Formelsamling/Matematik/Taylorutvecklingar

Maclaurins formel

Antag att funktionen $f$ är en $n+1$ gånger kontinuerligt deriverbar funktion i en omgivning av $0$ . Då gäller för alla $x$ i omgivningen att

f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots +{\frac {f^{n}(0)}{n!}}x^{n}+{\text{restterm.}}

Resttermen i högerledet kan skrivas som

{\frac {f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}}x^{n+1}=O(x^{n+1})

, där talet

\theta

beror av

n

och

x

och

0\leq \theta \leq 1

.

Om vi istället vill approximera $f(x)$ i en omgivning av en punkt $x=a$ sätter vi

g(t)=f(a+t)\,

samt

t=x-a\,

och applicerar Maclaurins formel på funktionen g. Vi får då

f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}

där $\xi$ är en punkt mellan $a$ och $x$ .

Dessa standardutvecklingar visas enkelt med Maclaurins formel ovan.

$(1+x)^{\alpha }\,=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}x^{n}+O(x^{n+1})$

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+O(x^{n+1})$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}+O(x^{2n+1})$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+O(x^{2n+2})$

$\arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{2n-1}}+O(x^{2n+1})$