man sen tittar på det yttre fältet får man

eller

eller

varför R^2 plötsligt inte är med i integranden vet jag inte, det kan dock ha att göra med att vi här inte avser en enda punktladdning utan ett stim med laddningar som på avstånd ger en total laddning som motsvarar volymen gånger volymladdningstätheten, rho.

Fritänkande, försök till fördjupning[redigera]

Jag har nu kikat lite i Cheng och börjat att eventuellt förstå bättre, man ska nämligen använda Gauss lag enligt

och

där Gauss lag enligt

ger att flödet (och därmed integralen) blir

som alltså är konstant för varje R, återstår att integrera upp laddningen Q och sätta in i Gauss lag, när man gör det får man min tidigare lösning, tycker dock fortfarande att detta inte riktigt förklarar varför sedvanlig integralformel enligt ovan inte fungerar, den funkar ju i alla andra fall som till exempel behandlar ett litet volymselement i en homogen laddningsfördelning.

Kapitel CVII, Definition av elektrisk flödestäthet och polarisationsvektorn[redigera]

Visar hur ett polariserande E-fält gör så att dipolerna spjänar emot

Pga enligt ovan

och

kan man skriva

som resulterar i

och om man då definerar polarisationsvektorn P enligt

där N är antalet polariserande dipoler, då kan man skriva

och man får

Beviset för rho_p och rho_ps är sen lite komplicerat så jag kör på med min intuition istället, om vi pga smidighet går händelserna lite i förväg kan vi definiera

där D kallas för elektrisk flödestäthet som jag kommer komma tillbaka till lite senare, vi kan då skriva

där vi nyttjat postulatet

och Gauss teorem för att komma från en volymsintegral till en ytintegral, på ett lite lekfullt sätt kan vi sen skriva om detta uttryck som

så att

och

där rho_s har samma dimension som D men är ingen vektor, här har jag sen upptäckt nåt jag tidigare inte riktigt fattat för när man tar divergensen av rho_s så går man i praktiken från 1/R^2 till 1/R^3 dvs från rho_s till rho_v och man får en volymstäthet istället ty man deriverar mest bara, jag gissar sen att man kan skriva

vilket enligt ovan skulle kunna betyda att

och

som kan skrivas om enligt

respektive

dock är det ett teckenfel här men här kommer intuitionen in igen för om man polariserar ett dielektrika med ett E-fält och dielektrikat innan polarisationen var oladdat då blir

Där jag lite fuskigt vet att detta är rätt samtidigt som det är rimligt, nu återstår dock vilken av dom vi ska ge ett negativt tecken men det är rimligt att Qs är positiv för dom laddningarna lämnar dielektrikat i en riktning motsvarande normalen till ytan, alltså är Qp negativ och vi får

och

Man har infört ett hjälpfält kallat D som i elektrisk flödestäthet, denna härleds enligt

som kan enligt ovan skrivas om som, ty rho_p är också en divergens

där jag utan bevis säger att P är proportionerlig mot epsilon_0*E med en konstant jag inte kan koda upp, resultatet blir i alla fall

där

som man har förenklat till

Mer detaljerat bevis[redigera]

Vi lyfter ner ovanstående formel för den polariserade potentialen

enligt ovanstående kan vi sedan skriva om den mha polarisationsvektorn P som

ortsvektorn R går nu från origo (där E finns och polariserar) till platsen i rymden där dielektrikat finns likt

där alltså dielektrikat befinner sig i de primmade koordinaterna vilket gör så att derivatan av R map t.ex z' blir negativ, normalt brukakar vi dock använda primmade koordinater för källor men i det här fallet blir det för fältpunkten, med lite list kan man således skriva

som med hjälp av vektoridentiten (där f är en skalär och A en vektor)

som egentligen bara är produktregeln för derivering, här måste man dock bl.a tänka på att man inte kan "derivera" en vektor och att gradienten av en skalär är en vektor, tänker man på detta så blir vektoridentiteten ganska enkel, om vi applicerar detta till aktuellt fall får vi

som kan skrivas om som

där plustecknet kommer av att derivering sker map primmade koordinater, sen gäller

om vi nu skriver om sambandet enligt

och tittar på den ursprungliga formeln för V så ser vi att bara

blir kvar, med andra ord blir den polariserade potentialen

den sista integralen kan man utveckla mha Gauss teorem (aka divergensteoreet) enligt

så att

som kan skrivas om enligt tidigare regler dvs

där man alltså ser att rho_p är negativ och rho_s är positiv.

Kapitel CVIII, E-fält vid övergångar[redigera]

E-fält vid övergångar

Allmänt kan man skriva

där, om man hänger på q, får arbetet runt en sluten kontur dvs om man kommer tillbaka till typ samma topp/lägesenergi så är uträttat arbete 0, detta gör så att man för det tangentiella fältet kan skriva

för w är en vektor, då får man att

man kan sen allmänt skriva

som i princip är Gauss lag, detta gör att man för de normala komponeterna kan skriva (de olika ytorna har olika normalvektorer)

eller

så att

eller

så att differensen mellan de normala elektriska flödestätheterna är en eventuell fri ytladdningstäthet, rhp_s, dock är denna fria ytladdningstäthet ofta noll då man förutsätter att det inte finns några fria laddningar, dvs i praktiken blir formeln

vilket innebär, sett till normalkomponenterna

Övergångsvillkor för dielektrika[redigera]

För oladdade dielektrika gäller

respektive

Övergångsvillkor för metaller[redigera]

För metaller är det annorlunda, jag spånar här lite när jag säger att inuti metaller kan det inte finnas några E-fält för det kan aldrig bildas några dipoler ty elektronerna är bundna till sina atomer, det finns dock fria elektroner men dom förflyttar sig till ytan hos metallerna, inuti metaller är alltså E-fältet noll och därför är rho noll, vi får alltså om 1 enligt bild är en metall och 2 är säg luft

eller

och eftersom E är noll i metallen så får vi att

vilket enligt ovan får till följd att

som man kan skriva som

eller

tvåan är alltså luft/vaakum men vi har normalvektorer inblandade här där tvåan är neråt riktad, minus på den riktningen blir uppåt riktad dvs det normalt riktade E-fältet är riktat uppåt och alltså in i dielektrikat om man ser till en plattkondensator

Kapitel CIX, E-fält genom en metall[redigera]

E-fält genom en metall

Om vi börjar längst ut och kallar denna delen för region 1 kan vi skriva E-fältet utanför och i R-riktning som

potentialen blir sedan

enligt ovan, i region 2 gäller sedan