Fourieranalys

Från Wikibooks

Definition: $E$ är det linjära rummet av styckvis kontinuerliga funktioner definierade på $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ med värden i $\mathbb{C}$ .

Definition (Skalärprodukt i $E$ ): $f, g \in E \Rightarrow \langle f, g \rangle := \int _{-\frac{\pi}{2}} ^\frac{\pi}{2} f(t)g(t) dt$ .

Sats: $\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2x), \cos(2x), \ldots \}$ bildar en ortonormerad bas i $E$ . Bevis:

$\langle \sin(mx), \cos(nx) \rangle = \ldots = 0$
$\langle \sin(mx), \sin(nx) \rangle = \ldots = \left\{ \begin{array}{c} 1 \Leftarrow m == n \\ 0 \Leftarrow m \neq n \end{array} \right.$
$\langle \cos(mx), \cos(nx) \rangle = \ldots = \left\{ \begin{array}{c} 1 \Leftarrow m == n \\ 0 \Leftarrow m \neq n \end{array} \right.$
$\langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin(mx) \rangle = \ldots = 0$
$\langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos(mx) \rangle = \ldots = 0$
$\langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\rangle = \ldots = 1$ .