Flervariabelanalys/Kurvor på parameterform

Från Wikibooks
Hoppa till navigering Hoppa till sök


Parameterform[redigera]

Två olika parameterformer för samma linje

Ekvationen beskriver en rät linje i xy-planet. Samma linje kan skrivas på parameterform. Då inför man en parameter, t.ex. t, och låter x och y vara funktioner av denna, d.v.s. och . Linjen ovan kan skrivas på parameterform om vi t.ex. sätter :

Men den kan också skrivas på en annan parameterform genom att sätta . Då får vi genom att lösa ut x ur ekvationen , vilket ger . Linjen kan då beskrivas såhär:

Varje värde på t ger alltså en punkt på xy-planet. Man kan tänka sig att det är ett objekt som rör sig över xy-planet och koordinaterna vid en viss tidpunkt t är beroende av just t. Linjen är då den väg som objektet rör sig på. Riktningen för denna rörelse motsvaras av växande värden på t.

Parametriska kurvor[redigera]

Parabeln

Följande ekvationer beskriver en kurva där alla punkter ligger på en parabel:

Kurvan har en riktning som motsvaras av växande värden på parametern t. Parabeln erhålls genom att eliminera t:

Kurvans punkter ligger alltså på parabeln . Här är det viktigt att notera skillnaden mellan parameterform och icke-parameterform. När vi eliminerar t förlorar vi informationen om kurvans riktning. Det som återstår är endast mängden av alla punkter på kurvan, d.v.s. kurvans "väg".

Definition: Parametrisk kurva