Linjär Algebra

Geometriska vektorer

Låt ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$ vara vektorer och $\lambda ,\mu$ skalärer, då gäller:

${\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {v}}+{\vec {u}}$	(kommutativa lagen)
${\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})=({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}$	(associativa lagen)
${\vec {u}}+{\vec {0}}={\vec {u}}$
${\vec {u}}+(-1){\vec {u}}={\vec {0}}$
$\lambda (\mu {\vec {u}})=(\lambda \mu ){\vec {u}}$
$1{\vec {u}}={\vec {u}}$
$0{\vec {u}}={\vec {0}}$
$\lambda {\vec {0}}={\vec {0}}$
$(\lambda +\mu ){\vec {u}}=\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {u}}$	(distributiva lagen)
$\lambda ({\vec {u}}+{\vec {v}})=\lambda {\vec {u}}+\lambda {\vec {v}}$	(distributiva lagen)

Skalärprodukten

Definition

Låt $|{\vec {u}}|$ beteckna längden av en vektor ${\vec {u}}$ och $[{\vec {u}},{\vec {v}}\,]$ den minsta vinkeln mellan två vektorer ${\vec {u}}$ och ${\vec {v}}$ . Då gäller att ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}|\,|{\vec {v}}|\cos[{\vec {u}},{\vec {v}}\,]$ .

Räkneregler för skalärprodukt

{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot {\vec {u}}

{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=|{\vec {u}}|^{2}

({\vec {u_{1}}}+{\vec {u_{2}}})\cdot {\vec {v}}={\vec {u_{1}}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {u_{2}}}\cdot {\vec {v}}

(\lambda {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}=\lambda ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})