Formelsamling/Matematik/Differentialkalkyl

Från Wikibooks

Hoppa till: navigering, sök

Åter till huvudsidan.

Innehåll

[redigera] Derivator

Definition

Bildl. representation av derivata

Antag att funktionen f(x) är definierad i en omgivning av punkten x.
Om gränsvärdet \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} existerar, sägs funktionen f(x) vara deriverbar i x.
Gränsvärdet kallas derivatan av f i punkten x, och betecknas f^\prime (x), eller \frac{df}{dx}.

Definitionen kan ses som den tangentiella lutningen för en kurva f(x) mellan två punkter x och x + ε. När ε går mot noll fås lutningen för kurvan i punkten x.

Räkneregler

Formler

[redigera] Integralkalkyl

Räkneregler

Formler

[redigera] Differentialekvationer

[redigera] Linjära ekvationer av andra ordningen

y'' + a(x)y' + b(x)y = h(x)\,

där a(x), b(x) och h(x) är kontinuerliga funktioner.

Homogena ekvationen

För en ekvation av typen

y'' + ay' + by = 0\,

görs ansatsen y = Cerx som ger

Ce^{rx}(r^2+ar+b)=0\,

som har det karaktäristiska polynomet p(r)=r^2+ar+b\, vars nollställen (dvs. r när p(r) = 0) kan ge lösningar.

  1. Två reella rötter, om r_1 \ne r_2
    y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}\,
  2. Dubbelrot, alltså om r_1 = r_2 = r\,
    y_h=(Ax+B)e^{rx}\,
  3. Komplexa rötter, om r = \alpha \pm i\beta
    y_h=e^{\alpha x}(C_1e^{i\beta x}+C_2e^{-i\beta x}+)=e^{\alpha x}(A\cos {\beta x}+B\sin {\beta x})\,

[redigera] Partikulärlösning

För en allmän inhomogen ekvation

y''+ay'+by = h(x)\,

så räcker det att hitta en lösning.

[redigera] Om h(x) är konstant

Genom direkt insättning i y'' + ay' + by = c ser vi att

  • Om b \ne 0 är y_p = \frac{c}{b} en lösning;
  • Om b = 0\, och a \ne 0 är y_p = \frac{c}{a}x en lösning;
  • Om b = a = 0\, är y_p = \frac{c}{2}x^2 en lösning;

[redigera] Om h(x) är en polynom

  • Om b \ne 0: sätt y=q(x)\, där grad q = grad h
  • Om b = 0, a \ne 0: sätt y=xq(x)\, där grad q = grad h

Allmänna lösningen

Fås genom att:

y = y_h + y_p\,
Hämtad från "http://sv.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Differentialkalkyl"