Envariabelanalys

Från Wikibooks
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Terminologi och notation[redigera]

innebär att definieras vara lika med . En sådan 'likhet' behöver alltså inte bevisas. Notationen används ofta för att slippa repetera långa uttryck.

Uttrycket betyder att det finns ('existerar') ett värde sådant att uttrycket är sant.

Summa- och produktsymbolen[redigera]

Summa- och produktsymbolerna används i första hand för att kunna skriva summor respektive produkter med många termer respektive faktorer kortare. innebär summan av alla värden för sådana heltal för vilka påståendet är sant. är en funktion från heltalen till . beryder detsamma som . Notera att däremot betyder något helt annat.

Exempel[redigera]

.
.

Motsvarande notation gäller för , där summan ersatts med en produkt.

Exempel[redigera]

Fakultetsfunktionen kan definieras genom föreskriften .

Mängdlära[redigera]

är en mängd objekt
om identifieras som ett av objekten i skrivs detta som , tillhör
skulle bestå av flera objekt ur tecknas detta som , är en delmängd till

Uttrycket , där är en mängd, innebär att uttrycket är sant för alla värden på x som tillhör A. Ofta är mängden underförstådd och då kan '' förekomma även i följande uttryck: ''. är mängden som består av alla sådana att påståendet är sant. Kolon används även i andra sammanhang för att beteckna 'sådan att', 'så att', et.c.


, där är en funktion och är en mängd, betecknar mängden . Denna form av mängdefiniton kan överföras på den tidigare definitionen enligt .

betecknar en funktion som avbildar värden i på värden i . Det är inte nödvändigtvis sant att .

En motsvarighet till summanotationen finns i mängdläran och betecknas som , och , där notationen syftar på en Union respektive ett snitt. Här är mängder.

Talmängder[redigera]

De naturliga talen[redigera]

Den mest grundläggande talmängden är de naturliga talen, .

De naturliga talen åtföljer Peanos axiom:

Låt beteckna efterföljaren till .

  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • Om K är en mängd sådan att:

, och så innehåller alla naturliga tal.

Heltalen[redigera]

Från de naturliga talen kan heltalen, , definieras

I kan addition, subtraktion, och multiplikation definieras. Notera att .

De rationella talen[redigera]

De rationella talen definieras som

.

För att entydighet ska råda låter man ofta i definitionen ovan. Notera att .

De rationella talen är de tal som har en decimalutveckling som antingen

1) upphör (dvs. slutar med ett oändligt antal nollor)

Detta gäller om och endast om varje primfaktor till delar , dvs är på formen , där talet man önskar utveckla i det decimala systemet är .

2) upprepas (dvs. slutar med en sifferföljd som upprepas ett oändligt antal gånger)

(om decimalutvecklingen upprepas betecknas detta genom ett streck ovanför perioden som i exemplet ovan.)

Decimalutvecklingar är ej entydiga; exempelvis gäller . Om man kräver att utvecklingen aldrig består av endast nior tillräckligt långt bort, är dock utvecklingen entydig.

Kardinalitet[redigera]

Samtliga talmängder definierade hittills har ett uppräkneligt antal element.

Definition: En mängd säges vara uppräknelig om har ett ändligt antal element eller om bijektion .

Talmängden som ska definieras härnäst, mängden av reella tal, är ej uppräknelig; den säges vara överuppräknelig.

De reella talen[redigera]

Längden av diagonalen i en kvadrat med sidan kan ej beskrivas med något tal ur . Detta tal måste enligt Pythagoras sats uppfylla .

Sats:
Bevis: Antag att är rationellt, så att . Välj heltalen och så att och . Detta är inte en inskränkning av det ursprungliga antagandet.

Kvadraten av ett jämnt tal är jämn och kvadraten av ett udda tal är udda. Man ser att är ett jämnt tal, så är ett jämnt tal. Då kan skrivas , för något tal .

På samma sätt framgår nu att är ett jämnt tal. Därför delar såväl som , vilket motsäger . Antagandet är därför falskt, så .

För att kunna beskriva detta avstånd , kan reella tal användas. De reella talen uppfyller samma räkneregler som , samt supremumaxiomet, som ej gäller i .


De reella talen, , är alla tal som kan beskrivas med en oändlig decimalutveckling, exempelvis,

... i exemplen ovan betyder att decimalerna fortsäter i oändligheten. I de fyra första talen i exemplen ovan är fortsättningen på decimalutvecklingen uppenbar men för och finns ingen uppenbar fortsättning utan de tillhör de irrationella talen. De irrationella talen är alla reella tal som inte är rationella tal.

De reella talen består alltså av alla de tidigare nämnda talmängderna, de naturliga talen, , heltalen, och de rationella talen, plus de nyss nämnda irrationella talen.

Supremumaxiomet[redigera]

Om är en icke-tom delmängd av med en övre begränsning, så existerar en minsta övre begränsning av , kallat supremum av . Detta betecknas . Varje element i mängden av övre begränsningar av kallas majoranter till .

Nu kan definieras som . Supremum existerar eftersom mängden är icke-tom () och har en övre begränsning ().

Supremumaxiomet är ett av många sätt att karakterisera och definiera de reella talen. Notera att . Man kan visa att ligger tätt i , dvs att det finns ett rationellt tal i varje omgivning till varje reellt tal.

Komplexa tal[redigera]

Ekvationen saknar lösningar för , på samma sätt som saknar lösningar för . Detta motiverar att införa en ytterligare utvidgning av begreppet 'tal'. Definition: Ett komplext tal är ett talpar , och följande operationer definieras:

  • (addition)
  • (multiplikation)

Man brukar beteckna som . Talen som betecknas , och motsvarar talparet , respektive

Relationer[redigera]

En relation från till är per definition en mängd av element ur . betecknas ofta .

Särskilt viktiga är relationer från en mängd till samma mängd.

Namngivna egenskaper[redigera]

En relation från till säges vara

  • reflexiv om .
  • symmetrisk om .
  • transitiv om och .

Exempel: , . R är ej reflexiv, ty . R är ej transitiv, ty , , men . Däremot är symmetrisk.

Funktioner[redigera]

En funktion är per definition en relation från till sådan att för exakt ett för varje . Detta unika betecknas . kallas för funktionens definitionsmängd, och betecknas . kallas för funktionens värdemängd och betecknas .

Elementära funktioner[redigera]

, .

Talföljder[redigera]

Definition: En talföljd är en funktion . Ett funktionsvärde skrives . Talföljden som helhet skrives , , eller helt enkelt . Definition: En talföljd säges vara växande omm . Definition: En talföljd säges vara avtagande omm . Definition: En talföljd säges vara monoton omm den är växande eller avtagande. Notera att en talföljd är växande och avtagande om och endast om den är konstant. Definition: En talföljd säges vara begränsad omm .

Definition: är per definiton ekvivalent med .

Definition: säges vara konvergent omm .

Sats: Om följden är växande och begränsad, så konvergerar . Bevis: är tydligen icke-tom och har en övre begränsning, betecknad . Därför . Det ska visas att . Antag, för att uppnå motsägelse, . Då är en majorant till , mindre än , vilket är en motsägelse.

Serier[redigera]

Definition: . Definition: säges vara konvergent omm är konvergent (sedd som en talföljd med index ).

Rotkriteriet[redigera]

Antag att existerar. Om , så är absolutkonvergent. Om så divergerar . Bevis (A < 1): Eftersom , kan ett väljas så att väljas. Det gäller att konvergerar omm konvergerar (summan från till har ett ändligt antal termer). Antag att . . Nu gäller uppskattningen där hl är en geometrisk summa, som är konvergent eftersom . Därför konvergerar även och därför även , vilket man ville visa.

Topologi[redigera]

Det finns en allmän teori för vad som menas med en topologi på en mängd. Här inför vi bara topologin på . Topologin fångar upp vissa av de geometriska egenskaperna hos mängden, i detta fall . Vi tänker oss här de reella talen som "punkter".

Öppna omgivningar[redigera]

Definition: Den öppna omgivningen centrerad på med radie , betecknad är per definition mängden .

Öppna och slutna mängder[redigera]

Låt vara en delmängd av .

Definition: En punkt säges vara en inre punkt till M omm

.

Definition: En punkt säges vara en hopningspunkt till M omm

.

Definition: Mängden säges vara öppen omm

, är en inre punkt till .

Definition: Mängden säges vara sluten omm innehåller alla hopningspunkter till .

Observationer: Enligt definitionen är både en öppen och en sluten mängd. Detsamma gäller den tomma mängden , därför att definitionerna i det fallet inte innebär något faktiskt krav. De vore ju bara tillämpbara för element ; men det finns inte något sådant .

Gränsvärden[redigera]

Gränsvärdesdefinitionen[redigera]

. Definition: är per definition ekvivalent med . Då . Definition: är per definition ekvivalent med . Då . Definition: är per definition ekvivalent med .

Kontinuitet[redigera]

Funktionen säges vara kontinuerlig i punkten omm . Antag att är ett intervall. Funktionen säges vara kontinuerlig på I om är kontinuerlig i punkten . Motsvarande definition gäller för öppna, halvöppna och obegränsade intervall.

Integraler[redigera]

Låt vara definierad på det kompakta intervallet . Låt en partition vara en ändlig mängd innehållande , , samt (eventuellt) fler punkter ur . Låt . kallas indelningens finhet. En summa säges vara en översumma omm ; summan kallas för en undersumma omm . säges vara Riemannintegrerbar omm en översumma och en undersumma . Om är integrerbar, kallas för integralen av över och betecknas .

Exempel. Beräkna :
Sätt , · , vilket tydligen kan göras godtyckligt litet om partitionen väljs lämpligt. Därför är integrerbar över . Integralen ges av för stort : , där det utnyttjats att för och speciellt .

Derivata[redigera]

Definition: Derivatan av i punkten definieras som

, förutsatt att gränsvärdet existerar.

Exempel: Visa att , där , är deriverbar och finn . Lösning: = .

Medelvärdessatsen[redigera]

Sats: Om är kontinuerlig på intervallet och deriverbar på intervallet , så

.

Bevis: behöver Rolles sats

Deriveringsmetoder[redigera]

Logaritmisk derivering[redigera]

En metod som ibland underlättar derivering, särskilt av produkter och kvoter, är logaritmisk derivering. Denna presenteras bäst med ett exempel: Exempel: Derivera .

Lösning: Logaritmera båda led,

och utnyttja därefter logaritmlagarna,

.

Derivera med avseende på x:

.

Lös ut :

.

Detta bör jämföras med att successivt tillämpa produkt- och kvotlagarna för derivering för stora värden på och .

Logaritmisk derivering ger också en minnesregel för produkt- och kvotlagarna för derivering. För derivatan av en kvot ger en logaritmering av att

och en efterföljande derivering av båda led med avseende på x ger att

.

Primitiva funktioner[redigera]

Definition: En deriverbar funktion säges vara en primitiv funktion till en funktion på intervallet I omm

,

detta betecknas . Intervallet är ofta underförstått.

Det är lätt att se att exempelvis är den primitiva funktionen till .

Egenskaper[redigera]

Följande egenskaper följer direkt ur egenskaper för derivator. och är funktioner. är en konstant.

Att finna en primitiv funktion till en given funktion är i allmänhet svårt; däremot finns många metoder som bildar en primitiv funktion till funktioner som hör till en viss klass av funktioner.

Polynom[redigera]

En primitiv funktion till ett polynom finner man enligt = .

Rationella funktioner[redigera]

En rationell funktion är en kvot mellan två polynom.

Alla integraler av rationella funktioner kan, efter vissa omskrivningar, överföras till en linjärkombination av integraler på nedanstående form.

.
.

Partialbråksuppdelning[redigera]