Fourieranalys

Definition: $E$ är det linjära rummet av styckvis kontinuerliga funktioner definierade på $[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$ med värden i $\mathbb {C}$.

Definition (Skalärprodukt i $E$): $f,g\in E\Rightarrow \langle f,g\rangle :=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}f(t)g(t)dt$.

Sats: $\{{\frac {1}{\sqrt {2}}},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots \}$ bildar en ortonormerad bas i $E$. Bevis:

• $\langle \sin(mx),\cos(nx)\rangle =\ldots =0$
• $\langle \sin(mx),\sin(nx)\rangle =\ldots =\left\{{\begin{array}{c}1\Leftarrow m==n\\0\Leftarrow m\neq n\end{array}}\right.$
• $\langle \cos(mx),\cos(nx)\rangle =\ldots =\left\{{\begin{array}{c}1\Leftarrow m==n\\0\Leftarrow m\neq n\end{array}}\right.$
• $\langle {\frac {1}{\sqrt {2}}},\sin(mx)\rangle =\ldots =0$
• $\langle {\frac {1}{\sqrt {2}}},\cos(mx)\rangle =\ldots =0$
• $\langle {\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\rangle =\ldots =1$.

slut av bevis.

Den ortogonala projektionen $f_{\parallel }$ av $f\in E$ på det ortonormerade systemet ovan är

$f_{\parallel }={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)$, där

$a_{k}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}f(t)\cos(kt)dt$

$b_{k}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}f(t)\sin(kt)dt$.

$f_{\parallel }$ kallas fourierserieutvecklingen av $f$.