Formelsamling/Matematik/Transformer

Från Wikibooks

Hoppa till: navigering, sök

Åter till huvudsidan.

Innehåll

[redigera] Konventioner

  • Konstanter betecknas med a,b,c
  • Stegfunktionen θ(t)=1 för t≥0 : θ(t)=0 annars.
  • Diracpulsen δ(t) kan definieras som:

\int^{\infty}_{- \infty}\delta (t)dt=1 \wedge δ(t) = 0 \forall t \neq 0

[redigera] Fourier-transform

Definitioner

Om f(t), -\infty < t < \infty, är styckvis deriverbar och absolut integrerbar då:

  • Fourier-transform: F( \omega )=\int_{- \infty}^{ \infty} f(t) e^{-i \omega t}dt
  • Invers Fourier-transform: f(t) = \frac {1}{2\pi}\int_{- \infty}^{ \infty} F( \omega ) e^{i \omega t}d\omega

Fourier-transform tabell

  f(t),g(t)\,\! F(\omega),G(\omega)\,\!
1 af(t)+bg(t)\,\! aF(\omega)+bG(\omega)\,\!
2 f(at), (a\in\mathbb{R}, a\neq 0) \frac{1}{|a|} F\left( \frac {\omega}{a} \right)
3 f(-t)\,\! F(-\omega)\,\!

[redigera] Diskret Fourier-transform

Definitioner

Diskret Fourier-transform tabell

[redigera] z-Transform

Definitioner

z-transform tabell

[redigera] Laplace-transform

Definition

Laplacetransformen av f definieras som

\mathcal{L}[f](s)=\int _0 ^\infty e^{-st}f(t)dt, för s\in\mathbb{C} sådana att integralen är konvergent.

Egenskaper

Laplacetransformen konvergerar i ett område på formen \{s \in \mathbb{C} : Re(s) > \sigma\}, förutsatt att den konvergerar för något s, σ > 0.

  • \mathcal{L}[\lambda f + \mu g](s) = \lambda \mathcal{L}[f](s) + \mu \mathcal{L}[g](s)
  • \mathcal{L}\left[\frac{df}{dx}(x)\right](s) = s \mathcal{L}[f](s) - f(0)
  • \mathcal{L}\left[\int _0 ^x f(\tau)g(\tau)d\tau\right] = \mathcal{L}[f](s) \cdot \mathcal{L}[g](s)

Laplace-transform tabell

Hämtad från "http://sv.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Transformer"