Topologi/Kompakthet

Från Wikibooks

Kompakta mängder[redigera]

Låt X vara ett topologiskt rum (med topologin ), och låt A vara en delmängd och  = (Fi)iI vara en familj av delmängder av X. Vi säger då att ' täcker M, om varje punkt i M också ligger i något Fi, d. v. s. om

I så fall är  = (Fi en övertäckning av M. Denna övertäckning är öppen, om alla Fi är öppna, och ändlig, om indexmängden I är ändlig. En delövertäckning  = (Fi' av  = (Fi är helt enkelt en delfamilj, alltså en restriktion av  = (Fi till någon delmängd I' av I, som själv täcker M.

Definition: Delmängden M av det topologiska rummet X är kompakt, om varje öppen övertäckning av M innehåller en ändlig delövertäckning.
Kommentar: Vissa författare använder termen kvasikompakt för mängder som uppfyller detta övertäckningsvillkor, och reserverar termen kompakt för dem som uppfyller både övertäckningsvillkoret och separationsvillkoret T2, så att alltså man också kräver att den inducerade topologin på M är Hausdorff. (Detta definieras i kapitlet Separationsvillkor och Hausdorffrum.) I de sammanhang där denna skillnad görs brukar intresset ändå vara inriktat på just Hausdorffrum, så att det inte spelar så stor roll om man visar en egenskap för alla mängder som uppfyller övertäckningsvillkoret, eller bara för dem som dessutom är Hausdorff. Eftersom vi i denna bok också tar upp egenskaper och tillämpningar som inte förutsätter villkoret T2, väljer vi den terminologi som lämpar sig bättre i den allmänna topologin.

Ändlighetsvillkor för basala övertäckningar[redigera]

Vi påminner om, att om dessutom en bas för topologin är specificerad, så är alla element i öppna mängder. I denna situation kallas en M-övertäckning (eller annan familj) basa, om alla dess element tillhör . Basala övertäckningar av en kompakt delmängd M måste då alltså innehålla ändliga delövertäckningar, precis som alla andra öppna övertäckningar av M. Litet mindre trivialt är att omvändningen ocksågäller. Vi får följande sats:

Sats 1. Om (X,) är ett topologiskt rum, är en bas för topologin , och M är en delmängd av X, så är M kompakt om och endast om varje basal övertäckning av A omfattar en ändlig delövertäckning.
Bevis. "Endast om"-delen visade vi ovan. Det är därför tillräckligt att anta att varje basal övertäckning av A har en ändlig övertäckning, och att visa att då en godtycklig öppen övertäckning  = (Fi)iI av M måste omfatta en ändlig delövertäckning.

För varje iI gäller att Fi, som har basen . Därför måste det definitionsmässigt för detta i finnas en basal familj i = (Gi,j)JJ, sådan att

Om vi sätter

får vi att (Gi,j)(i,j)∈J  är en basal övertäckning av M, som enligt antagandet måste innehålla en ändlig delövertäckning (Gi1, j1 , ..., Gin, jn ). Eftersom Gik, jkFik för k = 1,...n, är då också (Fi1 , ..., Fin) en övertäckning av M, och en ändlig delfamilj av .♦

Proposition. Unionen av ett ändligt antal kompakta mängder är en kompakt mängd. Speciellt är varje ändlig delmängd av ett topologiskt rum kompakt.
Bevis: Om unionen K = K1 ... Kn av de kompakta Ki har en öppen övertäckning, så täcker denna också K, och innehåller därför en ändlig delövertäckning av K, för i = 1,..., n. Sammantaget bildar dessa en ändlig övertäckning av K.
Vidare inser man omedelbart, att eftersom "ett" är ett ändligt antal, så innehåller varje övertäckning av mängden {x} för någon punkt xX en ändlig delövertäckning; varav specialiseringen direkt följer.♦

Subbaskriteriet[redigera]

Nästa resultat ser ut som om det vore en rätt beskedlig skärpning av sats 1; men i själva verket är det en betydligt djupare sats, som på ett fundamentalt sett förutsätter urvalsaxiomet för att den skall vara sann.

Sats 2. Låt (X,) vara ett topologiskt rum, M en delmängd till X, och en subbas till . Då är M kompakt om och endast om varje subbasal övertäckning av M innehåller en ändlig delövertäckning.

Bevis: "Endast om"-delen är trivial, på samma sätt som i beviset av sats 1. Vi antar därför i stället att det finns en basal övertäckning utan ändlig delövertäckning, med avseende på -basen genererad av . Vi skall visa att det då också måste finnas (minst) en subbasal övertäckning av M, som saknar ändlig delövertäckning.

I själva verket kommer vi att visa ett litet mer precist resultat, nämligen att om är en basal övertäckning av M utan ändlig delövertäckning, så existerar ett urval av ett subbaselement för varje element i , sådant att subbaselementet omfattar motsvarande baselement (vilket automatiskt gör detta urval till en övertäckning av M), men att inte denna specifika subbasala övertäckning innehåller en ändlig delövertäckning.

Vi börjar med att "göra om" mängden till en "självindexerad" familj

Vidare väljer vi för varje B i ett minimalt sätt att "presentera" B som en skärning av element i . Detta betyder, att vi väljer något positivt heltal nB och subbaselement HB,1, ..., HB,n, sådana att

men att B inte är skärningen av färre än nB element ur .

  • Lägg ev. in som övning efteråt: Varför är säkert nB positivt?

Detta medför speciellt att

och att

Sätt MB := {B, HB,1 , ..., HB,nB}, så att MB bara innehåller ett element om nB = 1, men nB+1 element annars. Sätt också

Varje element = (LB)Q är en basal övertäckning av M, eftersom BLB för varje B, och redan täcker M. kan ses som en ersättning för , genom att vissa poster i (som är baselement men inte subbaselement) ersatts av större element, som tillhör . Vi kan uppfatta ett annat element = (KB)Q som större än , om vi fått ur genom att ersätta ytterligare några baselement med subbaselement. Detta ger en partialordning på Q. Denna kan också definieras mer formellt genom

Observera att är ett maximalt element i Q om och blott om ingen mer substitution kan göras, d. v. s. om och blott om är en subbasal övertäckning av M.

Vi gör nu två viktiga "lokala" definitioner, som kommer att gälla i hela det återstående beviset. En familj Q kallas tam, om den innehåller en ändlig delfamilj, och vild annars. Med hjälp av detta begrepp kan det påstående vi skall visa omformuleras som påståendet

(5) Om är vild, så innehåller Q något vilt maximalt element.

Vi skall visa (5) genom att tillämpa Zorns lemma på delmängden

för att visa att

(6) P innehåller maximala element,

och sedan använda hjälpresultatet

Lemma. Maximala element i P är också maximala i Q.

Bevis av lemmat: Låt = (LB)B vara ett godtyckligt maximalt element i P. Vi skall visa att då också måste vara ett maximalt element i Q, d. v. s. att också måste vara en subbasal familj, med hjälp av ett motsägelsebevis.

Antag alltså i stället att inte vore maximalt i Q! Då funnes (minst) ett B, sådant att nB ≥ 2 och att

där B enligt (2) inte vore ett subbaselement. Läte vi då (för j = 1, ..., nB) vara det Q element man finge genom att byta ut B mot HB,j på plats B, men lämna kvar alla andra poster från , så vore varje sådant ett Q element strikt större än det P-maximala elementet , och vore alltså inte ett P-element, utan tamt. Med andra ord innehölle en ändlig M-delövertäckning . Speciellt vore

en ändlig övertäckning av M HB,j, och en delfamilj till . Då vore emellertid

också en ändlig delfamilj till , men också en övertäckning av M. Den vilda familjen vore alltså tam; den sökta motsägelsen.♦

Bevis av (6): För att kunna tillämpa Zorns lemma behöver vi visa att varje kedja i P har en övre begränsning. Kedjan ∅ har den övre begränsningen P. Låt nu K = (i)iI vara en icketom kedja i P, där

för varje i i I. Sätt = (LB) := (∪iI Ki,B)B . Eftersom K är en kedja, är {Ki,B}IMB en kedja under mängdinklusion för varje B, och enligt (1) och (3) består denna kedja av högst två element (vilka i så fall är B och något HB,m). Speciellt gäller att LB = ∪{Ki,B}I &isin MB för varje B, så att

och att verkligen är större än eller lika med varje element i kedjan K. För att visa (6) räcker det därför att visa att också ligger i P, d. v. s., att är vild. Vi gör detta med ett motsägelsebevis.

Antag alltså i stället att vore tam! Då funnes en ändlig delmängd av , sådan att delfamiljen  := (LB)B av täckte M. För varje B funnes också ett iBI, sådant att LB = Ki,B . Eftersom {KiB}B \isin; då vore en ändlig delkedja av K, innehölle den ett största element . Detta element låge i P och vore alltså vilt, men innehölle också den ändliga M-övertäckande delfamiljen , och vore alltså amtidigt tamt; den sökta motsägelsen.♦

Därmed är även satsen bevisad.♦

  • Jag har för många M i det här beviset. Byt ut!

Kompakta rum[redigera]

Varje mängd är ju en delmängd av sig själv. Därför kan vi direkt tillämpa definitionen för specialfallet M = X:
Definition: Ett topologiskt rum X är kompakt, om X är en kompakt delmängd av sig själv.
Observation: Delmängden M av det topologiska rummet X är kompakt om och blott om M med den inducerade topologin är ett kompakt delrum av X.
Bevisskiss: Mot en M-övertäckning (Fi)I av öppna mängder i X svarar en M-övertäckning (FiM)I av öppna mängder i M, och vice versa. Samma restriktioner till delindexmängder I' är respektive är inte delövertäckningar i båda fallen.♦

Sats 3.För ett topologiskt rum X är följande utsagor ekvivalenta:
(a) X är kompakt;
(b) varje familj av slutna mängder med tomt snitt innehåller en ändlig delfamilj med tomt snitt;
(c) för varje kedja av icketomma slutna delmängder av X gäller att deras snitt är icketomt; och
(d) för varje kedja av öppna äkta delmängder av X gäller att deras union är en äkta delmängd av X.

  • Detta tycks vara den första TFAE-satsen i boken, så en observation om dess logiska innebörd bör kanske tillfogas.

Vi visar alltså först följande: Om rummet X är kompakt, så gäller för varje kedja av icketomma slutna delmängder att deras snitt är icketomt. Bevis: Komplementen till en kedja av slutna delmängder med tomt snitt är en täckande kedja av öppna delmängder. Eftersom rummet är kompakt måste en sådan kedja innehålla en täckande ändlig delkedja, vars största element måste vara hela X. Det betyder att den ursprungliga (slutna) kedjan då måste innehålla tomma mängden som ett element.♦

  • Även omvändningen gäller! Bevisskiss, som dock använder välordningssatsen: Givet övertäckning (Fi)i∈I, välordna I, och bilda kedjorna (Ui)I och (Vi)I genom

    För varje sluten mängd S finns ett minsta i = i(S) i I sådant att S ⊆ Ui. Om ock S ≠ ∅, så är däremot ej S innehållen i Vi, ty eljest vore en kedja av öppna mängder med union X men inget element X. Sätt rekursivt S
    1 := X, in := i(Sn), Gn := Fin, och, om Sn ≠ ∅, Sn+1 := Sn-Gn. S1 S2 ... är (strikt) avtagande, och antingen slutar kedjan med ett Sn = ∅, eller vore

    Det senare gåve dock att
    (An ∪ Ui(S)) vore en öppen kedja med union X och alltså något An ∪ Ui(S) = X, med motsägelsen S ⊆ Ui(S); så i stället gäller det förra alternativet, så (G1,...,Gn) är en ändlig delövertäckning.
  • Lägg till slutna ekvivalensen för kompakthet. Visa som tillämpning att Spec A är kompakt för varje kommutativ unitär ring A. Bevisidé: Att är tom betyder precis att 1 ligger i idealet genererat av unionen alla Ei; följdaktligen också i idealet genererat i unionen av de ändligt många Ei som bidrar till en framställning av 1 som en lineärkombination av element ur den stora unionen.

Sats 4. Rummet X är kompakt om och endast om varje sluten delmängd av X är kompakt.
Bevis. "Om"-delen är självklar, eftersom X självt är slutet. För "endast om"-delen antar vi att X är kompakt, att M, och att är en öppen övertäckning av M. Om vi utvidgar till en familj ' genom att lägga till den öppna mängden , så får vi en övertäckning av hela X. Eftersom X är kompakt, innehåller ' en ändlig delövertäckning '' av X. Den sökta ändliga -delövertäckningen av M är då

 ♦

Sats 5. Om f : XY är en kontinuerlig avbildning mellan två topologiska rum, där definitionsrummet X är kompakt, så är värdemängden f(X) en kompakt delmängd av målrummet Y.
Bevis: Om (Ui)I är en öppen övertäckning av värdemängden f(X), så är (f -1(Ui))I en övertäckning av X. Eftersom X är kompakt finns då en ändlig delövertäckning (f -1(Ui))J av denna X-övertäckning, där alltså J är en ändlig delmängd av I. Då är också (Ui)J en ändlig övertäckning av f(X).♦


Föregående: Topologiska rum Upp: Topologi Nästa: Metriska rum