Formelsamling/Matematik/Trigonometri

Förklaring av elementära funktioner som sinus, cosinus och tangens finner du här.

Triangelsatser

Om $T$ är en triangel med sidorna $a$, $b$ och $c$ och motstående vinklarna $A$, $B$ respektive $C$ så gäller

Areasatsen:

$Arean =T= {b c \sin\alpha \over 2}$

Sinussatsen:

$\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$

eller

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Cosinussatsen:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha$

Herons formel:

Herons formel säger att givet en godtycklig triangel med sidorna a, b, c, och semiperimetern s där

$s = \frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$

för triangelns area gäller

$\mathrm{Arean} = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\ =\ \frac {\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$

Formler

För alla vinklar $\alpha$ och $\beta$ gäller att

Enkla samband:

$\cos(\alpha)=\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})\,\!$ (vinklar i radianer)

$\cos(\alpha)=\sin(\alpha+180^\circ)\,\!$ (vinklar i grader)

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\,\!$

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha\,\!$

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\,\!$

$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\,\!$

$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\,\!$

$\tan(90^\circ-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}\,\!$

$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\,\!$

$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\,\!$

$\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha\,\!$

Trigonometriska ettan:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\,\!$

Additionssatser:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,\!$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,\!$

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\,\!$

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\,\!$

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\,\!$

$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\,\!$

Formler för halva vinkeln:

$\sin^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1-\cos\alpha}{2}\,\!$

$\cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1+\cos\alpha}{2}\,\!$

Formler för dubbla vinklen:

$\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\,\!$

$\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\,\!$

$\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\,\!$

Produktformler:

$2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\,\!$

$2\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\!$

$2\sin\alpha\cos\beta=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\,\!$

Linjärkombinationer:

Då $a>0, b>0, \tan\beta=\frac{b}{a}, 0^\circ<\beta<90^\circ$ gäller

$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt(a^2+b^2)\sin(\alpha+\beta)\,\!$

$a\sin\alpha-b\cos\alpha=\sqrt(a^2+b^2)\sin(\alpha-\beta)\,\!$

Här saknas information! Du kan hjälpa Wikibooks genom att fylla i mer!

Exakta trigonometriska funktionsvärden

Vinkel $\alpha$		$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$	$\sec\alpha$	$\csc\alpha$
i grader	i radianer
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\mp \infty$	$1$	$\mp \infty$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} - \sqrt{2}\right)$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{6} + \sqrt{2}\right)$	$2 - \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$\sqrt{6} + \sqrt{2}$
$18^\circ$	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} - 1\right)$	$\frac{1}{4}\sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$	$\sqrt{1 - 0.4 \sqrt{5}}$	$\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}$	$\sqrt{2 - \frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{5} + 1$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$\sqrt3$	$\frac{2}{\sqrt3}$	$2$
$36^\circ$	$\frac{\pi}{5}$	$\frac{1}{4}\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}$	$\frac{1}{4}\left(\sqrt{5} + 1\right)$	$\sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}$	$\sqrt{1 + 0.4 \sqrt{5}}$	$\sqrt{5} - 1$	$\sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$\frac{1}{\sqrt2}$	$1$	$1$	$\sqrt2$	$\sqrt2$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt3$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\pm \infty$	$0$	$\pm \infty$	$1$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt3$	$-\frac{1}{\sqrt3}$	$-2$	$\frac{2}{\sqrt3}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\mp \infty$	$-1$	$\pm \infty$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\pm \infty$	$0$	$\mp \infty$	$-1$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\mp \infty$	$1$	$\mp \infty$