Faktablad/Komplex multiplikation med reella tal

Från Wikibooks

Hoppa till: navigering, sök
Denna sida är ett faktablad för Komplex multiplikation med reella tal.

Innehåll

[redigera] Komplex multiplikation med reella tal

En multiplikation med komplexa tal är detsamma som en vektorrotation i två dimensioner. Därför kan man betrakta det som en operation på en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Antag att du har det komplexa talet z, det består av en realdel, Re z = x, och en imaginärdel, Im z = y :

\ {z = [x, y]}

Nu vill vi multiplicera z med ett annat komplext tal, c, och då skapa det nya komplexa talet z´. Det uttrycks med komplexa tal på samma sätt som all annan multiplikation:

\ {z' = zc}

Men det är inte till mycket hjälp om du vill göra beräkningen för hand med papper och penna. Vad som då måste göras är att bryta ned det komplexa talet z till de två rella talen x och y, och talet c till a och b. Nästa steg är att först beräkna den nya realdelen x´ och efter det den nya imaginärdelen y´. För att göra det brukas en formel i två led:

\ {x' = xa - yb}
\ {y' = xb + ya}

Resultaten x´ och y´ bildar sedan real- och imaginärdelarna i det nya komplexa talet z´:

\ {z' = [x', y']}

Vid kvadrering av komplexa tal, \ {z \cdot z}, kan formeln ovan med algebraiska metoder förenklas något:

\ {z' = z^2}
\ {x' = x^2- y^2}
\ {y' = 2xy}







[redigera] Ett exempel:

Komplex multiplikation.gif
\ {x = 1,2}
\ {y = 1,9}
\ {a = -1,7}
\ {b = 1,2}
\ {x' = -4,32}
\ {y' = -1,79}

[redigera] Övningar:

1, Beräkna:
[ 1.0, 0.0 ] · [ 0.0, 1.0 ]
2, Beräkna:
[ 3.0, 4.0 ] · [ 12.0, 16.0 ]

[redigera] Absolutbeloppet

Ett komplext tals absolutbelopp motsvaras av längden på pilarna i bilden ovan. Absolutbeloppet noteras med en vertikal linje på var sida om variabeln:

\ |z|

För att beräkna absolutbeloppet så dras roten ur summan av real och imginärdelarnas kvadrater:

\ |z| = \sqrt{x^2+y^2}

[redigera] Övningar:

3, Beräkna:
Absolutbeloppen för z, c och z´ i dom två räkneexemplen ovan.
4, Beräkna:
Absolutbeloppen för z, c och z´ i bildexemplet ovan och avrunda till tre decimaler.


Facit

Hämtad från "http://sv.wikibooks.org/wiki/Faktablad/Komplex_multiplikation_med_reella_tal"