Topologi/Metriska rum

Metriker

Definition: En metrik eller avståndsfunktion d på en mängd X är en funktion

$d\,:\,X\times X\longrightarrow \mathbf {R} ,$

som uppfyller följande tre villkor: För alla element x, y och z i X gäller att

• (D1) $d(x,y)\geq 0,{\text{ med likhet om och endast om }}x=y;$
• (D2) $d(x,y)=d(y,x);$ och
• (D3) $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z).$

Ett metriskt rum är ett par (X,d), där X är en mängd och d är en metrik på X.

Precis som för topologiska rum kommer vi ofta inte att skilja mellan en metrik (X,d) och dess underliggande mängd X, när vi i sammanhanget bara betraktar metriken d på X. Elementen i ett metriskt rum (det vill säga, i den underliggande mängden till det metriska rummet) kallas ofta punkter.

Kommentarer rörande kommutativ algebra:

Observera att värdemängden för funktionen d är en delmängd av mängden av ickenegativa reella tal, men inte nödvändigtvis behöver vara hela detta intervall. Det kan exempelvis mycket väl hända att alla avstånd i ett visst metriskt rum är (ickenegativa) rationella tal. Detta har en viss betydelsen för att logiken skall gå ihop, när vi litet senare i detta kapitel kommer att definiera de reella talen med hjälp av mängden Q av rationella tal, uppfattad som ett metriskt rum. Faktum är, att det för större delen av teorin i detta kapitel är nog att målmängden för metriken d är en ordnad kommutativ monoid försedd med en "generaliserad halveringsoperation". Det betyder, att målmängden skall vara en mängd M, som har en kommutativ och associativ binär operation (som vi kan beteckna med +), ett neutralt element (som vi betecknar 0) för denna operation, en totalordning (som vi betecknar <), och en unär operation vi kan beteckna h, sådan att följande ytterligare samband gäller, för alla a,b,c ∈ M: $0\leq h(a)\leq a\,;$ $a<b\iff a+c<b+c\,;$ $a<b\Rightarrow h(a)\leq h(b);\ {\text{och}}$ $a\neq 0\Rightarrow 0<h(a)+h(a)\leq a.$ Om man låter M vara antingen {a∈R : a≥0} eller {a∈Q : a≥0}, låter "+", "<" och "0" ha sina vanliga innebörder, och sätter h(a) = a/2, så uppfylls allt detta. För att teorin skallfungera generellt, får man ersätta R med M, "positivt reellt tal" med "nollskilt element i M", samt t. ex. 0,5ε och ε/2 med h(ε) nedan. Beteckningarna blir litet mindre smidiga och framställningen kanske litet oklarare, men det är inga logiska svårigheter med en sådan generaliserad teori för metriska rum.

Exempel 1. Mängden C av de komplexa talen tillsammans med metriken d given av d(x,y) = |x-y| är ett metriskt rum.
Exempel 2. Den euklidiska standardmetriken på Rⁿ ges av "Pythagoras sats i n dimensioner" genom

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert _{2}={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-y_{n})^{2}}},{\text{ för }}\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}){\text{ och }}\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}).$

Rⁿ har också många andra intressanta metriker, bland annat den som ges av "sup-normen":

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert _{\infty }=\max(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|),$

samt den som ges

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert _{1}=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|+\ldots +|x_{n}-y_{n}|$

(i båda fallen med samma x och y som förut).
Samma metriker fungerar lika bra på Qⁿ som på Qⁿ.

• Inför, här eller annorstädes i kapitlet, allmänna "produkter" av ändligt många metriska rum, med lp-norm. Möjligen göres detta i samband med att allmännare lp-rum diskuteras.

Exempel 3. Varje mängd X har den diskreta metriken, som ges av att d(x,y) = 1 för alla x ≠ y (samt av (D1)).
Exempel 4. Om n är ett positivt heltal, och A en mängd, så har potensmängden Aⁿ en metrik d, kallad Hammingmetriken, som ges av att d(x,y) är antalet platser som x och y skiljer sig på; alltså

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|\{i\in \mathbf {N} _{n}\,;\,x_{i}\neq y_{i}\}|.$

Exempel från grafteori:
Exempel 5. Om G = (V,E) är en enkel sammanhängande graf, så är d(u,v) given av antalet kanter i en kortaste stig mellan hörnen u och v en metrik.

Exempel från kommutativ algebra:

Exempel 6. Om k är en kropp och r är ett reellt tal som uppfyller att 0 < r <1, så har polynomringen k[x] en metrik, som ges av att för två olika polynom $f(x)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}{\text{ och }}g=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i},$ så är d(f,g) = r-m, där m är det minsta tal som uppfyller att ai ≠ ai. (Om exempelvis k = Q, r = 0,7, f = x3-x+4 och g = 2x2, så är d(f,g) = 0,49.) Exempel 7. Litet allmännare får man en liknande metrik för en kommutativ ring A och ett ideal I i A, som uppfyller att $\bigcap _{i=0}^{\infty }I^{i}=0\neq I^{n}$ för varje naturligt tal n, och med samma r som förut; man låter då d(f,g) = r-m, där m är det minsta tal som uppfyller att f-g ∈ Im. Man återfår här exempel 6 genom att sätta A = k[x] och i till principalidealet genererat av x.

Övning. Låt X vara en mängd, och låt f : X×X→R vara en funktion som för alla x, y och z i X uppfyller följande två villkor:

(1)   f(x,y) = 0 om och endast om x = y; och

(2)   $f(x,y)+f(x,z)\geq f(y,z).$

Visa att f är en metrik på X.

Pseudometriker

Vi kommer att stöta på mängder med funktioner som uppfyller nästan allt metriker uppfyller. Den enda avvikelsen är att avståndet två olika punkter inte nödvändigtvis behöver vara positivt.

Definition: En pseudometrik d på en mängd X är en funktion

$d\,:\,X\times X\longrightarrow \mathbf {R} ,$

som uppfyller följande tre villkor: För alla element x, y och z i X gäller att

• (PsD1) $d(x,y)\geq 0,{\text{ med likhet om }}x=y;$
• (D2) $d(x,y)=d(y,x);$ och
• (D3) $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z).$

Varje metrik är förstås en pseudometrik. Omvänt kan man på ett naturligt sätt bilda ett metriskt rum från en mängd med en pseudometrik genom att identifiera ("slå ihop") punkter på avståndet noll från varandra. Detta är vårt första exempel på en mycket vanlig teknik inom topologin, och vi skall genomföra det i detalj.

Kommentar rörande kommutativ algebra:
För den som har en viss vana vid kvotbildningar inom algebran torde dock tekniken vara välbekant. Vi kommer att bilda vårt metriska rum ur X på ungefär samma sätt som man bildar en kvotgrupp G/H av en grupp med en normal delgrupp H, eller kvotringen A/I av en kommutativ ring A med ett ideal I.

Vi börjar med att införa en (binär) relation ~ på vår pseudometrik X, genom föreskriften

$a\sim b\iff d(a,b)=0\,.$

Observation. Denna relation är en ekvivalensrelation.

Bevis: Vi måste visa att ~ är reflexiv, symmetrisk och transitiv.
Reflexivitet: För varje a ∈ X är d(a,a) = 0 enligt (PsD1) (och enligt definitionen av ~ betyder ju detta precis att a~a).
Symmetri: Om a~b, alltså om d(a,b) = 0, så är även d(b,a) = 0 enligt (D2), d. v. s. även b~a gäller.
Transitivitet. Antag att a~b och b~c för några a, b och c i X. Enligt (PsD1) respektive (D3) är då

$0\leq d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)=0+0=0\,,$

och alltså d(a,c) = 0.♦

Mot ekvivalensrelationen ~ svarar en partition av X i ekvivalensklasser. Mer precist kan vi låta

$[x]_{\sim }:=\{y\in X:x\sim y\}$

för varje x ∈ X, och får då partitionen

$P:=\{[x]_{\sim }:x\in X\}\,.$

Vi gör nu den viktiga observationen att partitionen P respekterar pseudometriken. Med andra ord gäller likheten

(3)   $a\in [x]_{\sim }\land b\in [y]_{\sim }\Rightarrow d(a,b)=d(x,y)$

för alla x och y i X. Orsaken är, att upprepad användning av (D3) och (D2) ger olikheten

$d(a,b)\geq d(a,x)+d(x,y)+d(y,b)=0+d(x,y)+0=d(x,y)\,;$

och på samma sätt får vi d(x,y) ≥ d(a,b).

Likheten (3) gör det möjligt att definiera en funktion g : P×P→R genom föreskriften

(4)   $g([x]_{\sim },[y]_{\sim }):=d(x,y).$

Övning. Det skulle ju gå utmärkt att skriva upp (4), även om inte (3) gällde. Förklara noggrant varför (4) verkligen definierar en funktion om och endast om (3) gäller!

Sats 1. Med beteckningarna ovan är g en metrik på P, och alltså (P,g) ett metriskt rum.

Bevis: Det mesta av svårigheterna låg i att få till rätt definitioner. Det som återstår "inses rätt lätt": (D2) resp. (D3) för (P,g) följer omedelbart av definition (4) samt av (D2) resp. (D3) för (X,d): För godtyckliga [x]_~, [y]_~ och [z]_~ i P gäller ju att

$g([y]_{\sim },[x]_{\sim })=d(y,x)=d(x,y)=g([x]_{\sim },[y]_{\sim }),$

och att

$g([x]_{\sim },[y]_{\sim })+g([y]_{\sim },[z]_{\sim })=d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)=g([x]_{\sim },[z]_{\sim }).$

Första halvan av (D1), alltså att g([x]_~,[y]_~) alltid är ickenegativ, följer på liknande sätt omedelbart ur första halvan av (PsD1). Slutligen gäller ju ekvivalenserna

$g([x]_{\sim },[y]_{\sim })=0\iff d(x,y)=0\iff x\sim y\iff [x]_{\sim }=[y]_{\sim }\,.$♦

Isometrier och delrum

Definition: En isometri från ett metriskt rum (Z,g) till ett metriskt rum (X,d) är en funktion mellan de underliggande mängderna (säg f : Z → X, som "respekterar metrikerna" i följande mening: För alla punkter a och b i Z gäller att

$d\left(f(a),f(b)\right)=g(a,b)\,.$

(Iso-metri är ett nybildat ord med betydelsen ungefär samma-mått.)

Definition. Ett delrum Y till ett metriskt rum (X,d) är en delmängd Y av X, tillsammans med den inducerade metriken, alltså restriktionen av d till Y×Y.

Observation: Inbäddningen ι : Y → X (definierad av ι(y) = y för varje y i Y) är en isometri, eftersom d(ι(a),ι(b)) = d(a,b) för alla a och b i Y.♦

Lemma. Varje isometri är injektiv.
Bevis: Om f : (Z,g) → (X,d) och a,b ∈ Z med a ≠ b, så är g(a,b) > 0 enligt (D1) (tillämpad på Z); alltså är även {nowrap|d(f(a),f(b)) > 0}} (eftersom f är en isometri); alltså är f(a) ≠ f(b) enligt (D1) (tillämpad på X).♦

En isometri f : (Z,g) → (X,d) är alltså bijektiv om och blott om den är surjektiv. I detta fall är den ju också inverterbar; och inversen f ^-1 : (X,d) → (Z,g) uppfyller för alla x och y i X att

$g\left(f^{-1}(x),f^{-1}(y)\right)=d\left(f(f^{-1}(x)),f(f^{-1}(y)\right))=d(x,y);$

så att då även f ^-1 är en isometri. En sådan inverterbar isometri kallas en isomorfi, isomorfism eller global isometri. Lemma. Funktionssammansättningar av isometrier är isometrier.
Bevis: Om (X₁,d₁), (X₂,d₂) och (X₃,d₃) är metriska rum, och f₁ : X₁ → X₂ och f₂ : X₂ → X₃ är isometrier, och a,b∈X₁ , så är

$d_{3}(f_{2}\circ f_{1}(a),f_{2}\circ f_{1}(b))=d_{3}(f_{2}(f_{1}(a)),f_{2}(f_{1}(b)))=d_{2}(f_{1}(a),f_{1}(b))=d_{1}(a,b)\,.$♦

Tillämpning inom kategoriteori:
Eftersom även identitetsavbildningar på metriska rum är isometrier, bildar klassen av alla metriska rum en kategori, där morfismerna består av isometrierna.

Låt nu f : (Z,g) → (X,d) vara en godtycklig isometri. Betrakta dess värdemängd Y := f(Z) ⊊ X med den inducerade metriken som ett delrum av X. Då gäller att som funktion är f = ι∘h, funktionssammansättningen av inbäddningen ι : Y → X och funktionen h : Z → Y, där h(z) = f(z) för varje z i Z.
Observation: Man inser lätt att h är en isometri och surjektiv, och alltså en isomorfi mellan Z och Y.♦

Sammantaget har vi visat en struktursats för isometrier:
Sats. Varje isometri är funktionssammansättningen av en delrumsinbäddning och en isomorfi mellan metriska rum.♦

Ett annat sätt att uttrycka detta på är att konstatera att en isometri är ett sätt att identifiera definitionsrummet med ett delrum av målrummet.

• Observera att f(Z) är ett delrum av X; och att inbäddningen av ett delrum Y i X är en isometri. I en viss mening är detta samt automorfier "de enda intressanta isometrierna".

Omgivningar, gränsvärden och hopningspunkter

Definition: Låt x vara en punkt i ett metriskt rum (X,d), och låt a vara ett positivt reellt tal. (Den öppna) a-bollen runt x är då

$B_{a}(x)=\{y\in X\,:\,d(x,y)<a\}.$

På grund av (D1) gäller alltid att x ∈ B_a(x). Det kan dock mycket väl hända, att detta är det enda elementet i denna boll. Det gäller exempelvis för varje x och varje positivt tal a < 1, om d är en diskret metrik eller en hammingmetrik eller en grafmetrik av det slag som beskrivits ovan. I många andra metriker innehåller däremot varje boll ett oändligt antal element. Detta gäller exempelvis för de metriker som ovan ges för C, Rⁿ och k[x]. Däremot gäller på grund av (D1) alltid
Lemma 1. För varje punkt x i varje metriskt rum X gäller att $\bigcap _{a\in \mathbf {R} _{+}}B_{a}(x)=\{x\}.$
Bevis: Vi måste för varje y ∈ X med y ≠ x visa att just detta y inte ligger i skärningen av alla bollarna runt x, det vill säga, att det finns ett positivt reellt tal a, sådant att x ∉ B_a(x). Enligt (D1) är ju d(x,y) > 0, och därför kan vi sätta a := d(x,y)/2. Detta a måste vara positivt men mindre än d(x,y). Alltså är B_a(x) en boll runt x, men y är inte ett element i denna boll. ♦

Lemma 2. Om x och y är två olika punkter i ett metriskt rum X, så finns en boll runt x och en boll runt y, sådana att de två bollarna är disjunkta.
Bevis: Sätter vi åter a := d(x,y)/2, så är a-bollarna runt x respektive y disjunkta. Om motsatsen gällde, alltså om det funnes ett z ∈ B_a(x)$\cap$B_a(y), så finge vi nämligen på grund av (D3) och (D2) motsägelsen

$2a=d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)=d(x,z)+d(y,z)<a+a=2a.$ ♦

Definition: Låt x vara en punkt i ett metriskt rum (X,d), och låt F = (x_i)_i vara en följd av punkter i X. F sägs konvergera mot x ∈ X, om man för varje given noggrannhet a ∈ R₊ har att x_i ligger på ett avstånd mindre än detta a från x för alla tillräckligt stora i. Det formella kravet kan uttryckas så här (med hjälp av kvantifikatorer):

(DK1)   $\forall a\in \mathbf {R} _{+}\;\exists m\in \mathbf {N} \ \forall i\in \mathbf {N} \ (i>n\implies d(x_{i},x)<a).$

Ett annat sätt att uttrycka detsamma på är med hjälp av bollarna runt x: F konvergerar mot x om och endast

(DK2)   varje boll runt x innehåller alla poster i följden, utom möjligen med undantag för posterna för ett ändligt antal index.

F sägs vara konvergent (en konvergent punktföljd), om F konvergerar mot något x ∈ X.
Övning: Visa att verkligen utsagorna (DK1) och (DK2) verkligen är ekvivalenta för varje given punktföljd F och punkt x.

Lemma 3. Om F = (x_i)_i är en konvergent punktföljd i ett metriskt rum X så finns ett och endast ett x ∈ X, sådant att F konvergerar mot x.
Bevis: F konvergerar enligt definitionen mot minst en punkt. Antag å andra sidanatt F konvergerade mot två olika punkter x och y. Enligt lemma 2 funnes det då två disjunkta bollar runt x respektive y. Samtidigt måste dock enligt (DK2) x_i tillhöra båda bollarna för alla utom ändligt många i, vilket motsäger disjunktheten. ♦
Definition: Om F = (x_i)_i är en konvergent punktföljd i ett metriskt rum X, så är gränsvärdet av F den unika punkt x ∈ X som F konvergerar mot. att x är gränsvärdet av F uttrycks åckså genom att säga att x_i går mot x när i går mot oändligheten, eller som att

$\lim _{i\rightarrow \infty }x_{i}=x.$

Definition: En punktföljd F = (x_i)_i i ett metriskt rum X är cauchykonvergent, om man för varje given noggrannhet a ∈ R₊ har att x_i och x_j ligger på avstånd mindre än a från varandra, om både i och j är tillräckligt stora. Formellt kan detta villkor uttryckas så här:

(DCK)   $\forall a\in \mathbf {R} _{+}\;\exists m\in \mathbf {N} \ \forall i,j\in \mathbf {N} \ (i,j>n\implies d(x_{i},x_{j})<a).$

Begreppen "konvergent punktföljd" och "cauchykonvergent punktföljd" har ju misstänkt likartade definitioner; särskilt villkoren (DK1) och (DCK) ser ju förvillande lika ut, åtminstone vid ett första påseende. Det är därför naturligt att fråga sig om detta egentligen bara är två varianter för att beskriva samma egenskap. Svaret är: Halvt om halvt. Vi har faktiskt alltid en implikation åt det ena hållet:
Lemma 4. Om F = (x_i)_i är en konvergent punktföljd i ett metriskt rum X, så är också F cauchykonvergent.
Bevis: Låt punkten x vara gränsvärdet av F, och välj a ∈ R₊ godtyckligt. Det är tillräckligt att visa att det då måste finnas ett n med egenskapen att

$d(x_{i},x_{j})<a$

för alla heltal i och j, som båda är större än n. Vi använder nu att a/2 också är ett positivt rationellt tal, och att alltså (DK1) är tillämpligt för a/2 i stället för a. Med andra ord finns det ett n ∈ N, sådant att det för varje i > n gäller att d(x_i,x) < a/2. För detta n och för godtyckliga i,j > n gäller nu enligt (D3) och (D2) att

$d(x_{i},x_{j})<d(x_{i},x)+d(x,x_{j})=d(x_{i},x)+d(x_{j},x)<{\frac {a}{2}}\;+\;{\frac {a}{2}}=a,$

vilket var vad som behövde visas. ♦

Konvergens medför alltså cauchykonvergens. Däremot är det inte så i alla metriska rum att cauchykonvergens medför konvergens. Betrakta exempelvis det metriska rummet Q med den vanliga euklidiska metriken, vilket i detta fall helt enkelt blir absolutbeloppet av skillnaden: d(a,b) = |a-b|, och betrakta talföljden F = (e_m)_m∈N som definieras genom

$e_{m}=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}\,.$

Denna följd är växande, därför att vi bildar varje nytt e_m genom att addera en positiv term till den summa som bildar den föregående posten i följden. Den är också cauchykonvergent, därför att om m > n så är d(e_m,e_n) = e_m-e_n < 1/(3n!) (vilket kan visas som en övning i elementär analys), så att det för ett givet a räcker utmärkt att välja n som vilket som helst heltal större än 3/a för att (DCK) skall uppfyllas. F är dock inte konvergent i Q. Vi vet nämligen att i R konvergerar F mot talet e, och att e inte är ett rationellt tal. På grund av lemma 3 kan inte följden samtidigt konvergera mot ett rationellt tal.

För att hitta ett motexempel fick vi välja en följd som faktiskt konvergerade i R. Detta var ingen slump. Varje caychykonvergent följd i R är faktiskt också konvergent. Som vi kommer att se, beror detta väsentligen på, att de reella talen definieras på ett sådant sätt att denna egenskap, fullständighet, gäller.

Kompletteringar

Definition: Ett metriskt rum sägs vara fullständigt eller komplett, om varje cauchykonvergent punktföljd i rummet också är konvergent. Ett metriskt rum behöver inte vara fullständigt; som vi såg var detta fallet för Q. Varje metriskt rum kan dock kompletteras:

Sats. Låt (X,d) vara ett metriskt rum. Då finns det ett fullständigt metriskt rum (X̅,d̅) och en inbäddning ι : X → X̅ av X som delrum av X̅, sådana att varje punkt i X̅ ligger på avstånd noll från X:

$a\in {\overline {X}}\Rightarrow \liminf _{x\in X}d(a,x)=0\,.$

Vidare är X̅ och ι "väsentligen unika" i den meningen att om ι' : X → X' också är en inbäddning av X i ett fullständigt metriskt rum (X',d'), sådan att varje punkt i X' ligger på avstånd noll från X, så finns en isomorfi φ : X̅ → X', sådan att ι' = φ∘ι.
Den intuitiva idén bakom beviset är att "lägga till" en punkt för varje uppsättning cauchykonvergenta punktföljder som "borde" konvergera mot samma mängd.

Bevis: Låt C vara mängden av alla cauchyföljder på X. Vi skall visa att C har en naturlig pseudometrik. Mot denna svarar enligt sats 1 ett metriskt rum X̅, genom att man identifierar följder på avstånd 0 från varandra. Slutligen skall vi visa att detta rum X̅ har de egenskaper som satsen utsäger.

För att införa pseudometriken på C behöver vi följande

Lemma. Låt F = (x_i)_i och G = (y_i)_i vara två godtyckliga cauchykonvergenta följder i X. Då konvergerar följden

$\left(d(x_{i},y_{i})\right)_{i}\,.$

mot ett reellt tal.

Jag tror att jag här kan få problem med min plan för hur vi konstruerar R ur Q; även om X = Q är konvergensvärdet här ett godtyckligt reellt tal. För övriga ändamål torde dock passagen via pseudometriker vara "renare". Som alternativ får jag därför i en kommentar nog lägga in möjligheten att helt konventionellt införa ekvivalensrelationen på C utan att ha infört en pseudometrik.

Bevis. Eftersom både F och G är cauchyföljder (och eftersom tredjedelen av ett positivt tal är positivt), finns det för varje ε > 0 ett m ∈ N och ett n ∈ N, sådana att d(x_i,x_j) < ε/3 för alla i,j ≥ m, och att d(y_i,y_j) < ε/3 för alla i,j ≥ n. Tveksam ansats; ev. bättre börja med att fixera ett x_i?

Kommentar rörande kategoriteori:

De fullständiga metriska rummen utgör objekten i en full delkategori av kategorin av metriska rum. Som vanligt är en "glömskefunktor" associerad till denna fulla delkategori. Kompletteringsoperationen är funktoriell, och en vänsteradjunkt till glömskefunktorn. Övning. Bevisa detta! Jag ser vissa komplikationer; en kontinuerlig funktion med obegränsad variation kan inte alltid utvidgas till definitionsrummets komplement. Formulera vad som faktiskt gäller mer precis; och ge därefter möjligen någon övning!

• Inför kompletteringar. Bevisa saker litet tydligare. Påvisa att R kan definieras just som kompletteringen av Q med avseende på standardmetriken. Diskutera kompletteringar med avseende på p-adisk metrik i Q, eller x-adisk metrik i k[x]. Glöm ej hopningspunkterna!

Enhetsintervallet

• Enhetsintervallet E är ett komplett metriskt rum, eftersom R är komplett. Detta har bland annat de viktiga konsekvenserna att varje icketom delmängd av E har ett infimum och ett supremum.

Gränsvärden, konvergenta följder och kontinuerliga avbildningar

Gränsvärden och kontinuitet kan definieras för allmänna metriska rum på samma sätt som för R, R² och R³.

Öppna mängder och topologin på ett metriskt rum

Låt $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ vara mängden av alla öppna bollar i det metriska rummet X.

Sats. Mängden $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ uppfyller villkoret (B), och utgör alltså basen för en topologi.

Bevis: Observera först att

$\cap \emptyset =X=\bigcup \limits _{x\in X}B_{1}(x)\,.$

Villkoret (B) uppfylls alltså för $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' = ∅.

Låt nu $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' = {B_a1(x₁), ..., B_an(x_n)} vara en godtycklig icketom ändlig delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, och låt

$M:=\cap {\mathcal {B}}'=B_{a_{1}}(x_{1})\cap ...\cap B_{a_{n}}(x_{n})\,.$

Vi måste visa att även M är en union av öppna bollar.
Inför hjälpfunktionen f : M → R₊, definierad genom

$f(x):=\min(a_{1}-d(x,x_{1}),\ldots ,a_{n}-d(x,x_{n}))\,.$

För varje x i M är verkligen f(x) ett positivt tal, därför att för varje i gäller att x ligger i B_ai(x_i), så att a_i > d(x,x_i) och alltså a_i-d(x,x_i) > 0, så att f(x) är det minsta av en ändlig uppsättning positiva tal. Därför är B_f(x)(x) en öppen boll för varje x ∈ M.
Jag påstår nu att

$M=\bigcup _{x\in M}B_{f(x)}(x),$

vilket visar satsen. För att visa likheten behöver jag visa att varje element i vänsterledet också tillhör högerledet, och vice versa. Det förra följer av att x ∈ B_f(x)(x). Om slutligen y tillhör högerledet, så måste också y tillhöra B_f(x)(x) för något x ∈ M. I så fall gäller för detta x och y, och för varje i från och med 1 till och med n, att

$d(a_{i},y)\leq d(x_{i},x)+d(x,y)<d(x_{i},x)+f(x)\leq d(x_{i},x)+(a_{i}-d(x_{i},x))=a_{i}\,,$

så att definitionsmässigt y ligger i varje B_ai(x_i), och därför också i dessas skärning M.

Vi har alltså visat att $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ verkligen uppfyller villkoret (B). Följdaktligen är $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ basen för en topologi enligt Sats 1.♦

• Observera att exempelvis omskalning inte ändrar topologin; många metriker på ett rum ger alltså samma topologi.
• Notera hur detta ger "de vanliga" öppna och slutna mängderna för "de vanliga" metriska rummen.

Kompakthet

• Ett kompakt metriskt rum är slutet, begränsat och komplett. (För den tredje egenskapen: Om en viss Cauchyföljd ej konvergerar, så kan man ta de slutna bollarna runt dess konvergenspunkt i kompletteringen av rummet, och snittar ned till rummet; skärningen blir tom. Detta borde dock gå att formulera utan att skjuta mygg med kanoner.) Omvändningen ej sann. Däremot: Rummet är kompakt omm var punktföljd däri har en hopningspunkt. (Kolla detta!) Vilken ytterligare egenskap på ett komplett rum krävs för att alla slutna och begränsade delmängder skall vara kompakta? Att varje begränsad följd har en hopningspunkt, förastås; men finns det naturliga och enklare ekvivalenta villkor?
• En kompakt icketom delmängd av R har ett största och ett minsta element. Speciellt har en kontinuerlig reellvärd funktion på ett icketomt kompakt (men inte nödvändigtvis metriskt) rum ett största och ett minsta värde.

Föregående: Kompakthet

Upp: Topologi

Nästa: Separationsvillkor och Hausdorffrum