Formelsamling/Matematik/Taylorutvecklingar

[redigera] Maclaurins formel

Antag att funktionen $f$ är en $n + 1$ gånger kontinuerligt deriverbar funktion i en omgivning av $0$ . Då gäller för alla $x$ i omgivningen att

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n + \text{restterm.}$

Resttermen i högerledet kan skrivas som

$\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} = O(x^{n+1})$ , där talet

θ

beror av

n

och

x

och $0 \le \theta \le 1$ .

Om vi istället vill approximera $f (x)$ i en omgivning av en punkt $x = a$ sätter vi

$g(t) = f(a+t)\,$

samt

$t=x-a\,$

och applicerar Maclaurins formel på funktionen g. Vi får då

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

där $ξ$ är en punkt mellan $a$ och $x$ .

Dessa standardutvecklingar visas enkelt med Maclaurins formel ovan.

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + O(x^{n+1})$
$(1+x)^\alpha\, = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + O(x^{n+1})$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + O(x^{n+1})$
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + O(x^{n+1})$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + O(x^{2n+2})$
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + O(x^{2n+3})$
$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + O(x^{2n+3})$