Envariabelanalys

Terminologi och notation

$A:=B$ innebär att $A$ definieras vara lika med $B$ . En sådan 'likhet' behöver alltså inte bevisas. Notationen används ofta för att slippa repetera långa uttryck.

Uttrycket $\exists x:p(x)$ betyder att det finns ('existerar') ett värde $x$ sådant att uttrycket $p(x)$ är sant.

Summa- och produktsymbolen

Summa- och produktsymbolerna används i första hand för att kunna skriva summor respektive produkter med många termer respektive faktorer kortare. $\sum _{n:p(n)}f(n)$ innebär summan av alla värden $f(n)$ för sådana heltal $p(n)$ för vilka påståendet $p(n)$ är sant. $f$ är en funktion från heltalen till $\mathbb {R}$ . $\sum _{n=a}^{b}f(n)$ betyder detsamma som $\sum _{a\leq n\leq b}f(n)$ . Notera att $\sum _{a=n}^{b}f(n)$ däremot betyder något helt annat.

Exempel

\sum _{n:1\leq n\leq 5}2n+1=\sum _{n=1}^{5}2n+1=(2\cdot 1+1)\;+\;(2\cdot 2+1)\;+\;(2\cdot 3+1)\;+\;(2\cdot 4+1)\;+\;(2\cdot 5+1)=3+5+7+9+11=35

.

\sum _{n:1\leq n<12\land n|12}n=1+2+3+4+6=16

.

Motsvarande notation gäller för $\prod _{p(n)}f(n)$ , där summan ersatts med en produkt.

Exempel

Fakultetsfunktionen kan definieras genom föreskriften $n!=\prod _{m}=1^{n}m$ .

Mängdlära

$A$ är en mängd objekt
om $x$ identifieras som ett av objekten i $A$ skrivs detta som $x\in A$ , $x$ tillhör $A$
skulle $B$ bestå av flera objekt ur $A$ tecknas detta som $B\subseteq A$ , $B$ är en delmängd till $A$

Uttrycket $p(x)\forall x\in A$ , där $A$ är en mängd, innebär att uttrycket $p(x)$ är sant för alla värden på x som tillhör A. Ofta är mängden $A$ underförstådd och då kan ' $\forall$ ' förekomma även i följande uttryck: ' $p(x)\forall x$ '. $\{x:p(x)\}$ är mängden som består av alla $x$ sådana att påståendet $p(x)$ är sant. Kolon används även i andra sammanhang för att beteckna 'sådan att', 'så att', et.c.

$f(A)$ , där $f$ är en funktion och $A$ är en mängd, betecknar mängden $\{f(x):x\in A\}$ . Denna form av mängdefiniton kan överföras på den tidigare definitionen enligt $\{f(x):x\in A\}=\{y:\exists x\in A:f(x)=y\}$ .

$f:A\to B$ betecknar en funktion som avbildar värden i $A$ på värden i $B$ . Det är inte nödvändigtvis sant att $f(A)=B$ .

En motsvarighet till summanotationen finns i mängdläran och betecknas som $\bigcup _{p(n)}A_{n}$ , och $\bigcap _{p(n)}A_{n}$ , där notationen syftar på en Union respektive ett snitt. Här är $A_{n}$ mängder.

Talmängder

De naturliga talen

Den mest grundläggande talmängden är de naturliga talen, $\mathbb {N}$ .

\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}

De naturliga talen åtföljer Peanos axiom:

Låt $S(n)$ beteckna efterföljaren till $n$ .

$x=x\forall x\in \mathbb {N}$ .
$x=y\Rightarrow y=x\forall (x,y)\in \mathbb {N} ^{2}$ .
$x=y\land y=z\Rightarrow x=z\forall (x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}$ .
$a\in \mathbb {N} \land a=b\Rightarrow b\in \mathbb {N}$ .
$0\in \mathbb {N}$ .
$S(n)\in \mathbb {N} \forall n\in \mathbb {N}$ .
$\not \exists n:S(n)=0$ .
$S(m)=S(n)\Rightarrow m=n\forall (m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$ .
Om K är en mängd sådan att:

$0\in K$ , och $S(n)\in K\forall n\in K$ så innehåller $K$ alla naturliga tal.

Heltalen

Från de naturliga talen kan heltalen, $\mathbb {Z}$ , definieras

\mathbb {Z} =\{0,-1,1,-2,2,-3,3,\ldots \}

I $\mathbb {Z}$ kan addition, subtraktion, och multiplikation definieras. Notera att $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z}$ .

De rationella talen

De rationella talen definieras som

\mathbb {Q} =\{{\frac {p}{q}}:(p,q)\in \mathbb {Z} ^{2},q\neq 0\}

.

För att entydighet ska råda låter man ofta $q>0$ i definitionen ovan. Notera att $\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ .

De rationella talen är de tal som har en decimalutveckling som antingen

1) upphör (dvs. slutar med ett oändligt antal nollor)

{\frac {3}{4}}=0{,}750000\,\ldots

Detta gäller om och endast om varje primfaktor till $q$ delar $10$ , dvs $q$ är på formen $q=2^{a}5^{b}$ , där talet man önskar utveckla i det decimala systemet är $p \over q$ .

2) upprepas (dvs. slutar med en sifferföljd som upprepas ett oändligt antal gånger)

{\frac {31415}{99999}}=0{,}3141531415\,\ldots =0{,}{\overline {31415}}

(om decimalutvecklingen upprepas betecknas detta genom ett streck ovanför perioden som i exemplet ovan.)

Decimalutvecklingar är ej entydiga; exempelvis gäller $2.{\overline {9}}=3$ . Om man kräver att utvecklingen aldrig består av endast nior tillräckligt långt bort, är dock utvecklingen entydig.

Kardinalitet

Samtliga talmängder definierade hittills har ett uppräkneligt antal element.

Definition: En mängd $M$ säges vara uppräknelig om $M$ har ett ändligt antal element eller om $\exists$ bijektion $f:M\to \mathbb {N}$ .

Talmängden som ska definieras härnäst, mängden av reella tal, är ej uppräknelig; den säges vara överuppräknelig.

De reella talen

Längden av diagonalen i en kvadrat med sidan $1$ kan ej beskrivas med något tal ur $\mathbb {Q}$ . Detta tal $x$ måste enligt Pythagoras sats uppfylla $x^{2}=2$ .

Sats: $x\notin \mathbb {Q}$
Bevis: Antag att $x$ är rationellt, så att $\exists (p,q)\in \mathbb {Z} :x={\frac {p}{q}}$ . Välj heltalen $p$ och $q$ så att $sgd(p,q)=1$ och $q>0$ . Detta är inte en inskränkning av det ursprungliga antagandet.

x={\frac {p}{q}}\Rightarrow

x^{2}=\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}\Rightarrow

2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\Rightarrow

2q^{2}=p^{2}\,

Kvadraten av ett jämnt tal är jämn och kvadraten av ett udda tal är udda. Man ser att $p^{2}$ är ett jämnt tal, så $p$ är ett jämnt tal. Då kan $p$ skrivas $p=2k$ , för något tal $k\in \mathbb {Z}$ .

2q^{2}=(2k)^{2}\Rightarrow

q^{2}=2k^{2}\,

På samma sätt framgår nu att $q$ är ett jämnt tal. Därför delar $2$ såväl $p$ som $q$ , vilket motsäger $sgd(p,q)=1$ . Antagandet $x\in \mathbb {Q}$ är därför falskt, så $x\notin \mathbb {Q}$ .

För att kunna beskriva detta avstånd $x$ , kan reella tal användas. De reella talen uppfyller samma räkneregler som $\mathbb {Q}$ , samt supremumaxiomet, som ej gäller i $\mathbb {Q}$ .

De reella talen, $\mathbb {R}$ , är alla tal som kan beskrivas med en oändlig decimalutveckling, exempelvis,

1=1{,}000000\,\ldots

{\frac {-1}{2}}=-0{,}500000\,\ldots

{\frac {2}{3}}=0{,}666666\,\ldots

{\frac {41}{333}}=0{,}123123\,\ldots

{\sqrt {2}}=1{,}414213\,\ldots

\pi =3{,}14159\,\ldots

... i exemplen ovan betyder att decimalerna fortsäter i oändligheten. I de fyra första talen i exemplen ovan är fortsättningen på decimalutvecklingen uppenbar men för $\pi$ och ${\sqrt {2}}$ finns ingen uppenbar fortsättning utan de tillhör de irrationella talen. De irrationella talen är alla reella tal som inte är rationella tal.

De reella talen består alltså av alla de tidigare nämnda talmängderna, de naturliga talen, $\mathbb {N}$ , heltalen, $\mathbb {Z}$ och de rationella talen, $\mathbb {Q}$ plus de nyss nämnda irrationella talen.

Supremumaxiomet

Om $M$ är en icke-tom delmängd av $\mathbb {R}$ med en övre begränsning, så existerar en minsta övre begränsning av $M$ , kallat supremum av $M$ . Detta betecknas $\sup M$ . Varje element i mängden av övre begränsningar av $M$ kallas majoranter till $M$ .

Nu kan $x\in \mathbb {R}$ definieras som $x=\sup\{r\in \mathbb {Q} :r^{2}<2\}$ . Supremum existerar eftersom mängden $M=\{r\in \mathbb {R} :r^{2}<2\}$ är icke-tom ( $0\in M$ ) och har en övre begränsning ( $r<2\forall r\in M$ ).

Supremumaxiomet är ett av många sätt att karakterisera och definiera de reella talen. Notera att $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ . Man kan visa att $\mathbb {Q}$ ligger tätt i $\mathbb {R}$ , dvs att det finns ett rationellt tal i varje omgivning till varje reellt tal.

Komplexa tal

Ekvationen $x^{2}=-1$ saknar lösningar för $x\in \mathbb {R}$ , på samma sätt som $x^{2}=2$ saknar lösningar för $x\in \mathbb {Q}$ . Detta motiverar att införa en ytterligare utvidgning av begreppet 'tal'. Definition: Ett komplext tal är ett talpar $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ , och följande operationer definieras:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$ (addition)
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,$ (multiplikation)

Man brukar beteckna $(a,b)$ som $a+bi$ . Talen som betecknas $1$ , och $i$ motsvarar talparet $(1,0)$ , respektive $(0,1)$

Relationer

En relation $R$ från $A$ till $B$ är per definition en mängd av element ur $A\times B$ . $(a,b)\in R$ betecknas ofta $aRb$ .

Särskilt viktiga är relationer från en mängd till samma mängd.

Namngivna egenskaper

En relation från $A$ till $A$ säges vara $\ldots$

reflexiv om $xRx\forall x\in A$ .
symmetrisk om $xRy\Rightarrow yRx$ .
transitiv om $(xRy$ och $yRz)\Rightarrow xRz$ .

Exempel: $A=\{-4,-2,0,2,4\}$ , $R=\{(-4,4),(4,-4),(-2,2),(2,-2),(0,0)\}$ . R är ej reflexiv, ty $(-4,-4)\notin R$ . R är ej transitiv, ty $(-4,4)\in R$ , $(4,-4)\in R$ , men $(-4,-4)\notin R$ . Däremot är $R$ symmetrisk.

Funktioner

En funktion $f:A\to B$ är per definition en relation $R$ från $A$ till $B$ sådan att $xRy$ för exakt ett $y$ för varje $x$ . Detta unika $y$ betecknas $f(x)$ . $A$ kallas för funktionens definitionsmängd, och betecknas $D_{f}$ . $B$ kallas för funktionens värdemängd och betecknas $V_{f}$ .

Elementära funktioner

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f(x)=exp(x)$ .

Talföljder

Definition: En talföljd är en funktion $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ . Ett funktionsvärde $a(n)$ skrives $a_{n}$ . Talföljden som helhet skrives $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , $\left(a_{n}\right)_{n=0}^{\infty }$ , eller helt enkelt $(a_{n})$ . Definition: En talföljd $(a_{n})$ säges vara växande omm $m\geq n\Rightarrow a_{m}\geq a_{n}$ . Definition: En talföljd $(a_{n})$ säges vara avtagande omm $m\geq n\Rightarrow a_{m}\leq a_{n}$ . Definition: En talföljd säges vara monoton omm den är växande eller avtagande. Notera att en talföljd är växande och avtagande om och endast om den är konstant. Definition: En talföljd $(a_{n})$ säges vara begränsad omm $\exists M\geq 0:|a_{n}|<M\forall n\in \mathbb {N}$ .

Definition: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A\in \mathbb {R}$ är per definiton ekvivalent med $\forall \varepsilon >0\exists N\in \mathbb {N} :n\geq N\Rightarrow |a_{n}-A|<\varepsilon$ .

Definition: $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ säges vara konvergent omm $\exists A\in \mathbb {R} :\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ .

Sats: Om följden $(a_{n})$ är växande och begränsad, så konvergerar $(a_{n})$ . Bevis: $V_{a}$ är tydligen icke-tom och har en övre begränsning, betecknad $M$ . Därför $\exists A:=\sup V_{a}$ . Det ska visas att $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ . Antag, för att uppnå motsägelse, $\exists \varepsilon _{0}>0:|a_{n}-A|\geq \varepsilon _{0}\forall n\in \mathbb {N}$ . Då är $A^{\prime }:=A-\varepsilon _{0}<A$ en majorant till $V_{a}$ , mindre än $A$ , vilket är en motsägelse.

Serier

Definition: $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ . Definition: $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ säges vara konvergent omm $\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ är konvergent (sedd som en talföljd med index $n$ ).

Rotkriteriet

Antag att $A:=\lim _{k\to \infty }|a_{k}|^{\frac {1}{k}}$ existerar. Om $A<1$ , så är $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolutkonvergent. Om $A>1$ så divergerar $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ . Bevis (A < 1): Eftersom $|a_{k}|^{\frac {1}{k}}\to A<1$ , kan ett $n_{0}$ väljas så att $|a_{k}|^{\frac {1}{k}}<{\frac {A+1}{2}}:=p\forall k\geq n_{0}$ väljas. Det gäller att $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ konvergerar omm $\sum _{k=n_{0}}^{\infty }a_{k}$ konvergerar (summan från $0$ till $n_{0}-1$ har ett ändligt antal termer). Antag att $k\geq n_{0}$ . $|a_{k}|^{\frac {1}{k}}<p\Rightarrow |a_{k}|<p^{k}$ . Nu gäller uppskattningen $\sum _{k=n_{0}}^{\infty }|a_{k}|<\sum _{k=n_{0}}^{\infty }p^{k}$ där hl är en geometrisk summa, som är konvergent eftersom $p<1$ . Därför konvergerar även $\sum _{k=0}^{n_{0}}|a_{k}|$ och därför även $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ , vilket man ville visa.

Topologi

Det finns en allmän teori för vad som menas med en topologi på en mängd. Här inför vi bara topologin på $\mathbb {R}$ . Topologin fångar upp vissa av de geometriska egenskaperna hos mängden, i detta fall $\mathbb {R}$ . Vi tänker oss här de reella talen som "punkter".

Öppna omgivningar

Definition: Den öppna omgivningen centrerad på $a\in \mathbb {R}$ med radie $r$ , betecknad $N_{r}(a)$ är per definition mängden $\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<r\}$ .

Öppna och slutna mängder

Låt $M$ vara en delmängd av $\mathbb {R}$ .

Definition: En punkt $x\in M$ säges vara en inre punkt till M omm

\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(x)\subseteq M

.

Definition: En punkt $x\in M$ säges vara en hopningspunkt till M omm

\forall \varepsilon >0\;(N_{\varepsilon }(x)\backslash \{x\})\cap M\neq \emptyset

.

Definition: Mängden $M$ säges vara öppen omm

\forall x\in M

,

x

är en inre punkt till

M

.

Definition: Mängden $M$ säges vara sluten omm $M$ innehåller alla hopningspunkter till $M$ .

Observationer: Enligt definitionen är $\mathbb {R}$ både en öppen och en sluten mängd. Detsamma gäller den tomma mängden $\emptyset$ , därför att definitionerna i det fallet inte innebär något faktiskt krav. De vore ju bara tillämpbara för element $x\in \emptyset$ ; men det finns inte något sådant $x$ .

Gränsvärden

Gränsvärdesdefinitionen

Då $x\to a$ . Definition: $\lim _{x\to a}f(x)=c$ är per definition ekvivalent med $\forall \varepsilon >0\exists \delta :0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-c|<\varepsilon$ . Då $x\to \infty$ . Definition: $\lim _{x\to \infty }f(x)=c$ är per definition ekvivalent med $\forall \varepsilon >0\exists M:x\geq M\Rightarrow |f(x)-c|<\varepsilon$ . Då $x\to -\infty$ . Definition: $\lim _{x\to -\infty }f(x)=c$ är per definition ekvivalent med $\forall \varepsilon >0\exists M:x\leq M\Rightarrow |f(x)-c|<\varepsilon$ .

Kontinuitet

Funktionen $f$ säges vara kontinuerlig i punkten $a$ omm $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ . Antag att $I=[a,b]\subset \mathbb {R}$ är ett intervall. Funktionen $f$ säges vara kontinuerlig på I om $f$ är kontinuerlig i punkten $a\forall a\in I$ . Motsvarande definition gäller för öppna, halvöppna och obegränsade intervall.

Integraler

Låt $f$ vara definierad på det kompakta intervallet $[a,b]$ . Låt en partition vara en ändlig mängd $P$ innehållande $a$ , $b$ , samt (eventuellt) fler punkter ur $[a,b]$ . Låt $P=\{(a=x_{0}),\ldots ,(b=x_{n})\}$ . $\max _{i,j}|x_{i}-x_{j}|$ kallas indelningens finhet. En summa $\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}(x_{k+1}-x_{k})$ säges vara en översumma omm $c_{k}\geq f(x)\forall x\in [x_{k},x_{k+1}]\forall k\in \{0,\ldots ,n\}$ ; summan kallas för en undersumma omm $c_{k}\leq f(x)\forall x\in [x_{k},x_{k+1}]\forall k\in \{0,\ldots ,n\}$ . $f$ säges vara Riemannintegrerbar på $[a,b]$ omm $\forall \varepsilon >0\exists$ en översumma $U$ och en undersumma $L:U-L<\varepsilon$ . Om $f$ är integrerbar, kallas $\inf\{U:U{\text{ är en översumma}}\}$ för integralen av $f$ över $[a,b]$ och betecknas $\int _{a}^{b}f(t)dt$ .

Exempel. Beräkna $\int _{0}^{1}t^{2}dt$ :
Sätt $L=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(x_{k+1}-x_{k})$ , $U=\sum _{k=0}^{n-1}b_{k}(x_{k+1}-x_{k})$ · $U-L=\sum _{k=0}^{n-1}(b_{k}-a_{k})(x_{k+1}-x_{k})=\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {2k+1}{n}}\right)^{2}\left({\frac {1}{n}}\right)={\frac {2}{n^{3}}}\sum _{k=0}^{n-1}k+{\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=0}^{n-1}1={\frac {2}{n^{3}}}\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)+{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}(2-{\frac {1}{n}})$ , vilket tydligen kan göras godtyckligt litet om partitionen $P_{n}=\{0,{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}},\ldots ,1\}$ väljs lämpligt. Därför är $f:x->x^{2}$ integrerbar över $[0,1]$ . Integralen ges av $U$ för stort $n$ : $\lim U=\lim \sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {k+1}{n}}\right)^{2}\left({\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{3}}$ , där det utnyttjats att $\sum _{k=0}^{n-1}k^{p}=O(n^{p+1})$ för $p>0$ och speciellt ${\frac {\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}}{n^{3}}}\to {\frac {1}{3}}$ .

Derivata

Definition: Derivatan $f^{\prime }$ av $f$ i punkten $x$ definieras som

f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

, förutsatt att gränsvärdet existerar.

Exempel: Visa att $f:x\to x^{n}$ , där $n\in \mathbb {N}$ , är deriverbar och finn $f^{\prime }(x)\forall x\in \mathbb {R}$ . Lösning: $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}h^{k}\right)-x^{n}}{h}}$ = $\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}h^{k-1}=nx^{n-1}+\lim _{h\to 0}h\left(\sum _{k=2}^{n}{n \choose k}x^{n-k}h^{k-1}\right)=nx^{n-1}$ .

Medelvärdessatsen

Sats: Om $f$ är kontinuerlig på intervallet $[a,b]$ och deriverbar på intervallet $]a,b[$ , så

\exists \xi \in ]a,b[:{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f^{\prime }(\xi )

.

Bevis: behöver Rolles sats

Deriveringsmetoder

Logaritmisk derivering

En metod som ibland underlättar derivering, särskilt av produkter och kvoter, är logaritmisk derivering. Denna presenteras bäst med ett exempel: Exempel: Derivera $y(x)={\frac {f_{0}(x)\ldots f_{n}(x)}{g_{0}(x)\ldots g_{m}(x)}}$ .

Lösning: Logaritmera båda led,

\ln y(x)=\ln {\frac {f_{0}(x)\ldots f_{n}(x)}{g_{0}(x)\ldots g_{m}(x)}}

och utnyttja därefter logaritmlagarna,

\ln y(x)=\ln f_{0}(x)+\ldots +\ln f_{n}(x)-\ln g_{0}(x)-\ldots -\ln g_{m}(x)

.

Derivera med avseende på x:

{\frac {y^{\prime }(x)}{y(x)}}={\frac {f_{0}^{\prime }(x)}{f_{0}(x)}}+\ldots +{\frac {f_{n}^{\prime }(x)}{f_{n}(x)}}-{\frac {g_{0}^{\prime }(x)}{g_{0}(x)}}-\ldots -{\frac {g_{m}^{\prime }(x)}{g_{m}(x)}}

.

Lös ut $y^{\prime }(x)$ :

y^{\prime }(x)={\frac {f_{0}(x)\ldots f_{n}(x)}{g_{0}(x)\ldots g_{m}(x)}}\left({\frac {f_{0}^{\prime }(x)}{f_{0}(x)}}+\dots +{\frac {f_{n}^{\prime }(x)}{f_{n}(x)}}-{\frac {g_{0}^{\prime }(x)}{g_{0}(x)}}-\ldots -{\frac {g_{m}^{\prime }(x)}{g_{m}(x)}}\right)

.

Detta bör jämföras med att successivt tillämpa produkt- och kvotlagarna för derivering för stora värden på $m$ och $n$ .

Logaritmisk derivering ger också en minnesregel för produkt- och kvotlagarna för derivering. För derivatan av en kvot ger en logaritmering av $y(x)=f(x)/g(x)$ att

\ln y(x)=\ln f(x)-\ln g(x)\,

och en efterföljande derivering av båda led med avseende på x ger att

{\frac {y^{\prime }(x)}{y(x)}}={\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}-{\frac {g^{\prime }(x)}{g(x)}}\quad \Leftrightarrow \quad y^{\prime }(x)=\ldots ={\frac {f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x)^{2}}}

.

Primitiva funktioner

Definition: En deriverbar funktion $f$ säges vara en primitiv funktion till en funktion $g$ på intervallet I omm

{\frac {dg}{dx}}(x)=f(x)\forall x\in I

,

detta betecknas $\int fdx=g$ . Intervallet $I$ är ofta underförstått.

Det är lätt att se att exempelvis $x^{3}/3+C$ är den primitiva funktionen till $x^{2}$ .

Egenskaper

Följande egenskaper följer direkt ur egenskaper för derivator. $f$ och $g$ är funktioner. $\lambda$ är en konstant.

$\int (f+g)dx=\int fdx+\int gdx$
$\int \lambda fdx=\lambda \int fdx$
$\int {\frac {f^{\prime }}{f}}dx=\ln \left|f\right|$

Att finna en primitiv funktion till en given funktion är i allmänhet svårt; däremot finns många metoder som bildar en primitiv funktion till funktioner som hör till en viss klass av funktioner.

Polynom

En primitiv funktion till ett polynom $a_{n}x^{n}+\ldots +a_{0}$ finner man enligt $\int (a_{n}x^{n}+\ldots +a_{0})dx$ = $a_{n}\int x^{n}dx+\ldots a_{o}\int dx=a_{n}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+\ldots +a_{0}x$ .