Topologi

Från Wikibooks

[redigera] Topologiska rum

Ett topologiskt rum är ett par $(X, T)$ av en mängd $X$ och en klass av mängder $T$ sådana att följande axiom är uppfyllda:

$\emptyset\in T$ ,
$X\in T$ ,
Varje uppräknelig union av mängder ur $T$ är ett element i $T$ ,
Varje ändligt snitt av mängder ur $T$ är ett element i $T$ .

Definition: En mängd $G$ säges vara öppen om $G \in T$ . Definition: En mängd $G$ säges vara sluten om $G^c \in T$ .

Exempel. Låt $X = ]0, 1[ \subset \mathbb{R}$ och definiera $T$ som alla delmängder till $X$ som saknar randpunkter. $(X, T)$ är ett topologiskt rum.

Exempel. Låt $X =\mathbb{N}$ , och låt $T$ bestå av alla delmängder $M \subset X$ som kan skrivas som $M = M_{\{p_i\}_i} = \{ \prod_i p_i ^{a_i}: a_i \in \mathbb{N}\}$ , där ${p i} i$ är en uppräkning av primtal. Låt dessutom $\emptyset \in T$ Exempelvis gäller $M_{2, 3} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, \ldots\} \in T$ . Då bildar $(X, T)$ ett topologiskt rum.

[redigera] Hausdorffrum

Ett topologiskt rum $(X, T)$ säges vara ett Hausdorffrum om följande villkor är uppfyllt

$\forall x, y \in X, x \neq y \exists U, V \in T : x \in U, y\in V, U \cap V = \emptyset$ .

Rummet i det första exemplet ovan är ett Hausdorffrum: låt $x, y \in ]0, 1[ :x\neq y$ . Välj $U = ]x - \varepsilon, x + \varepsilon[$ , $V = ]y - \varepsilon, y + \varepsilon[$ , där $\varepsilon < |x|, |1 - x|, |y|, |1 -y|, {|x - y| \over 2}$ . Samtliga av dessa tal är positiva, så $\varepsilon$ kan väljas som ett positivt tal. $U \cap V = \emptyset$ . Rummet i det andra exemplet ovan är inte ett Hausdorffrum; exempelvis existerar inte några separerande öppna mängder till $x = 4$ och $y = 256$ .

Topologi

Från Wikibooks

[redigera] Topologiska rum

[redigera] Hausdorffrum

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Skriv ut/exportera

Sök

Verktygslåda