Matematik/Wikibooks Matematik/Algebra/Faktorisering

Faktorisering A

Delbarhetsregler
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Alla tal är delbara med 1.
2, 4, 6, 8, 10, 100, 102, 256, ...
Alla jämna tal är delbara med 2.
3, 9, 21, 81, 111, 432, 6483, ...
Alla tal vars siffersumma är delbart med tre är delbara med tre.
3, 9, 27, 81, 171, 432, 6993, ...
Alla tal vars siffersumma är delbar med 9 är delbara med 9.
4, 8, 12, 64, 132, 188, 2516, ...
Alla tal vars två sista siffror är delbara med fyra är delbara med fyra.
5, 10, 15, 95, 160, 335, 45780, ...
Alla tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med fem.
6, 12, 18, 36, 78, 126, 7878, ...
Alla jämna tal som är delbara med tre är även delbara med sex.
...

Faktorer kallas tal eller uttryck som multipliceras med varandra. Faktorisering är att dela upp ett tal eller uttryck i faktorer som ger samma produkt. Talet 12 kan faktoriseras som 2*6 eller 3*4 eller 2*2*3. 5*2+2 är ingen faktorisering.

Men 2*(4+2) är tillåtet. Uttryck inom parantes räknas som en faktor.

exempel på användning:

Du vill bjuda kvarterets barn på fika och det är 10 ungar. Du har . Hur mycket ska dom få var?

20 bullar och 3 liter läsk = 10 barn * (2 bullar + 0.3liter läsk)

Faktorisering av algebraiska uttryck

Faktorisering innebär att man bryter ut en multiplikator.
För att faktorisera talet $\ 3x-9$ så bryter man ut $\ 3$ vilket ger $\ 3(x-3)$.
För att faktorisera talet $\ x^{2}+5x$ så bryter man ut $\ x$ vilket ger $\ x(x+5)$.

Faktorn man bryter ut kan också vara ett uttryck inom parantes.

För att faktorisera $\ x^{2}-10x+9$ bryter man ut faktorerna $\ (x-9)$ och $\ (x-1)$.

$\ x^{2}-10x+9=(x-9)(x-1)$

Tänk på att använda konjugat och/eller kvadreringsreglerna om möjligt, t.ex:

$\ a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)(a+b)$

$\ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$\ 2a^{3}+2b^{3}=2(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Övning 1
Faktorisera talet $\ 2a^{2}-2b^{2}$

Lösning

Andragradsekvationer

En andragradsekvation skrivs i allmän form:
$\ x^{2}+px+q=0$
och kan sedan lösas med formeln:
$x=-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}$

Exempel:
$\ 2x^{2}-20x+22=4$ kan man lösa såhär:
För att få ekvationen i allmän form subtrahera med 4 på bägge sidor om = tecknet för att få HL (högra ledet) till 0 och dela alltihop med 2 för att få $\ 2x^{2}$ till $\ x^{2}$:

${\frac {2x^{2}-20x+22-4=4-4}{2}}={\frac {2x^{2}-20x+18=0}{2}}=x^{2}-10x+9=0$ (allmän form)

För att lösa ekvationen sätter du in värdena i formeln

$x=-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}$
vilket ger:

$x=-(-10)/2\pm {\sqrt {((-10)/2)^{2}-9}}$
Förenkla:
$x=10/2\pm {\sqrt {-5^{2}-(9)}}$
$x=5\pm {\sqrt {25-9}}$
$x=5\pm {\sqrt {16}}$
$x=5\pm 4$

D.v.s. Hälften av p är -5, med ombytt tecken är 5, ± roten ur, hälften av p=-5 i kvadrat=25 minus q=9

$\ x1=5+4$ och $\ x2=5-4$ vilket ger $\ x1=9$ och $\ x2=1$

Faktorisering för att lösa andragradsekvationer

Skriv uttrycket i allmän form.

Faktorisera

$\ x^{2}-10x+9=(x-9)(x-1)$

Och utrycket ska ge svaret 0. För att svaret ska bli 0 så måste någon av faktorerna (paranteserna) bli 0 och om x=9 blir första parantesen = 0 och om x=1 blir andra parantesen = 0

$\ (9-9)(9-1)=0$

$\ (1-9)(1-1)=0$

$\ x1=9$ och $\ x2=1$

Alla andragradsekvationer skrivna i allmän form som har en giltig lösning går att faktorisera. En ekvation med rötterna x1 och x2 går att faktorisera enligt:

$\ (x-(x1))(x-(x2))$