Formelsamling/Matematik/Transformer

Åter till huvudsidan.

Konventioner

• Konstanter betecknas med a,b,c
• Stegfunktionen θ(t)=1 för t≥0 : θ(t)=0 annars.
• Diracpulsen δ(t) kan definieras som:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$ $\wedge$ $\delta (t)=0$ $\forall$ $t\neq 0$

Fourier-transform

Definitioner

Om $f(t),-\infty <t<\infty ,$ är styckvis deriverbar och absolut integrerbar då: Fourier-transform: $F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$ Invers Fourier-transform: $f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

Fourier-transform tabell

	$f(t),g(t)\,\!$	$F(\omega ),G(\omega )\,\!$
1	$af(t)+bg(t)\,\!$	$aF(\omega )+bG(\omega )\,\!$
2	$f(at),(a\in \mathbb {R} ,a\neq 0)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$
3	$f(-t)\,\!$	$F(-\omega )\,\!$
4	$\delta (t)\,\!$	$1\,\!$
5	$\delta (t-t_{0})\,\!$	$e^{-j\omega t_{0}}\,\!$
6	$\delta ^{(n)}(t)\,\!$	$(j\omega )^{n}\,\!$
7	$\delta ^{(n)}(t-T)\,\!$	$(j\omega )^{n}e^{-j\omega T}(n=0,1,2,...)\,\!$

z-Transform

Tabell över z-transformer

	$f(t)\,\!$	$F(z)\,\!$
1	$\delta [n]\,\!$	$1\,\!$
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$
3	$u[n]\,\!$	${\frac {1}{1-z^{-n_{0}}}}\,\!$
4	$-u[-n-1]\,\!$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}\,\!$
5	$a^{n}u[n]\,\!$	${\frac {1}{1-\alpha z^{-1}}}\,\!$

Laplace-transform

Definition

Laplacetransformen av f definieras som

${\mathcal {L}}[f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$, för $s\in \mathbb {C}$ sådana att integralen är konvergent.

Egenskaper

Laplacetransformen konvergerar i ett område på formen $\{s\in \mathbb {C} :Re(s)>\sigma \}$, förutsatt att den konvergerar för något $s$, $\sigma >0$.

• ${\mathcal {L}}[\lambda f+\mu g](s)=\lambda {\mathcal {L}}[f](s)+\mu {\mathcal {L}}[g](s)$
• ${\mathcal {L}}\left[{\frac {df}{dx}}(x)\right](s)=s{\mathcal {L}}[f](s)-f(0)$
• ${\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{x}f(\tau )g(\tau )d\tau \right]={\mathcal {L}}[f](s)\cdot {\mathcal {L}}[g](s)$