Från Wikibooks

< Formelsamling | Matematik

Hoppa till: navigering, sök

Åter till huvudsidan.

Innehåll

1 Definitioner
- 1.1 Summa
- 1.2 Serie
2 Talföljder
3 Ränteberäkningar

[redigera] Definitioner

[redigera] Summa

En summa är en summering av ändligt många tal. Detta kan skrivas:

$a_1+a_2+...+a_n = \sum_{k=m}^n a_k$ ,

där m och n är ändligt stora heltal och n är större eller lika med m.

[redigera] Serie

En serie är en summering av oändligt många tal. Detta kan skrivas:

$a_1+a_2+... = \sum_{k=n}^\infty a_k$

[redigera] Positiv serie

En serie är positiv om alla element är större eller lika med noll

$a_i\ge 0,\ i=1,2,3\ldots$

[redigera] Negativ serie

En serie är negativ om alla element är mindre eller lika med noll

$a_i\le 0,\ i=1,2,3\ldots$

[redigera] Alternerande serie

En serie är alternerande om varje två på varandra följande tal har olika tecken

$a_i\cdot a_{i+1}<0,\ i=1,2,3\ldots$

Observera att denna definition kräver att varje element inte är lika med noll: $a_i\not = 0,\ i=1,2,3\ldots$

[redigera] Talföljder

[redigera] Aritmetisk talföljd

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!$

[redigera] Geometrisk talföljd

$s_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2}\,\!$

$a_{n}=a_{1}k^{n-1}\,\!$

$s_{n}=\frac{a_{1}(k^{n}-1)}{k-1}\,\!$

[redigera] MacLaurins formel

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+...=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n\,\!$

[redigera] Taylorserie

$f(a+h)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}h+\frac{f''(a)}{2!}h^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}h^n+...=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n\,\!$

[redigera] Taylorutvecklingar

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=k\,\!$

$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^n}{n!}+...\,\!$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...\,\!$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...\,\!$

$ln\ (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+...\,\!$

[redigera] Binomialsatsen

$(1+x)^p=1+{p\choose 1}x+{p\choose 2}x^2+{p\choose 3}x^3+...=\sum_{n=0}^\infty{p\choose n}x^n\,\!$

${p\choose n}=\frac{p(p-1)(p-2)\ldots (p-n+1)}{n!}\,\!$

[redigera] Ränteberäkningar

$k 0$	insatt belopp
$k n$	värde efter period
$t$	period (månad, år eller dag)
$p$	ränta per period i procent

[redigera] Sammansatt ränta

$k_{n}=k_{0}\left (1+\frac{p}{100}\right )^t\,\!$

[redigera] Årlig insättning med ränta på ränta

$k_{n}=k_{0}\frac{\left (1+\frac{p}{100}\right )^t-1}{\frac{p}{100}}\,\!$

[redigera] Annuitet

$k_{n}=k_{0}\frac{\left (1+\frac{p}{100}\right )^t\cdot\frac{p}{100}}{\left (1+\frac{p}{100}\right )^t-1}\,\!$

[redigera] Nuvärde (diskontering)

$k_{n}=k_{0}\frac{1}{\left (1+\frac{p}{100}\right )^t}\,\!$

[redigera] Summan av nuvärden

$k_{n}=k_{0}\frac{\left (1+\frac{p}{100}\right )^t-1}{\left (1+\frac{p}{100}\right )^t\cdot\frac{p}{100}}\,\!$

Formelsamling/Matematik/Serier och summor