Flervariabelanalys/Introduktion

Inledning

I envariabelanalysen behandlas egenskaper hos funktioner vars värden bara beror på ett enda reellt eller komplext tal. I många tillämpningar är man dock intresserad av storheter som beror av flera tal. Exempelvis beror trycket hos en viss mängd gas både av gasens temperatur och av dess volym. Därför inför man funktioner av flera variabler, och undersöker om de har likartade egenskaper som envariabelfunktionerna.

För den reella envariabelanalysen behöver man också studera egenskaper hos mängden R av reella tal, och särskilt vissa delmängder av R. På samma sätt behöver man för flervarianbelanalysen betrakta mängden R² av alla par av reella tal, mängden R³ av alla trippler av reella tal, och så vidare, och vissa av deras delmängder. Det blir intressant att kunna generalisera exempelvis begrepp som "öppna intervall" eller "slutna och begränsade intervall" till de olika Rⁿ, och att fixera rimliga definitioner för gränsvärden.

På motsvarande sätt finns också en komplex flervariabel analys (där funktionernas definitionsmängder är delmängder av lämpliga Cⁿ, men vi kommer till att börja med bara att behandla reell flervariabelanalys.

Flervariabelanalysen liknar på många sätt envariabelanalysen. Många gånger kommer vi också att kunna "återföra" både teoretiska resultat och praktiska räknemetoder på de motsvarande för envariabelanalysen. Det finns dock också en hel del skillnader. Exempelvis är funktionsgraferna inte längre kurvor, utan ytor (eller motsvarande i högre dimensioner), och dessa kan ha en del egenskaper som är rätt annorlunda de envariabelfunktionsgrafer man kan vara van vid.

Ett annat sätt att kunna behandla flervariabelanalys på liknande sätt som envariabelteorin är genom att se på argumenten som enkla vektorstorheter i stället för separata tal. Exempelvis kan funktionen

$f(x,y)=2x^{3}+5x*y-7$

antingen ses som en funktion med två argument, x och y, som antar talvärden, eller som en "envariabelfunktion" med det enda argumentet v, som antar värden i R². Mot x = 2 och y = -1 svarar det enda värdet v = (2,-1).

För att kunna förstå flervariabelanalysen, bör man först ha lärt sig en del envariabelanalys.

Grundläggande definitioner

Öppen skiva

Definition: En öppen skiva D är mängden av alla punkter P där $d(P_{0},P)<r$. $P_{0}$ är skivans mittpunkt och r är skivans radie, d.v.s

$D=\{P:d(P_{0},P)<r\}\,$ .

D är en omgivning (närmare bestämt r-omgivningen) till $P_{0}$.

Öppen mängd

Definition: En mängd E är en öppen mängd om alla punkter $P\in E$ har en omgivning V så att $V\subset E$, d.v.s. om

$\forall P\in E,\exists V\!:P\in V\subset E$ .