Formelsamling/Matematik/Serier och summor

Åter till huvudsidan.

Definitioner

Summa

En summa är en summering av ändligt många tal. Detta kan skrivas:

$a_{m}+a_{m+1}+...+a_{n}=\sum _{k=m}^{n}a_{k}$,

där m och n är heltal och n är större eller lika med m. Speciellt är

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

Serie

En serie är en summering av oändligt många tal. Detta kan skrivas:

$a_{1}+a_{2}+...=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

Positiv serie

En serie är positiv om alla element är större eller lika med noll

$a_{i}\geq 0,\ i=1,2,3\ldots$

Negativ serie

En serie är negativ om alla element är mindre eller lika med noll

$a_{i}\leq 0,\ i=1,2,3\ldots$

Alternerande serie

En serie är alternerande om varje två på varandra följande tal har olika tecken

$a_{i}\cdot a_{i+1}<0,\ i=1,2,3\ldots$

Observera att denna definition kräver att varje element inte är lika med noll: $a_{i}\not =0,\ i=1,2,3\ldots$

Talföljder

Aritmetisk talföljd

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!$

$s_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})n}{2}}\,\!$

Geometrisk talföljd

$a_{n}=a_{1}k^{n-1}\,\!$

$s_{n}={\frac {a_{1}(k^{n}-1)}{k-1}}\,\!$

MacLaurins formel

$f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{n}(0)}{n!}}x^{n}\,\!$

Taylorserie

$f(a+h)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}h+{\frac {f''(a)}{2!}}h^{2}+...+{\frac {f^{n}(a)}{n!}}h^{n}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{n}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\,\!$

Taylorutvecklingar

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=k\,\!$

$e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+...\,\!$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}+...\,\!$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+...\,\!$

$ln\ (1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+...+(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+...\,\!$

Binomialsatsen

$(1+x)^{p}=1+{p \choose 1}x+{p \choose 2}x^{2}+{p \choose 3}x^{3}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{p \choose n}x^{n}\,\!$

${p \choose n}={\frac {p(p-1)(p-2)\ldots (p-n+1)}{n!}}\,\!$

Ränteberäkningar

$k_{0}$	insatt belopp
$k_{n}$	värde efter period
$t$	period (månad, år eller dag)
$p$	ränta per period i procent

Sammansatt ränta

$k_{n}=k_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}\,\!$

Årlig insättning med ränta på ränta

$k_{n}=k_{0}{\frac {\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}-1}{\frac {p}{100}}}\,\!$

Annuitet

$k_{n}=k_{0}{\frac {\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}\cdot {\frac {p}{100}}}{\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}-1}}\,\!$

Nuvärde (diskontering)

$k_{0}=k_{n}{\frac {1}{\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}}}\,\!$

Summan av nuvärden

$k_{n}=k_{0}{\frac {\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}-1}{\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}\cdot {\frac {p}{100}}}}\,\!$