Matematik/Wikibooks Matematik/Algebra/Rötter

Kvadratrötter

Hur beräknar man sidan av en kvadrat om man har arean. Som rubriken antyder så tar man kvadratroten. Det som sökes är ett tal som multiplicerat med sig själv blir talet som man utgår ifrån. Märk väl att även fast $(-4)\cdot (-4)=16$, så är ${\sqrt {16}}=4$. Man kan bara dra kvadratroten ur ett positivt tal, och resultatet är aldrig negativt.

Exempel Om man vill beräkna sidan av ett rum som är $100$ $m^{2}$ (kvadratmeter), så vet man att något tal multiplicerat med sig själv blir 100.

$x\cdot x=x^{2}=100$

$x={\sqrt {100}}$

$x=10\,$

Här ses att sidan är 10 m (meter).

Kubikrötter mm

Vill man beräkna sidan av en kub med känd volym ska man istället använda kubikroten. Det man söker är ett tal som gånger sig självt tre gånger (eller upphöjt till tre) blir talet.

Ett exempel:

${\sqrt[{3}]{27}}=3$

$3^{3}=27$

Till skillnad från kvadratroten så är kubikroten definierad även för negativa tal.

Ett exempel:

$(-2)^{3}=-8$

${\sqrt[{3}]{-8}}=-2$

Rotuttryck är generellt definierat för vilket positivt heltal som helst.

Så att: ${\sqrt[{n}]{x}}$ beskriver den n:te roten ur x

Kom bara ihåg att om n är ett jämnt tal så går det inte att dra den n:te roten ur x om det är negativt.

Exempel:

${\sqrt[{12}]{2}}=1,\!05946309436\ldots$

Avancerat

roten kan även skrivas i potensform:

$a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}$, dvs det tal som multiplicerat med sig själv n gånger blir talet a. Rötter är med andra ord egentligen onödiga, det räcker med att använda potenser.

ex:

${\sqrt {x}}=x^{1/2}$

${\sqrt[{3}]{x}}=x^{1/3}$

Om rotuttrycket har en potens så blir den täljaren i potensuttrycket. $({\sqrt[{n}]{x}}\,)^{m}=x^{m/n}$

ex:

$({\sqrt[{2}]{x}}\,)^{3}=x^{3/2}$

$({\sqrt[{3}]{x}}\,)^{2}=x^{2/3}$

En rot kan delas upp i multiplikatorer. ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

ex:

${\frac {\sqrt {45}}{\sqrt {5}}}={\frac {{\sqrt {9}}{\sqrt {5}}}{\sqrt {5}}}={\sqrt {9}}=3$

Exemlet kan även lösas med regeln. ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

ex:

${\frac {\sqrt {45}}{\sqrt {5}}}={\sqrt {\frac {45}{5}}}={\sqrt {9}}=3$

Regler

1.${\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {x}}=({\sqrt {x}}\,)^{2}=x$

2.${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

3.$x^{m/n}=({\sqrt[{n}]{x}}\,)^{m}$

4.${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$

5.${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{mn}]{x}}$