Formelsamling/Matematik/Differentialkalkyl

Åter till huvudsidan.

Derivator

Definition Bildl. representation av derivata Antag att funktionen f(x) är definierad i en omgivning av punkten x. Om gränsvärdet $\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}$ existerar, sägs funktionen f(x) vara deriverbar i x. Gränsvärdet kallas derivatan av f i punkten x, och betecknas $f^{\prime }(x)$, eller ${\frac {df}{dx}}$. Definitionen kan ses som den tangentiella lutningen för en kurva f(x) mellan två punkter x och x + ε. När ε går mot noll fås lutningen för kurvan i punkten x.

Differentialekvationer

Linjära ekvationer av andra ordningen

$y''+a(x)y'+b(x)y=h(x)\,$

där $a(x)$, $b(x)$ och $h(x)$ är kontinuerliga funktioner.

Homogena ekvationen

För en ekvation av typen

$y''+ay'+by=0\,$

görs ansatsen $y=Ce^{rx}$ som ger

$Ce^{rx}(r^{2}+ar+b)=0\,$

som har det karaktäristiska polynomet $p(r)=r^{2}+ar+b\,$ vars nollställen (dvs. $r$ när $p(r)=0$) kan ge lösningar.

1. Två reella rötter, om $r_{1}\neq r_{2}$

   $y_{h}=Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}\,$

2. Dubbelrot, alltså om $r_{1}=r_{2}=r\,$

   $y_{h}=(Ax+B)e^{rx}\,$

3. Komplexa rötter, om $r=\alpha \pm i\beta$

   $y_{h}=e^{\alpha x}(C_{1}e^{i\beta x}+C_{2}e^{-i\beta x})=e^{\alpha x}(A\cos {\beta x}+B\sin {\beta x})\,$

Partikulärlösning

För en allmän inhomogen ekvation

$y''+ay'+by=h(x)\,$

så räcker det att hitta en lösning.

Om $h(x)$ är konstant

Genom direkt insättning i $y''+ay'+by=c$ ser vi att

• Om $b\neq 0$ är $y_{p}={\frac {c}{b}}$ en lösning;
• Om $b=0\,$ och $a\neq 0$ är $y_{p}={\frac {c}{a}}x$ en lösning;
• Om $b=a=0\,$ är $y_{p}={\frac {c}{2}}x^{2}$ en lösning;

Om $h(x)$ är en polynom

• Om $b\neq 0$: sätt $y=q(x)\,$ där grad $q$ $=$grad $h$
• Om $b=0$, $a\neq 0$: sätt $y=xq(x)\,$ där grad $q$ $=$grad $h$

Allmänna lösningen

Fås genom att:

$y=y_{h}+y_{p}\,$